Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 46 − 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 46 − 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●40
    Rechne: (7 + 6) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 6 = 13
    2. 13 · 3 = 39
    Ergebnis:
    39

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 12 + 24 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 41. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 77 + 88 + 23 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
778823
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 77 + 23 + 88
  2. 77 + 23 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 88 = 188
  1. Vertauschen: 77 + 23 + 88
  2. 77 + 23 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 88 = 188
Ergebnis:
188

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 5 + 43 + 25
    54325
    So fängst du an:
    Vertauschen: 5 + 25 + 43
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 25 + 43
    2. 5 + 25 = 30
    3. 30 + 43 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●2
    Tom rechnet 9 + 84 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    98441
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 41 + 84
    2. 9 + 41 = 50
    3. 50 + 84 = 134
    Ergebnis:
    134
  3. ★3
    Sofia rechnet 82 + 836 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    8283618
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 82 + 18 + 836
    2. 82 + 18 = 100
    3. 100 + 836 = 936
    Ergebnis:
    936

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 77
3777
Schritt für Schritt
  1. 37 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
  2. 37 + 77 = 40 + 74
  3. 40 + 74 = 114
  1. 37 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
  2. 37 + 77 = 40 + 74
  3. 40 + 74 = 114
Ergebnis:
114

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina rechnet 297 + 49 als 300 + 49. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    29749
    So fängst du an:
    Lina hat 297 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 49 = 349.
    3. 3 wieder abziehen: 349 − 3 = 346
    Ergebnis:
    346
  2. ●5
    Milan rechnet 198 + 34 als 200 + 34. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    19834
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 34 = 234.
    3. 2 wieder abziehen: 234 − 2 = 232
    Ergebnis:
    232
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 396 + 679
    396679
    Lösung zeigen
    1. 396 bekommt 4 dazu, 679 gibt 4 ab.
    2. 396 + 679 = 400 + 675
    3. 400 + 675 = 1075
    Ergebnis:
    1075

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
  3. 80 − 4 = 76
  1. 19 = 20 − 1
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
  3. 80 − 4 = 76
Ergebnis:
76

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 28
    So fängst du an:
    28 = 20 + 8
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 8 = 40
    3. 100 + 40 = 140
    Ergebnis:
    140
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  3. ★9
    Es gibt 4 Hefte mit je 94 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 94
    2. 94 = 90 + 4
    3. 4 · 90 = 360 und 4 · 4 = 16
    4. 360 + 16 = 376
    Ergebnis:
    376 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 406 : 7
Schritt für Schritt
  1. 406 = 350 + 56
  2. 350 : 7 = 50 und 56 : 7 = 8
  3. 50 + 8 = 58
  1. 406 = 350 + 56
  2. 350 : 7 = 50 und 56 : 7 = 8
  3. 50 + 8 = 58
Ergebnis:
58

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    126 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    126 : 7
    Lösung zeigen
    1. 126 : 7
    2. 126 = 70 + 56
    3. 70 : 7 = 10 und 56 : 7 = 8
    4. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18 Bücher
  2. ●11
    228 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 228 : 4
    2. 228 = 200 + 28
    3. 200 : 4 = 50 und 28 : 4 = 7
    4. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57 Murmeln
  3. ★12
    504 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 504 : 4
    2. 504 = 480 + 24
    3. 480 : 4 = 120 und 24 : 4 = 6
    4. 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    126 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 69 + 23 = 70 + ___
69 + 23=70 + ?
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 23 um 1 kleiner.
  3. 23 − 1 = 22
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 23 um 1 kleiner.
  3. 23 − 1 = 22
Ergebnis:
22

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 78 − 20 = ___ − 25
    So fängst du an:
    20 wird zu 25: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 20 wird zu 25: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 78 um 5 größer.
    3. 78 + 5 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 40 + 17 = 38 + ___
    40 + 17=38 + ?
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 38: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 17 um 2 größer.
    3. 17 + 2 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 43 − 33 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 38: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 5 größer.
    3. 43 + 5 = 48
    Ergebnis:
    48

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Mia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Emma verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 70? Nenne ihn und rechne.
    8 · 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
    2. 8 · 70 = 560 und 8 · 0 = 0
    3. Zusammen: 560
    Ergebnis:
    zerlegen, 560
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 170 + 198? Nenne ihn und rechne.
    170 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 170 + 198 = 168 + 200
    3. 168 + 200 = 368
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 368
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 3419 − 1556? Nenne ihn und rechne.
    3419 − 1556zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3419 − 1556 = 1863
    Ergebnis:
    schriftlich, 1863

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 645 − 581 und erhält 54. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 54 + 581 = 635
  2. 635 ist nicht 645: Es ist falsch.
  3. 645 − 581 = 64
  1. Umkehraufgabe: 54 + 581 = 635
  2. 635 ist nicht 645: Es ist falsch.
  3. 645 − 581 = 64
Ergebnis:
falsch, richtig ist 64

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 196 : 7 und erhält 30. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    196 : 7Ergebnis 30?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 30 · 7 = 210
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 30 · 7 = 210
    2. 210 ist nicht 196: Es ist falsch.
    3. 196 : 7 = 28
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 28
  2. ●23
    Hanna rechnet 175 : 5 und erhält 34. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    175 : 5Ergebnis 34?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 34 · 5 = 170
    2. 170 ist nicht 175: Es ist falsch.
    3. 175 : 5 = 35
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 35
  3. ★24
    Ben rechnet 1480 : 5 und erhält 297. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1480 : 5Ergebnis 297?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 297 · 5 = 1485
    2. 1485 ist nicht 1480: Es ist falsch.
    3. 1480 : 5 = 296
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 296

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 28 + 86 + 12
    288612
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 12 + 86
    2. 28 + 12 = 40
    3. 40 + 86 = 126
    Ergebnis:
    126
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 3 · 5
    235
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 3
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 32 = 40 + ___
    3932
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 32 um 1 kleiner werden: 32 − 1 = 31
    3. 40 + 31 = 71
    Ergebnis:
    31
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 90 − 28 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 90 um 2 größer: 92.
    3. 92 − 30 = 62
    Ergebnis:
    92
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 66
    Lösung zeigen
    1. 66 = 60 + 6
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 6 = 54
    3. 540 + 54 = 594
    Ergebnis:
    594
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 17 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1074
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 10 = 40
    2. Rechter Teil: 4 · 7 = 28
    3. Zusammen: 40 + 28 = 68
    Ergebnis:
    68 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 26 + 52 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    265214
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 46 = 70 + ___
    6746
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    413

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    140 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 10 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Elias verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 9 · 33? Nenne ihn und rechne.
    9 · 33zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 297

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 822 − 185 und erhält 627. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 637

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 73
  2. 134
  3. 936
  4. 346
  5. 232
  6. 1075
  7. 140
  8. 441
  9. 376 Hefte
  10. 18 Bücher
  11. 57 Murmeln
  12. 126 Murmeln
  13. 83
  14. 19
  15. 48
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. 900
  19. zerlegen, 560
  20. gegensinnig verändern, 368
  21. schriftlich, 1863
  22. falsch, richtig ist 28
  23. falsch, richtig ist 35
  24. falsch, richtig ist 296
  25. 126
  26. 30
  27. 31
  28. 92
  29. 594
  30. 68 Kästchen
  31. 92
  32. 43
  33. 413
  34. 35 Bücher
  35. 20
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. zerlegen, 297
  38. falsch, richtig ist 637
  39. 38
  40. 39
  41. 36
  42. 28