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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 4 + 16 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●40
    Rechne: (4 + 4) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 4 = 8
    2. 8 · 7 = 56
    Ergebnis:
    56

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 3 + 10 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 36 und erhalte 91. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 36 + 31 + 24
363124
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 36 + 24 + 31
  2. 36 + 24 = 60
  3. 60 + 31 = 91
  1. Vertauschen: 36 + 24 + 31
  2. 36 + 24 = 60
  3. 60 + 31 = 91
Ergebnis:
91

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 23 + 11 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    92311
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 11 + 23
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 11 + 23
    2. 9 + 11 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 23 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 69 + 44 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    166944
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 44 + 69
    2. 16 + 44 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 69 = 129
    Ergebnis:
    129
  3. ★3
    Emma rechnet 87 + 492 + 58 + 13 + 42 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    87492581342
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 87 + 13 + 58 + 42 + 492
    2. 87 + 13 = 100 und 58 + 42 = 100
    3. 100 + 100 + 492 = 692
    Ergebnis:
    692

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 35
4735
Schritt für Schritt
  1. 47 bekommt 3 dazu, 35 gibt 3 ab.
  2. 47 + 35 = 50 + 32
  3. 50 + 32 = 82
  1. 47 bekommt 3 dazu, 35 gibt 3 ab.
  2. 47 + 35 = 50 + 32
  3. 50 + 32 = 82
Ergebnis:
82

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 37 + 69 als 40 + 69. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    3769
    So fängst du an:
    Lea hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 69 = 109.
    3. 3 wieder abziehen: 109 − 3 = 106
    Ergebnis:
    106
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 25 = 40 + ___
    3825
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 25 um 2 kleiner werden: 25 − 2 = 23
    3. 40 + 23 = 63
    Ergebnis:
    23
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 397 + 236 = 400 + ___
    397236
    Lösung zeigen
    1. 397 wird zu 400: 3 mehr.
    2. Also muss 236 um 3 kleiner werden: 236 − 3 = 233
    3. 400 + 233 = 633
    Ergebnis:
    233

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Tüten mit je 35 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 35
  2. 35 = 30 + 5
  3. 4 · 30 = 120 und 4 · 5 = 20
  4. 120 + 20 = 140
  1. 4 · 35
  2. 35 = 30 + 5
  3. 4 · 30 = 120 und 4 · 5 = 20
  4. 120 + 20 = 140
Ergebnis:
140 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Reihen mit je 25 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 25
    Lösung zeigen
    1. 6 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
    4. 120 + 30 = 150
    Ergebnis:
    150 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  3. ★9
    Es gibt 6 Tüten mit je 75 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 75
    2. 75 = 70 + 5
    3. 6 · 70 = 420 und 6 · 5 = 30
    4. 420 + 30 = 450
    Ergebnis:
    450 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 621 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 621 : 9?
621: 9
Schritt für Schritt
  1. 621 = 540 + 81
  2. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 621 = 540 + 81
  2. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    185 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    185 : 5
    Lösung zeigen
    1. 185 : 5
    2. 185 = 150 + 35
    3. 150 : 5 = 30 und 35 : 5 = 7
    4. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 408 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 408 : 8?
    408: 8
    Lösung zeigen
    1. 408 = 400 + 8
    2. 400 : 8 = 50 und 8 : 8 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51
  3. ★12
    712 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 712 : 8
    2. 712 = 640 + 72
    3. 640 : 8 = 80 und 72 : 8 = 9
    4. 80 + 9 = 89
    Ergebnis:
    89 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 3 = 3 · ___
6 · 3=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 3 = 3 · ___
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 14 = 8 · ___
    16 · 14=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 5 = 9 · ___
    18 · 5=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Can verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 4 · 84? Nenne ihn und rechne.
4 · 84zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
  2. 4 · 80 = 320 und 4 · 4 = 16
  3. Zusammen: 336
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
  2. 4 · 80 = 320 und 4 · 4 = 16
  3. Zusammen: 336
Ergebnis:
zerlegen, 336

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 28? Nenne ihn und rechne.
    9 · 28zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 8 = 72
    3. Zusammen: 252
    Ergebnis:
    zerlegen, 252
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 63? Nenne ihn und rechne.
    9 · 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 63 = 60 + 3.
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 3 = 27
    3. Zusammen: 567
    Ergebnis:
    zerlegen, 567

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 628 − 247 und erhält 401. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 401 + 247 = 648
  2. 648 ist nicht 628: Es ist falsch.
  3. 628 − 247 = 381
  1. Umkehraufgabe: 401 + 247 = 648
  2. 648 ist nicht 628: Es ist falsch.
  3. 628 − 247 = 381
Ergebnis:
falsch, richtig ist 381

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan erhält für 67 · 41 das Ergebnis 3747. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 40 = 2800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
    2. 3747 liegt zu weit weg. Genau: 67 · 41 = 2747
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2747
  2. ●23
    Lina erhält für 66 · 19 das Ergebnis 1354. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
    2. 1354 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 66 · 19 = 1254
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1254
  3. ★24
    Lea rechnet 1448 : 8 und erhält 191. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1448 : 8Ergebnis 191?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 191 · 8 = 1528
    2. 1528 ist nicht 1448: Es ist falsch.
    3. 1448 : 8 = 181
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 181

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 6 + 31 + 14
    63114
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 31
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 31 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 13 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1352
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 13
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 13 = 130
    Ergebnis:
    130
  3. ●27
    Paul rechnet 69 + 56 als 70 + 56. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    6956
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 56 = 126.
    3. 1 wieder abziehen: 126 − 1 = 125
    Ergebnis:
    125
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 156 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 156 um 2 größer: 158.
    3. 158 − 50 = 108
    Ergebnis:
    158
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  6. ●30
    Can rechnet 5 · 12 so: erst 5 · 10, dann 2 dazu. Can erhält 52. Zeige am Bild, was fehlt.
    1025
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 5 · 2 = 10
    3. 50 + 10 = 60
    Ergebnis:
    60

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 18 + 61 + 82
    186182
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    161

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 38
    29738
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    335

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 61
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    549

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 165 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 35 + 45 = 36 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 40 + 52 + 60? Nenne ihn und rechne.
    40 + 52 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 325 − 177 und erhält 148. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 148

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 43
  2. 129
  3. 692
  4. 106
  5. 23
  6. 233
  7. 150 Stühle
  8. 152
  9. 450 Bonbons
  10. 37 Bücher
  11. 51
  12. 89 Murmeln
  13. 6
  14. 28
  15. 10
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. zerlegen, 252
  21. zerlegen, 567
  22. falsch, richtig ist 2747
  23. falsch, richtig ist 1254
  24. falsch, richtig ist 181
  25. 51
  26. 130
  27. 125
  28. 158
  29. 156
  30. 60
  31. 161
  32. 335
  33. 549
  34. 55
  35. 44
  36. 200
  37. vertauschen, 152
  38. stimmt, 148
  39. 20
  40. 56
  41. 13
  42. 55