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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

  1. ●39
    Zu einem Spiel fahren 1800 Menschen mit dem Bus. In einen Bus passen 48 Personen. Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 1800 geteilt durch 48 ist 37 Rest 24
    2. Der Rest braucht noch einen Bus: 38 Busse
    Ergebnis:
    38 Busse
  2. ●40
    Du kaufst Sachen für 2,66 €, 5,03 € und zahlst mit einem 10-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
    Lösung zeigen
    1. Summe: 2,66 + 5,03 = 7,69 €
    2. Rückgeld: 10 − 7,69 = 2,31 €
    Ergebnis:
    2,31 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

Pfeilkette: Hälfte, dann 4 weg, Rest 8; rückwärts plus 4 und mal 2 ergibt 2424128: 2− 4+ 4· 2Rückwärts: jede Rechnung umkehren

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Beet ist 4 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 58 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Schritt für Schritt
  1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
  2. Nicht gebraucht: 58 Tulpen.
  3. Umfang: 2 · 4 m + 2 · 2 m
  4. 2 · 4 m + 2 · 2 m = 12 m
  1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
  2. Nicht gebraucht: 58 Tulpen.
  3. Umfang: 2 · 4 m + 2 · 2 m
  4. 2 · 4 m + 2 · 2 m = 12 m
Ergebnis:
überflüssig: 58 Tulpen; 12 m

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €
So richtig
Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ben ist 11 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 1,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    So fängst du an:
    Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 4 · 1,50 € = 6,00 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 6,00 €
  2. ●2
    Emma ist 11 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 1,20 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 4 · 1,20 € = 4,80 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 4,80 €
  3. ★3
    Lena ist 11 Jahre alt und kauft 4 Hefte zu je 1,45 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
    2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
    3. 4 · 1,45 € = 5,80 €
    Ergebnis:
    überflüssig: 11 Jahre; 5,80 €

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

An beiden Seiten eines 20 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
…4 m20 m?
Schritt für Schritt
  1. Zwischenräume auf einer Seite: 20 m : 4 m = 5
  2. Bäume auf einer Seite: 5 + 1 = 6
  3. Beide Seiten: 2 · 6 = 12
  1. Zwischenräume auf einer Seite: 20 m : 4 m = 5
  2. Bäume auf einer Seite: 5 + 1 = 6
  3. Beide Seiten: 2 · 6 = 12
Ergebnis:
12 Bäume

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle
So richtig
Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    An beiden Seiten eines 45 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …5 m45 m?
    So fängst du an:
    Zwischenräume auf einer Seite: 45 m : 5 m = 9
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 45 m : 5 m = 9
    2. Bäume auf einer Seite: 9 + 1 = 10
    3. Beide Seiten: 2 · 10 = 20
    Ergebnis:
    20 Bäume
  2. ●5
    Ein Zaun ist 16 m lang. Alle 4 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
    …4 m16 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume: 16 m : 4 m = 4
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
    3. 4 + 1 = 5
    Ergebnis:
    5 Pfähle
  3. ★6
    Ein rechteckiger Garten ist 48 m lang und 24 m breit. Rundherum kommt alle 8 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Umfang: 2 · 48 m + 2 · 24 m = 144 m
    2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
    3. 144 m : 8 m = 18
    Ergebnis:
    18 Pfähle

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Im Hof stehen 12 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 27 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Dreiräder0123…Räder????
Schritt für Schritt
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 1 Dreiräder, 11 Fahrräder: 3 + 22 = 25 Räder
  3. Probieren: 3 Dreiräder, 9 Fahrräder: 9 + 18 = 27 Räder
  4. Passt: 3 Dreiräder und 9 Fahrräder.
  1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
  2. Probieren: 1 Dreiräder, 11 Fahrräder: 3 + 22 = 25 Räder
  3. Probieren: 3 Dreiräder, 9 Fahrräder: 9 + 18 = 27 Räder
  4. Passt: 3 Dreiräder und 9 Fahrräder.
Ergebnis:
3 Dreiräder

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 10 Köpfe und 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 1 Kaninchen, 9 Hühner: 4 + 18 = 22 Beine
    3. Probieren: 2 Kaninchen, 8 Hühner: 8 + 16 = 24 Beine
    4. Passt: 2 Kaninchen und 8 Hühner.
    Ergebnis:
    2 Kaninchen
  2. ●8
    Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 9 Karten und zahlt 56 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
    Erwachsene0123…Preis????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
    2. Probieren: 2 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 18 + 28 = 46 €
    3. Probieren: 4 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 36 + 20 = 56 €
    4. Passt: 4 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten.
    Ergebnis:
    4 Erwachsenenkarten
  3. ★9
    Im Hof stehen 23 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 48 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
    2. Probieren: 1 Dreiräder, 22 Fahrräder: 3 + 44 = 47 Räder
    3. Probieren: 2 Dreiräder, 21 Fahrräder: 6 + 42 = 48 Räder
    4. Passt: 2 Dreiräder und 21 Fahrräder.
    Ergebnis:
    2 Dreiräder

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Emma spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 3 verloren. Am Ende hat Emma 49 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
?· 2− 349
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 49.
  2. Die verlorenen zurück: 49 + 3 = 52
  3. Das Verdoppeln zurück: 52 : 2 = 26
  1. Rückwärts: Am Ende sind es 49.
  2. Die verlorenen zurück: 49 + 3 = 52
  3. Das Verdoppeln zurück: 52 : 2 = 26
Ergebnis:
26 Murmeln

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €
So richtig
Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Paul spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 3 verloren. Am Ende hat Paul 21 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 321
    So fängst du an:
    Rückwärts: Am Ende sind es 21.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 21.
    2. Die verlorenen zurück: 21 + 3 = 24
    3. Das Verdoppeln zurück: 24 : 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Murmeln
  2. ●11
    Jonas gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Jonas ein Eis für 2 €. Jetzt sind noch 10 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 2 €10 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Ende: 10 €
    2. Das Eis zurückrechnen: 10 € + 2 € = 12 €
    3. Die Hälfte zurückrechnen: 12 € · 2 = 24 €
    Ergebnis:
    24 €
  3. ★12
    Paul spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 10 verloren. Am Ende hat Paul 62 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
    ?· 2− 1062
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: Am Ende sind es 62.
    2. Die verlorenen zurück: 62 + 10 = 72
    3. Das Verdoppeln zurück: 72 : 2 = 36
    Ergebnis:
    36 Murmeln

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 440 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
440 Kinder7 Hefte
Schritt für Schritt
  1. 440 · 7 = 3080
  2. Auf Hunderter gerundet: 3100
  1. 440 · 7 = 3080
  2. Auf Hunderter gerundet: 3100
Ergebnis:
etwa 3100 Hefte

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse
So richtig
130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 560 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
    560 Kinder7 Hefte
    So fängst du an:
    560 · 7 = 3920
    Lösung zeigen
    1. 560 · 7 = 3920
    2. Auf Hunderter gerundet: 3900
    Ergebnis:
    etwa 3900 Hefte
  2. ●14
    Eine Klasse hat 27 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 16 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
    2 Scheiben16 Scheiben5 Schultage
    Lösung zeigen
    1. Scheiben: 27 · 2 · 5 = 270
    2. 270 : 16 = 16,88
    3. Aufrunden, damit es reicht: 17 Brote
    Ergebnis:
    17 Brote
  3. ★15
    Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Jahr? Nimm an: 5 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 50 Liter, das Jahr hat 365 Tage. Runde auf Tausender.
    5 Personen50 Liter365 Tage
    Lösung zeigen
    1. An einem Tag: 5 · 50 Liter = 250 Liter
    2. 365 Tage: 250 · 365 = 91.250
    3. Gerundet: 91.000 Liter
    Ergebnis:
    etwa 91.000 Liter

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Die Klasse 6c fährt mit 25 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 350,00 €. Der Eintritt kostet 3,00 € je Kind, das Mittagessen 4,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
25 KinderBus 350,00 €Eintritt 3,00 €Essen 4,00 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
  2. Bus je Kind: 350,00 € : 25 = 14,00 €
  3. Je Kind: 14,00 € + 3,00 € + 4,00 € = 21,00 €
  1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
  2. Bus je Kind: 350,00 € : 25 = 14,00 €
  3. Je Kind: 14,00 € + 3,00 € + 4,00 € = 21,00 €
Ergebnis:
21,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zu einer Feier kommen 9 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
    So fängst du an:
    Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 9 · 2 = 18
    3. Pizzen: 18 : 6 = 3
    4. Preis: 3 · 10,00 € = 30,00 €
    Ergebnis:
    30,00 €
  2. ●17
    Zu einer Feier kommen 12 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 6 Stücke und kostet 9,50 €. Was kosten die Pizzen?
    Lösung zeigen
    1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
    2. Stücke: 12 · 3 = 36
    3. Pizzen: 36 : 6 = 6
    4. Preis: 6 · 9,50 € = 57,00 €
    Ergebnis:
    57,00 €
  3. ★18
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 13 m lang und 11 m breit. Für 1 m² braucht man 40 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    13 m11 m
    Lösung zeigen
    1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
    2. Fläche: 13 m · 11 m = 143 m²
    3. Samen: 143 · 40 g = 5720 g
    4. Packungen: 5720 g : 500 g, aufgerundet 12
    Ergebnis:
    12 Packungen

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 3 Hefte für 1,74 €. Angebot B: 10 Hefte für 7,00 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Angebot A3 Hefte1,74 €Angebot B10 Hefte7,00 €
Schritt für Schritt
  1. A: 1,74 € : 3 = 0,58 €
  2. B: 7,00 € : 10 = 0,70 €
  3. 0,58 € ist weniger: A ist günstiger.
  1. A: 1,74 € : 3 = 0,58 €
  2. B: 7,00 € : 10 = 0,70 €
  3. 0,58 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,58 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger
So richtig
A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Angebot A: 8 Joghurts für 4,72 €. Angebot B: 10 Joghurts für 7,80 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A8 Joghurts4,72 €Angebot B10 Joghurts7,80 €
    So fängst du an:
    A: 4,72 € : 8 = 0,59 €
    Lösung zeigen
    1. A: 4,72 € : 8 = 0,59 €
    2. B: 7,80 € : 10 = 0,78 €
    3. 0,59 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,59 € je Stück
  2. ●20
    Angebot A: 5 Hefte für 1,45 €. Angebot B: 10 Hefte für 5,90 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A5 Hefte1,45 €Angebot B10 Hefte5,90 €
    Lösung zeigen
    1. A: 1,45 € : 5 = 0,29 €
    2. B: 5,90 € : 10 = 0,59 €
    3. 0,29 € ist weniger: A ist günstiger.
    Ergebnis:
    A, 0,29 € je Stück
  3. ★21
    Angebot A: 10 Hefte für 8,20 €. Angebot B: 12 Hefte für 5,16 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
    Angebot A10 Hefte8,20 €Angebot B12 Hefte5,16 €
    Lösung zeigen
    1. A: 8,20 € : 10 = 0,82 €
    2. B: 5,16 € : 12 = 0,43 €
    3. 0,43 € ist weniger: B ist günstiger.
    Ergebnis:
    B, 0,43 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

155 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 50 Kinder. Lea teilt 155 durch 50 und sagt: „Wir brauchen 3,1 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Schritt für Schritt
  1. 155 : 50 = 3,1
  2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
  3. Aufrunden: 4 Busse
  1. 155 : 50 = 3,1
  2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
  3. Aufrunden: 4 Busse
Ergebnis:
4 Busse

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht
47 + 38 = 75
So richtig
47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    192 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Paul teilt 192 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 4,8 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    So fängst du an:
    192 : 40 = 4,8
    Lösung zeigen
    1. 192 : 40 = 4,8
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 5 Busse
    Ergebnis:
    5 Busse
  2. ●23
    180 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Emma teilt 180 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 4,5 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
    Lösung zeigen
    1. 180 : 40 = 4,5
    2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
    3. Aufrunden: 5 Busse
    Ergebnis:
    5 Busse
  3. ★24
    Aylin hat 15 €. Ein Comic kostet 3,50 €. Aylin rechnet 15 : 3,5 und sagt: „Ich kann 4,29 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Aylin wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    1. 15 : 3,5 ≈ 4,29
    2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
    3. Abrunden: 4 Comics
    Ergebnis:
    4 Comics

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Bus fährt um 9:15 Uhr los. Er braucht 40 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 7 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
    Lösung zeigen
    1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
    2. Nicht gebraucht: 7 Haltestellen.
    3. 9:15 Uhr und 40 min
    4. Ankunft: 9:55 Uhr
    Ergebnis:
    überflüssig: 7 Haltestellen; 9:55 Uhr
  2. ●26
    Emma kauft 6 Hefte und bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt Emma zurück? Diese Aufgabe kann man nicht lösen. Welche Angabe fehlt?
    A: wie viele Hefte gekauft werden
    B: was ein Heft kostet
    C: wie alt das Kind ist
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das Rückgeld.
    2. Dafür fehlt: was ein Heft kostet.
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    An beiden Seiten eines 22 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …2 m22 m?
    Lösung zeigen
    1. Zwischenräume auf einer Seite: 22 m : 2 m = 11
    2. Bäume auf einer Seite: 11 + 1 = 12
    3. Beide Seiten: 2 · 12 = 24
    Ergebnis:
    24 Bäume
  4. ●28
    Beim Sommerfest stehen 5 Tische in einer Reihe: quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl. Zeichne drei Tische und finde eine Regel. Wie viele Stühle passen an alle 5 Tische?
    ?
    Lösung zeigen
    1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
    2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
    3. 2 · 5 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Stühle
  5. ●29
    Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 7 Köpfe und 26 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
    2. Probieren: 3 Kaninchen, 4 Hühner: 12 + 8 = 20 Beine
    3. Probieren: 6 Kaninchen, 1 Hühner: 24 + 2 = 26 Beine
    4. Passt: 6 Kaninchen und 1 Hühner.
    Ergebnis:
    6 Kaninchen
  6. ●30
    Drei aufeinanderfolgende Zahlen haben zusammen die Summe 33. Welche Zahlen sind es?
    Lösung zeigen
    1. Tabelle: kleinste Zahl, alle Zahlen, Summe.
    2. Probieren: 8 + 9 + 10 = 27
    3. Probieren: 10 + 11 + 12 = 33
    Ergebnis:
    10, 11 und 12

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben
Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft
Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren
Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten
Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen
Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan
Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen
Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

    31
    Ein Beet ist 6 m lang und 5 m breit. Darin wachsen 36 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    überflüssig: 36 Tulpen; 22 m

  2. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    32
    An beiden Seiten eines 22 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    …2 m22 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Bäume

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

    33
    Im Hof stehen 10 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 29 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
    Dreiräder0123…Räder????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Dreiräder

  4. Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

    34
    Mia gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein T-Shirt aus. Danach kauft Mia ein Eis für 3 €. Jetzt sind noch 11 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
    ?: 2− 3 €11 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 €

  5. Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

    35
    Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 90-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 130.000-mal

  6. Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

    36
    Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 11 m lang und 5 m breit. Für 1 m² braucht man 30 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
    11 m5 m
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Packungen

  7. Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

    37
    Angebot A: 1 Liter Saft für 0,66 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 1,05 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 0,66 € je Liter

  8. Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

    38
    Ben hat 15 €. Ein Comic kostet 2,40 €. Ben rechnet 15 : 2,4 und sagt: „Ich kann 6,25 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Ben wirklich kaufen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Comics

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. überflüssig: 11 Jahre; 6,00 €
  2. überflüssig: 11 Jahre; 4,80 €
  3. überflüssig: 11 Jahre; 5,80 €
  4. 20 Bäume
  5. 5 Pfähle
  6. 18 Pfähle
  7. 2 Kaninchen
  8. 4 Erwachsenenkarten
  9. 2 Dreiräder
  10. 12 Murmeln
  11. 24 €
  12. 36 Murmeln
  13. etwa 3900 Hefte
  14. 17 Brote
  15. etwa 91.000 Liter
  16. 30,00 €
  17. 57,00 €
  18. 12 Packungen
  19. A, 0,59 € je Stück
  20. A, 0,29 € je Stück
  21. B, 0,43 € je Stück
  22. 5 Busse
  23. 5 Busse
  24. 4 Comics
  25. überflüssig: 7 Haltestellen; 9:55 Uhr
  26. B
  27. 24 Bäume
  28. 12 Stühle
  29. 6 Kaninchen
  30. 10, 11 und 12
  31. überflüssig: 36 Tulpen; 22 m
  32. 24 Bäume
  33. 9 Dreiräder
  34. 28 €
  35. etwa 130.000-mal
  36. 7 Packungen
  37. A, 0,66 € je Liter
  38. 6 Comics
  39. 38 Busse
  40. 2,31 €