Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

●39
Ein Datenpaket fürs Handy hat 24.000 MB. Jeden Tag verbrauchst du 400 MB. Wie viele Tage reicht das Paket?
Lösung zeigen
1. 24.000 geteilt durch 400
2. Das Paket reicht 60 Tage
Ergebnis:
60 Tage
●40
Du kaufst Sachen für 10,14 €, 10,54 € und zahlst mit einem 50-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
Lösung zeigen
1. Summe: 10,14 + 10,54 = 20,68 €
2. Rückgeld: 50 − 20,68 = 29,32 €
Ergebnis:
29,32 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Aquarium ist 80 cm lang, 25 cm breit und 30 cm hoch. Darin schwimmen 11 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.

Schritt für Schritt

Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
Nicht gebraucht: 11 Fische.
80 cm · 25 cm · 30 cm = 60.000 cm³
1000 cm³ sind 1 Liter: 60.000 cm³ = 60 Liter

Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
Nicht gebraucht: 11 Fische.
80 cm · 25 cm · 30 cm = 60.000 cm³
1000 cm³ sind 1 Liter: 60.000 cm³ = 60 Liter

Ergebnis:

überflüssig: 11 Fische; 60 Liter

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Aquarium ist 80 cm lang, 40 cm breit und 40 cm hoch. Darin schwimmen 8 Fische. Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
So fängst du an:
Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
2. Nicht gebraucht: 8 Fische.
3. 80 cm · 40 cm · 40 cm = 128.000 cm³
4. 1000 cm³ sind 1 Liter: 128.000 cm³ = 128 Liter
Ergebnis:
überflüssig: 8 Fische; 128 Liter
●2
Ein Beet ist 7 m lang und 6 m breit. Darin wachsen 37 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
2. Nicht gebraucht: 37 Tulpen.
3. Umfang: 2 · 7 m + 2 · 6 m
4. 2 · 7 m + 2 · 6 m = 26 m
Ergebnis:
überflüssig: 37 Tulpen; 26 m
★3
Ein Beet ist 4 m lang und 2 m breit. Darin wachsen 33 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
2. Nicht gebraucht: 33 Tulpen.
3. Umfang: 2 · 4 m + 2 · 2 m
4. 2 · 4 m + 2 · 2 m = 12 m
Ergebnis:
überflüssig: 33 Tulpen; 12 m

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein rechteckiger Garten ist 8 m lang und 4 m breit. Rundherum kommt alle 2 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?

Schritt für Schritt

Umfang: 2 · 8 m + 2 · 4 m = 24 m
Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
24 m : 2 m = 12

Umfang: 2 · 8 m + 2 · 4 m = 24 m
Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
24 m : 2 m = 12

Ergebnis:

12 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle

So richtig

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

○4
An beiden Seiten eines 40 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
So fängst du an:
Zwischenräume auf einer Seite: 40 m : 5 m = 8
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 40 m : 5 m = 8
2. Bäume auf einer Seite: 8 + 1 = 9
3. Beide Seiten: 2 · 9 = 18
Ergebnis:
18 Bäume
●5
An beiden Seiten eines 18 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 3 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 18 m : 3 m = 6
2. Bäume auf einer Seite: 6 + 1 = 7
3. Beide Seiten: 2 · 7 = 14
Ergebnis:
14 Bäume
★6
Ein rechteckiger Garten ist 12 m lang und 8 m breit. Rundherum kommt alle 4 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Umfang: 2 · 12 m + 2 · 8 m = 40 m
2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
3. 40 m : 4 m = 10
Ergebnis:
10 Pfähle

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 13 Karten und zahlt 112 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?

Schritt für Schritt

Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
Probieren: 6 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 54 + 28 = 82 €
Probieren: 12 Erwachsenenkarten, 1 Kinderkarten: 108 + 4 = 112 €
Passt: 12 Erwachsenenkarten und 1 Kinderkarten.

Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
Probieren: 6 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 54 + 28 = 82 €
Probieren: 12 Erwachsenenkarten, 1 Kinderkarten: 108 + 4 = 112 €
Passt: 12 Erwachsenenkarten und 1 Kinderkarten.

Ergebnis:

12 Erwachsenenkarten

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○7
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 9 Köpfe und 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
So fängst du an:
Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 1 Kaninchen, 8 Hühner: 4 + 16 = 20 Beine
3. Probieren: 2 Kaninchen, 7 Hühner: 8 + 14 = 22 Beine
4. Passt: 2 Kaninchen und 7 Hühner.
Ergebnis:
2 Kaninchen
●8
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 8 Köpfe und 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 1 Kaninchen, 7 Hühner: 4 + 14 = 18 Beine
3. Probieren: 3 Kaninchen, 5 Hühner: 12 + 10 = 22 Beine
4. Passt: 3 Kaninchen und 5 Hühner.
Ergebnis:
3 Kaninchen
★9
Im Hof stehen 26 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 62 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 8 Dreiräder, 18 Fahrräder: 24 + 36 = 60 Räder
3. Probieren: 10 Dreiräder, 16 Fahrräder: 30 + 32 = 62 Räder
4. Passt: 10 Dreiräder und 16 Fahrräder.
Ergebnis:
10 Dreiräder

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Lena hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 9 Stück. Vom Rest behält Lena die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Lena behält 13 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?

Schritt für Schritt

Rückwärts: Lena behält 13 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 13 · 2 = 26
Vor dem Bruder: 26 + 9 = 35

Rückwärts: Lena behält 13 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Rest: 13 · 2 = 26
Vor dem Bruder: 26 + 9 = 35

Ergebnis:

35 Bonbons

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €

So richtig

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

○10
Sara hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 5 Stück. Vom Rest behält Sara die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Sara behält 6 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
So fängst du an:
Rückwärts: Sara behält 6 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Sara behält 6 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
2. Rest: 6 · 2 = 12
3. Vor dem Bruder: 12 + 5 = 17
Ergebnis:
17 Bonbons
●11
Lea gibt die Hälfte des Taschengeldes für Kinokarten aus. Danach kauft Lea ein Eis für 2 €. Jetzt sind noch 9 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Ende: 9 €
2. Das Eis zurückrechnen: 9 € + 2 € = 11 €
3. Die Hälfte zurückrechnen: 11 € · 2 = 22 €
Ergebnis:
22 €
★12
Mia spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 4 verloren. Am Ende hat Mia 54 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Am Ende sind es 54.
2. Die verlorenen zurück: 54 + 4 = 58
3. Das Verdoppeln zurück: 58 : 2 = 29
Ergebnis:
29 Murmeln

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Eine Klasse hat 23 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 24 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?

Schritt für Schritt

Scheiben: 23 · 2 · 5 = 230
230 : 24 = 9,58
Aufrunden, damit es reicht: 10 Brote

Scheiben: 23 · 2 · 5 = 230
230 : 24 = 9,58
Aufrunden, damit es reicht: 10 Brote

Ergebnis:

10 Brote

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse

So richtig

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie viel Wasser verbraucht eine Familie zum Duschen in einem Monat? Nimm an: 3 Personen duschen jeden Tag, jede Dusche braucht etwa 60 Liter, der Monat hat 30 Tage. Runde auf Hunderter.
So fängst du an:
An einem Tag: 3 · 60 Liter = 180 Liter
Lösung zeigen
1. An einem Tag: 3 · 60 Liter = 180 Liter
2. 30 Tage: 180 · 30 = 5400
3. Gerundet: 5400 Liter
Ergebnis:
etwa 5400 Liter
●14
Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 700 Kinder, und jedes braucht etwa 6 Hefte. Runde auf Hunderter.
Lösung zeigen
1. 700 · 6 = 4200
2. Auf Hunderter gerundet: 4200
Ergebnis:
etwa 4200 Hefte
★15
Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 580 Kinder, und jedes braucht etwa 7 Hefte. Runde auf Hunderter.
Lösung zeigen
1. 580 · 7 = 4060
2. Auf Hunderter gerundet: 4100
Ergebnis:
etwa 4100 Hefte

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 6 m lang und 5 m breit. Für 1 m² braucht man 25 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?

Schritt für Schritt

Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Fläche: 6 m · 5 m = 30 m²
Samen: 30 · 25 g = 750 g
Packungen: 750 g : 500 g, aufgerundet 2

Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Fläche: 6 m · 5 m = 30 m²
Samen: 30 · 25 g = 750 g
Packungen: 750 g : 500 g, aufgerundet 2

Ergebnis:

2 Packungen

AchtungNoch einmal: Angaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○16
Zu einer Feier kommen 10 Kinder. Jedes isst 2 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
So fängst du an:
Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 10 · 2 = 20
3. Pizzen: 20 : 8, aufgerundet 3
4. Preis: 3 · 10,00 € = 30,00 €
Ergebnis:
30,00 €
●17
Die Klasse 6c fährt mit 25 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 375,00 €. Der Eintritt kostet 7,00 € je Kind, das Mittagessen 4,00 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
2. Bus je Kind: 375,00 € : 25 = 15,00 €
3. Je Kind: 15,00 € + 7,00 € + 4,00 € = 26,00 €
Ergebnis:
26,00 €
★18
Die Klasse 6c fährt mit 28 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 420,00 €. Der Eintritt kostet 6,50 € je Kind, das Mittagessen 3,50 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
2. Bus je Kind: 420,00 € : 28 = 15,00 €
3. Je Kind: 15,00 € + 6,50 € + 3,50 € = 25,00 €
Ergebnis:
25,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 1 Liter Saft für 0,76 €. Angebot B: 1,5 Liter Saft für 0,81 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.

Schritt für Schritt

A: 0,76 € : 1 = 0,76 €
B: 0,81 € : 1,5 = 0,54 €
0,54 € ist weniger: B ist günstiger.

A: 0,76 € : 1 = 0,76 €
B: 0,81 € : 1,5 = 0,54 €
0,54 € ist weniger: B ist günstiger.

Ergebnis:

B, 0,54 € je Liter

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger

So richtig

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

○19
Angebot A: 6 Joghurts für 3,72 €. Angebot B: 10 Joghurts für 4,50 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
So fängst du an:
A: 3,72 € : 6 = 0,62 €
Lösung zeigen
1. A: 3,72 € : 6 = 0,62 €
2. B: 4,50 € : 10 = 0,45 €
3. 0,45 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,45 € je Stück
●20
Angebot A: 1 Liter Saft für 0,63 €. Angebot B: 3 Liter Saft für 2,16 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
1. A: 0,63 € : 1 = 0,63 €
2. B: 2,16 € : 3 = 0,72 €
3. 0,63 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,63 € je Liter
★21
Angebot A: 6 Joghurts für 3,06 €. Angebot B: 8 Joghurts für 3,84 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
1. A: 3,06 € : 6 = 0,51 €
2. B: 3,84 € : 8 = 0,48 €
3. 0,48 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,48 € je Stück

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

132 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 60 Kinder. Jonas teilt 132 durch 60 und sagt: „Wir brauchen 2,2 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?

Schritt für Schritt

132 : 60 ≈ 2,2
Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
Aufrunden: 3 Busse

132 : 60 ≈ 2,2
Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
Aufrunden: 3 Busse

Ergebnis:

3 Busse

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht

0,3 · 0,2 = 0,6

So richtig

0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin hat 20 €. Ein Comic kostet 1,20 €. Aylin rechnet 20 : 1,2 und sagt: „Ich kann 16,67 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Aylin wirklich kaufen?
So fängst du an:
20 : 1,2 ≈ 16,67
Lösung zeigen
1. 20 : 1,2 ≈ 16,67
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 16 Comics
Ergebnis:
16 Comics
●23
92 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Can teilt 92 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 2,3 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
1. 92 : 40 ≈ 2,3
2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
3. Aufrunden: 3 Busse
Ergebnis:
3 Busse
★24
Lea hat 10 €. Ein Comic kostet 1,50 €. Lea rechnet 10 : 1,5 und sagt: „Ich kann 6,67 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Lea wirklich kaufen?
Lösung zeigen
1. 10 : 1,5 ≈ 6,67
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 6 Comics
Ergebnis:
6 Comics

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Lea ist 12 Jahre alt und kauft 5 Hefte zu je 0,50 €. Was kosten die Hefte zusammen? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Was kosten die Hefte zusammen?
2. Nicht gebraucht: 12 Jahre.
3. 5 · 0,50 € = 2,50 €
Ergebnis:
überflüssig: 12 Jahre; 2,50 €
●26
Ein Zug fährt um 12:20 Uhr in Berlin ab. Wann kommt er in Leipzig an? Diese Aufgabe kann man nicht lösen. Welche Angabe fehlt?
A: wie lange die Fahrt dauert
B: wann der Zug abfährt
C: wie viele Wagen der Zug hat
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1. Gesucht ist die Ankunftszeit.
2. Dafür fehlt: wie lange die Fahrt dauert.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A
●27
Ein rechteckiger Garten ist 21 m lang und 12 m breit. Rundherum kommt alle 3 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?
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1. Umfang: 2 · 21 m + 2 · 12 m = 66 m
2. Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
3. 66 m : 3 m = 22
Ergebnis:
22 Pfähle
●28
Beim Sommerfest stehen 10 Tische in einer Reihe: quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl. Zeichne drei Tische und finde eine Regel. Wie viele Stühle passen an alle 10 Tische?
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1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
3. 2 · 10 + 2 = 22
Ergebnis:
22 Stühle
●29
Im Hof stehen 14 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 30 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
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1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 1 Dreiräder, 13 Fahrräder: 3 + 26 = 29 Räder
3. Probieren: 2 Dreiräder, 12 Fahrräder: 6 + 24 = 30 Räder
4. Passt: 2 Dreiräder und 12 Fahrräder.
Ergebnis:
2 Dreiräder
●30
Zwei natürliche Zahlen haben die Summe 15 und das Produkt 36. Welche Zahlen sind es?
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1. Tabelle: Zahlenpaare mit der Summe 15, dazu ihr Produkt.
2. Probieren: 4 und 11 geben 44.
3. Probieren: 3 und 12 geben 36.
Ergebnis:
3 und 12

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben: Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft: Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren: Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten: Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen: Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan: Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen: Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.
31
Ein Bus fährt um 9:25 Uhr los. Er braucht 50 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 12 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
Ergebnis:
überflüssig: 12 Haltestellen; 10:15 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
32
Ein Zaun ist 36 m lang. Alle 4 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 Pfähle
Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.
33
Im Hof stehen 9 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 25 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Dreiräder
Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.
34
Noah hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 9 Stück. Vom Rest behält Noah die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Noah behält 15 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
39 Bonbons
Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).
35
Eine Klasse hat 30 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 3 Scheiben Brot. Ein Brot hat 16 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 5 Schultage?
Lösung zeigen
Ergebnis:
29 Brote
Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.
36
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 6 m lang und 6 m breit. Für 1 m² braucht man 20 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Packungen
Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.
37
Angebot A: 10 Joghurts für 6,90 €. Angebot B: 8 Joghurts für 2,48 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 0,31 € je Stück
Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.
38
Eine Latte ist 200 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 45 cm. Paul rechnet und sagt: „Das gibt 4,44 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Stücke

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

überflüssig: 8 Fische; 128 Liter
überflüssig: 37 Tulpen; 26 m
überflüssig: 33 Tulpen; 12 m
18 Bäume
14 Bäume
10 Pfähle
2 Kaninchen
3 Kaninchen
10 Dreiräder
17 Bonbons
22 €
29 Murmeln
etwa 5400 Liter
etwa 4200 Hefte
etwa 4100 Hefte
30,00 €
26,00 €
25,00 €
B, 0,45 € je Stück
A, 0,63 € je Liter
B, 0,48 € je Stück
16 Comics
3 Busse
6 Comics
überflüssig: 12 Jahre; 2,50 €
A
22 Pfähle
22 Stühle
2 Dreiräder
3 und 12
überflüssig: 12 Haltestellen; 10:15 Uhr
10 Pfähle
7 Dreiräder
39 Bonbons
29 Brote
2 Packungen
B, 0,31 € je Stück
4 Stücke
60 Tage
29,32 €