Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Sachaufgaben und Problemlösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele raten wild herum oder rechnen 56 − 20. Manche geben nach zwei Versuchen auf, andere finden die Lösung zufällig, können aber nicht sagen, wie. Wenn der Weg nicht dasteht, hilft ein Werkzeug: Wir legen eine Tabelle an und probieren mit System, Zeile für Zeile. So kommt jede und jeder ans Ziel und kann den Weg erklären.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Größen rechnet man mit Einheit, und vor dem Rechnen stehen alle Angaben in derselben Einheit.

●39
Eine Klassenfahrt kostet für 28 Kinder zusammen 4.620,00 €. Alle zahlen gleich viel. Wie viel zahlt ein Kind?
Lösung zeigen
1. 4.620,00 € geteilt durch 28 Kinder
2. Ein Kind zahlt 165,00 €
Ergebnis:
165,00 €
●40
Du kaufst Sachen für 8,63 €, 10,45 € und zahlst mit einem 20-€-Schein. Berechne das Rückgeld.
Lösung zeigen
1. Summe: 8,63 + 10,45 = 19,08 €
2. Rückgeld: 20 − 19,08 = 0,92 €
Ergebnis:
0,92 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Situation, dann die Rechnung

Eine Sachaufgabe ist eine Situation und keine Zahlensammlung. Erst klären, was gefragt und was gegeben ist, dann einen Weg wählen: Skizze, Tabelle oder rückwärts. Zum Schluss wird das Ergebnis an der Situation geprüft.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und was verrät dir diese Frage über das Lösen von Sachaufgaben?

1Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.

EntdeckenFrage

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann niemand wissen – die Zahlen haben mit dem Alter nichts zu tun. Trotzdem rechneten in französischen Untersuchungen viele Grundschulkinder 26 + 10 = 36 und schrieben „36 Jahre“. Wer zuerst die Frage liest, fällt darauf nicht herein.

MerkenWichtige und überflüssige Angaben

Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Fehlt eine Angabe, kann man die Frage nicht beantworten.

BeispielÜberflüssige Angaben erkennen

Ein Beet ist 5 m lang und 3 m breit. Darin wachsen 58 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.

Schritt für Schritt

Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
Nicht gebraucht: 58 Tulpen.
Umfang: 2 · 5 m + 2 · 3 m
2 · 5 m + 2 · 3 m = 16 m

Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
Nicht gebraucht: 58 Tulpen.
Umfang: 2 · 5 m + 2 · 3 m
2 · 5 m + 2 · 3 m = 16 m

Ergebnis:

überflüssig: 58 Tulpen; 16 m

AchtungAngaben nicht vollständig ausgewertet

So nicht

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 12 + 5 · 2 → 22 €

So richtig

Lea ist 12 Jahre alt, 5 Hefte zu je 2 € → 5 · 2 € = 10 €

Erst die Frage, dann die Angaben: Welche brauche ich, welche nicht? Jede Bedingung prüfen, keine überflüssige Zahl mitrechnen.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Bus fährt um 8:25 Uhr los. Er braucht 25 min bis zum Zoo. Unterwegs hält er an 12 Haltestellen. Wann kommt der Bus am Zoo an? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
So fängst du an:
Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wann kommt der Bus am Zoo an?
2. Nicht gebraucht: 12 Haltestellen.
3. 8:25 Uhr und 25 min
4. Ankunft: 8:50 Uhr
Ergebnis:
überflüssig: 12 Haltestellen; 8:50 Uhr
●2
Ein Beet ist 8 m lang und 5 m breit. Darin wachsen 50 Tulpen. Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet? Streiche die Angabe, die du nicht brauchst, und löse die Aufgabe.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie lang wird ein Zaun rund um das Beet?
2. Nicht gebraucht: 50 Tulpen.
3. Umfang: 2 · 8 m + 2 · 5 m
4. 2 · 8 m + 2 · 5 m = 26 m
Ergebnis:
überflüssig: 50 Tulpen; 26 m
★3
Lea ist 13 Jahre alt und spart jede Woche 2,50 €. Wie viel hat Lea nach 4 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viel hat Lea nach 4 Wochen gespart?
2. Nicht gebraucht: 13 Jahre.
3. 4 · 2,50 € = 10,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 13 Jahre; 10,00 €

2Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

In einem Käfig sitzen Fasane und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

23 Fasane und 12 Kaninchen: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Das Rätsel steht in einem chinesischen Rechenbuch, das rund 1500 Jahre alt ist. Mit einer Tabelle und systematischem Probieren findet man die Lösung, ohne zu raten.

MerkenEine Skizze hilft

Zeichne die Sache einfach und klein.

An der Skizze sieht man, was man zählen muss. Ein Zaun mit Pfählen an beiden Enden hat einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

BeispielMit einer Skizze zählen: Pfähle und Bäume

Ein rechteckiger Garten ist 12 m lang und 9 m breit. Rundherum kommt alle 3 m ein Pfahl, auch in jede Ecke. Wie viele Pfähle sind es?

Schritt für Schritt

Umfang: 2 · 12 m + 2 · 9 m = 42 m
Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
42 m : 3 m = 14

Umfang: 2 · 12 m + 2 · 9 m = 42 m
Der Zaun ist geschlossen: so viele Pfähle wie Zwischenräume.
42 m : 3 m = 14

Ergebnis:

14 Pfähle

AchtungAnfang oder Ende nicht mitgezählt

So nicht

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 → 10 Pfähle

So richtig

Zaun 20 m, alle 2 m ein Pfahl → 20 : 2 = 10 Zwischenräume → 11 Pfähle

Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt es: Bei zwei Enden gibt es einen Pfahl mehr als Zwischenräume.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 2 m steht ein Pfahl, auch am Anfang und am Ende. Wie viele Pfähle braucht man?
So fängst du an:
Zwischenräume: 24 m : 2 m = 12
Lösung zeigen
1. Zwischenräume: 24 m : 2 m = 12
2. Pfähle: ein Pfahl mehr als Zwischenräume.
3. 12 + 1 = 13
Ergebnis:
13 Pfähle
●5
An beiden Seiten eines 48 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 4 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 48 m : 4 m = 12
2. Bäume auf einer Seite: 12 + 1 = 13
3. Beide Seiten: 2 · 13 = 26
Ergebnis:
26 Bäume
★6
An beiden Seiten eines 85 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 85 m : 5 m = 17
2. Bäume auf einer Seite: 17 + 1 = 18
3. Beide Seiten: 2 · 18 = 36
Ergebnis:
36 Bäume

3Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein 20 m langer Zaun, wenn alle 2 m einer steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Elf, nicht zehn: 20 : 2 = 10 Zwischenräume, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler. Eine Skizze mit drei Pfählen zeigt ihn sofort.

MerkenTabelle und Probieren

Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.

Jede Zeile prüft alle Bedingungen. So wird nichts vergessen, und man sieht, in welche Richtung man weitergehen muss.

BeispielKöpfe und Beine: systematisch probieren

Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 10 Karten und zahlt 65 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?

Schritt für Schritt

Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 27 + 28 = 55 €
Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 45 + 20 = 65 €
Passt: 5 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten.

Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
Probieren: 3 Erwachsenenkarten, 7 Kinderkarten: 27 + 28 = 55 €
Probieren: 5 Erwachsenenkarten, 5 Kinderkarten: 45 + 20 = 65 €
Passt: 5 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten.

Ergebnis:

5 Erwachsenenkarten

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○7
Im Hof stehen 12 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 33 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
So fängst du an:
Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Dreiräder, Anzahl Fahrräder, zusammen Räder.
2. Probieren: 6 Dreiräder, 6 Fahrräder: 18 + 12 = 30 Räder
3. Probieren: 9 Dreiräder, 3 Fahrräder: 27 + 6 = 33 Räder
4. Passt: 9 Dreiräder und 3 Fahrräder.
Ergebnis:
9 Dreiräder
●8
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 11 Köpfe und 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 5 Kaninchen, 6 Hühner: 20 + 12 = 32 Beine
3. Probieren: 7 Kaninchen, 4 Hühner: 28 + 8 = 36 Beine
4. Passt: 7 Kaninchen und 4 Hühner.
Ergebnis:
7 Kaninchen
★9
Eine Kinderkarte im Zoo kostet 4 €, eine Erwachsenenkarte 9 €. Eine Gruppe kauft 24 Karten und zahlt 146 €. Wie viele Erwachsenenkarten sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Erwachsenenkarten, Anzahl Kinderkarten, zusammen €.
2. Probieren: 8 Erwachsenenkarten, 16 Kinderkarten: 72 + 64 = 136 €
3. Probieren: 10 Erwachsenenkarten, 14 Kinderkarten: 90 + 56 = 146 €
4. Passt: 10 Erwachsenenkarten und 14 Kinderkarten.
Ergebnis:
10 Erwachsenenkarten

4Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.

EntdeckenFrage

Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago – und wie kann man das ohne Nachschlagen schätzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Diese Frage stellte der Physiker Enrico Fermi seinen Studierenden. Mit wenigen Annahmen – Einwohner, Haushalte mit Klavier, wie oft ein Klavier gestimmt wird, wie viele Klaviere ein Stimmer schafft – kommt man auf eine Zahl in der Größenordnung von hundert.

MerkenRückwärtsarbeiten

Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärtsarbeiten mit Anzahlen und Geld

Ben gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Buch aus. Danach kauft Ben ein Eis für 6 €. Jetzt sind noch 11 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Ende: 11 €
Das Eis zurückrechnen: 11 € + 6 € = 17 €
Die Hälfte zurückrechnen: 17 € · 2 = 34 €

Rückwärts vom Ende: 11 €
Das Eis zurückrechnen: 11 € + 6 € = 17 €
Die Hälfte zurückrechnen: 17 € · 2 = 34 €

Ergebnis:

34 €

AchtungRückwärts mit derselben Rechenart gerechnet

So nicht

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 − 4 → 4 · 2 → 8 €

So richtig

Hälfte ausgegeben, dann 4 € für ein Eis, Rest 8 € → 8 + 4 = 12 → 12 · 2 = 24 €

Rückwärts dreht jede Rechnung um: plus wird minus, mal wird geteilt – und der letzte Schritt kommt zuerst.

ÜbenJetzt du

○10
Can hat eine Tüte Bonbons. Zuerst bekommt der Bruder 5 Stück. Vom Rest behält Can die Hälfte, den anderen Teil bekommen Freunde. Can behält 15 Bonbons. Wie viele waren am Anfang in der Tüte?
So fängst du an:
Rückwärts: Can behält 15 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Can behält 15 Stück, das ist die Hälfte vom Rest.
2. Rest: 15 · 2 = 30
3. Vor dem Bruder: 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35 Bonbons
●11
Lena gibt die Hälfte des Taschengeldes für ein Buch aus. Danach kauft Lena ein Eis für 5 €. Jetzt sind noch 5 € übrig. Wie viel Geld war es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Ende: 5 €
2. Das Eis zurückrechnen: 5 € + 5 € = 10 €
3. Die Hälfte zurückrechnen: 10 € · 2 = 20 €
Ergebnis:
20 €
★12
Tom spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 7 verloren. Am Ende hat Tom 37 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: Am Ende sind es 37.
2. Die verlorenen zurück: 37 + 7 = 44
3. Das Verdoppeln zurück: 44 : 2 = 22
Ergebnis:
22 Murmeln

5Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).

EntdeckenFrage

Ist die große Familienpackung immer billiger als die kleine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Manchmal kostet ein Kilogramm in der Großpackung mehr. Deshalb muss im Laden neben dem Preis auch der Grundpreis stehen, zum Beispiel der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Nur damit kann man Angebote wirklich vergleichen.

MerkenSchätzen mit Annahmen

Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.

Man rechnet mit runden Zahlen und rundet das Ergebnis, denn genauer sind die Annahmen nicht.

BeispielSchätzen mit Annahmen

Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 400 Kinder, und jedes braucht etwa 8 Hefte. Runde auf Hunderter.

Schritt für Schritt

400 · 8 = 3200
Auf Hunderter gerundet: 3200

400 · 8 = 3200
Auf Hunderter gerundet: 3200

Ergebnis:

etwa 3200 Hefte

AchtungErgebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse

So richtig

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie viele Hefte braucht eine Schule im Jahr? Nimm an: Es gibt 420 Kinder, und jedes braucht etwa 9 Hefte. Runde auf Hunderter.
So fängst du an:
420 · 9 = 3780
Lösung zeigen
1. 420 · 9 = 3780
2. Auf Hunderter gerundet: 3800
Ergebnis:
etwa 3800 Hefte
●14
Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 90-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Lösung zeigen
1. In einer Stunde: 90 · 60 = 5400
2. An einem Tag: 5400 · 24 = 129.600
3. Auf Tausender gerundet: 130.000
Ergebnis:
etwa 130.000-mal
★15
Eine Klasse hat 28 Kinder. Nimm an: Jedes Kind isst am Schultag 2 Scheiben Brot. Ein Brot hat 20 Scheiben. Wie viele Brote braucht die Klasse für 10 Schultage?
Lösung zeigen
1. Scheiben: 28 · 2 · 10 = 560
2. 560 : 20 = 28
3. Aufrunden, damit es reicht: 28 Brote
Ergebnis:
28 Brote

6Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.

EntdeckenFrage

Wann musst du losgehen, wenn der Bus um 7:42 Uhr fährt und du 9 Minuten zur Haltestelle brauchst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um 7:33 Uhr – man rechnet vom Ziel aus rückwärts. Der Mathematiker George Pólya nannte das Rückwärtsarbeiten eine der wichtigsten Strategien: beim Gesuchten anfangen und fragen, was man dafür braucht.

MerkenDer Rechenplan

Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?

Dann Schritt für Schritt rechnen und jedes Zwischenergebnis mit Einheit notieren.

BeispielMit einem Rechenplan in mehreren Schritten

Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 9 m lang und 7 m breit. Für 1 m² braucht man 30 g Samen. Eine Packung enthält 500 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?

Schritt für Schritt

Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Fläche: 9 m · 7 m = 63 m²
Samen: 63 · 30 g = 1890 g
Packungen: 1890 g : 500 g, aufgerundet 4

Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
Fläche: 9 m · 7 m = 63 m²
Samen: 63 · 30 g = 1890 g
Packungen: 1890 g : 500 g, aufgerundet 4

Ergebnis:

4 Packungen

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht

0,3 · 0,2 = 0,6

So richtig

0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○16
Zu einer Feier kommen 6 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 7,50 €. Was kosten die Pizzen?
So fängst du an:
Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
Lösung zeigen
1. Plan: Stücke, dann Pizzen, dann Preis.
2. Stücke: 6 · 3 = 18
3. Pizzen: 18 : 8, aufgerundet 3
4. Preis: 3 · 7,50 € = 22,50 €
Ergebnis:
22,50 €
●17
Ein Rasen soll neu gesät werden. Die Fläche ist 7 m lang und 4 m breit. Für 1 m² braucht man 25 g Samen. Eine Packung enthält 250 g. Wie viele Packungen muss man kaufen?
Lösung zeigen
1. Plan: Fläche, dann Samen, dann Packungen.
2. Fläche: 7 m · 4 m = 28 m²
3. Samen: 28 · 25 g = 700 g
4. Packungen: 700 g : 250 g, aufgerundet 3
Ergebnis:
3 Packungen
★18
Die Klasse 6c fährt mit 30 Kindern in den Tierpark. Der Bus kostet zusammen 450,00 €. Der Eintritt kostet 3,50 € je Kind, das Mittagessen 2,50 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus aufteilen, dann alles für ein Kind addieren.
2. Bus je Kind: 450,00 € : 30 = 15,00 €
3. Je Kind: 15,00 € + 3,50 € + 2,50 € = 21,00 €
Ergebnis:
21,00 €

7Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.

EntdeckenFrage

Ab wie vielen Fahrten im Monat war 2025 in Berlin das Deutschlandticket billiger als Einzelfahrscheine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Deutschlandticket kostete 2025 im Monat 58 €, ein Einzelfahrschein Berlin AB 3,80 €. 15 Fahrten kosten 57 €, 16 Fahrten schon 60,80 €. Ab 16 Fahrten im Monat war das Deutschlandticket also billiger.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

Bei Tarifen rechnet man aus, was jeder für die eigene Nutzung kostet.

BeispielAngebote über den Preis für ein Stück vergleichen

Angebot A: 6 Joghurts für 3,24 €. Angebot B: 8 Joghurts für 3,60 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.

Schritt für Schritt

A: 3,24 € : 6 = 0,54 €
B: 3,60 € : 8 = 0,45 €
0,45 € ist weniger: B ist günstiger.

A: 3,24 € : 6 = 0,54 €
B: 3,60 € : 8 = 0,45 €
0,45 € ist weniger: B ist günstiger.

Ergebnis:

B, 0,45 € je Stück

AchtungGesamtpreise statt Preise für ein Stück verglichen

So nicht

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → B kostet weniger, B ist günstiger

So richtig

A: 6 Stück für 2,70 €, B: 4 Stück für 1,96 € → A 0,45 € je Stück < B 0,49 € je Stück

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen: Preis für ein Stück oder einen Liter ausrechnen.

ÜbenJetzt du

○19
Angebot A: 3 Hefte für 1,20 €. Angebot B: 5 Hefte für 1,75 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für ein Stück.
So fängst du an:
A: 1,20 € : 3 = 0,40 €
Lösung zeigen
1. A: 1,20 € : 3 = 0,40 €
2. B: 1,75 € : 5 = 0,35 €
3. 0,35 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,35 € je Stück
●20
Angebot A: 3 Liter Saft für 1,50 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 0,70 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
1. A: 1,50 € : 3 = 0,50 €
2. B: 0,70 € : 2 = 0,35 €
3. 0,35 € ist weniger: B ist günstiger.
Ergebnis:
B, 0,35 € je Liter
★21
Angebot A: 3 Liter Saft für 2,19 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 1,58 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
1. A: 2,19 € : 3 = 0,73 €
2. B: 1,58 € : 2 = 0,79 €
3. 0,73 € ist weniger: A ist günstiger.
Ergebnis:
A, 0,73 € je Liter

8Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.

EntdeckenFrage

Warum ging 1999 eine NASA-Sonde am Mars verloren, obwohl die Computer richtig gerechnet hatten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Team lieferte Werte in englischen Einheiten, das andere las sie als metrische Einheiten. Die Werte waren dadurch etwa 4,45-mal zu klein. Die Sonde flog zu tief in die Marsatmosphäre. Niemand hatte geprüft, ob die Ergebnisse zusammenpassen.

MerkenErgebnisse prüfen

Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Ein Überschlag prüft das Komma, und die Einheiten müssen passen.

BeispielIst das Ergebnis sinnvoll?

Eine Latte ist 300 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 45 cm. Emma rechnet und sagt: „Das gibt 6,67 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?

Schritt für Schritt

300 : 45 ≈ 6,67
Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
Abrunden: 6 Stücke

300 : 45 ≈ 6,67
Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
Abrunden: 6 Stücke

Ergebnis:

6 Stücke

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht auf Sinn geprüft

So nicht

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 → 2,6 Busse

So richtig

130 Kinder, 50 in einen Bus → 130 : 50 = 2,6 → 3 Busse

Busse, Eimer und Pakete gibt es nur ganz. Ein Überschlag zeigt, ob das Komma stimmt, und die Einheiten müssen zusammenpassen.

ÜbenJetzt du

○22
Can hat 10 €. Ein Comic kostet 4,50 €. Can rechnet 10 : 4,5 und sagt: „Ich kann 2,22 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Can wirklich kaufen?
So fängst du an:
10 : 4,5 ≈ 2,22
Lösung zeigen
1. 10 : 4,5 ≈ 2,22
2. Einen Teil eines Comics kann man nicht kaufen.
3. Abrunden: 2 Comics
Ergebnis:
2 Comics
●23
216 Kinder fahren mit Bussen zum Sportfest. In einen Bus passen 40 Kinder. Emma teilt 216 durch 40 und sagt: „Wir brauchen 5,4 Busse.“ Stimmt die Antwort? Wie viele Busse braucht man?
Lösung zeigen
1. 216 : 40 = 5,4
2. Einen Teil eines Busses gibt es nicht, und alle Kinder sollen mit.
3. Aufrunden: 6 Busse
Ergebnis:
6 Busse
★24
Eine Latte ist 320 cm lang. Für ein Vogelhaus braucht man Stücke von 65 cm. Aylin rechnet und sagt: „Das gibt 4,92 Stücke.“ Wie viele ganze Stücke kann man absägen?
Lösung zeigen
1. 320 : 65 ≈ 4,92
2. Nur ganze Stücke taugen, der Rest ist Abfall.
3. Abrunden: 4 Stücke
Ergebnis:
4 Stücke

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Noah ist 11 Jahre alt und spart jede Woche 3,00 €. Wie viel hat Noah nach 5 Wochen gespart? Welche Angabe ist überflüssig? Rechne dann.
Lösung zeigen
1. Gefragt ist: Wie viel hat Noah nach 5 Wochen gespart?
2. Nicht gebraucht: 11 Jahre.
3. 5 · 3,00 € = 15,00 €
Ergebnis:
überflüssig: 11 Jahre; 15,00 €
●26
Ein Zimmer ist 5 m lang. Wie viele Quadratmeter Teppich braucht man für den ganzen Boden? Diese Aufgabe kann man nicht lösen. Welche Angabe fehlt?
A: welche Farbe der Teppich hat
B: wie lang das Zimmer ist
C: wie breit das Zimmer ist
Lösung zeigen
1. Gesucht ist die Fläche.
2. Dafür fehlt: wie breit das Zimmer ist.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C
●27
An beiden Seiten eines 14 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 2 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Zwischenräume auf einer Seite: 14 m : 2 m = 7
2. Bäume auf einer Seite: 7 + 1 = 8
3. Beide Seiten: 2 · 8 = 16
Ergebnis:
16 Bäume
●28
Beim Sommerfest stehen 8 Tische in einer Reihe: quadratische Tische, an jeder Seite ein Stuhl. Zeichne drei Tische und finde eine Regel. Wie viele Stühle passen an alle 8 Tische?
Lösung zeigen
1. Zeichnung: An den Stoßstellen fallen die Stühle weg.
2. Jeder Tisch: 2 Plätze oben und unten, dazu 2 an den Enden.
3. 2 · 8 + 2 = 18
Ergebnis:
18 Stühle
●29
Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 9 Köpfe und 32 Beine. Wie viele Kaninchen sind es?
Lösung zeigen
1. Tabelle: Anzahl Kaninchen, Anzahl Hühner, zusammen Beine.
2. Probieren: 4 Kaninchen, 5 Hühner: 16 + 10 = 26 Beine
3. Probieren: 7 Kaninchen, 2 Hühner: 28 + 4 = 32 Beine
4. Passt: 7 Kaninchen und 2 Hühner.
Ergebnis:
7 Kaninchen
●30
Zwei natürliche Zahlen haben die Summe 6 und das Produkt 8. Welche Zahlen sind es?
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1. Tabelle: Zahlenpaare mit der Summe 6, dazu ihr Produkt.
2. Probieren: 3 und 3 geben 9.
3. Probieren: 2 und 4 geben 8.
Ergebnis:
2 und 4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wichtige und überflüssige Angaben: Erst die Frage lesen, dann die Angaben suchen, die zur Frage passen.
Eine Skizze hilft: Zeichne die Sache einfach und klein.
Tabelle und Probieren: Probieren mit System: jede Möglichkeit in eine Zeile der Tabelle.
Rückwärtsarbeiten: Ist das Ende bekannt und der Anfang gesucht, rechnet man rückwärts.
Schätzen mit Annahmen: Bei Schätzaufgaben legt man sinnvolle Annahmen fest und schreibt sie auf.
Der Rechenplan: Bei mehreren Schritten zuerst planen: Was brauche ich zuerst, was danach?
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.
Ergebnisse prüfen: Am Ende prüft man, ob das Ergebnis zur Sache passt: Busse und Eimer gibt es nur ganz.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde in Sachtexten die wichtigen Angaben und erkenne überflüssige und fehlende.
31
Aylin ist 10 Jahre alt und spart jede Woche 4,00 €. Wie viel hat Aylin nach 5 Wochen gespart? Eine Angabe brauchst du nicht. Welche? Beantworte dann die Frage.
Lösung zeigen
Ergebnis:
überflüssig: 10 Jahre; 20,00 €
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
32
An beiden Seiten eines 25 m langen Weges werden Bäume gepflanzt, alle 5 m einer, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Bäume
Ich löse Aufgaben mit einer Tabelle und systematischem Probieren.
33
Im Hof stehen 11 Fahrzeuge, nur Fahrräder und Dreiräder. Zusammen haben sie 30 Räder. Wie viele Dreiräder stehen dort?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Dreiräder
Ich löse Aufgaben durch Rückwärtsarbeiten.
34
Ben spielt Murmeln. Im ersten Spiel verdoppelt sich die Zahl der Murmeln. Im zweiten Spiel gehen 6 verloren. Am Ende hat Ben 46 Murmeln. Wie viele waren es am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
26 Murmeln
Ich schätze mit sinnvollen Annahmen (Überschlagsaufgaben aus dem Alltag).
35
Wie oft schlägt dein Herz an einem Tag? Nimm an: etwa 80-mal in der Minute. Runde auf Tausender.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 115.000-mal
Ich plane Aufgaben mit mehreren Schritten mit einem Rechenplan.
36
Zu einer Feier kommen 9 Kinder. Jedes isst 3 Stücke Pizza. Eine Pizza hat 8 Stücke und kostet 10,00 €. Was kosten die Pizzen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
40,00 €
Ich vergleiche Angebote und begründe meine Entscheidung.
37
Angebot A: 3 Liter Saft für 1,29 €. Angebot B: 2 Liter Saft für 1,24 €. Welches Angebot ist günstiger? Vergleiche den Preis für einen Liter.
Lösung zeigen
Ergebnis:
A, 0,43 € je Liter
Ich prüfe Ergebnisse auf Sinn und bewerte Lösungswege.
38
Tom hat 10 €. Ein Comic kostet 1,20 €. Tom rechnet 10 : 1,2 und sagt: „Ich kann 8,33 Comics kaufen.“ Wie viele Comics kann Tom wirklich kaufen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Comics

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In einem Käfig sitzen Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 20 Köpfe und 56 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Löse das Rätsel ohne Hilfe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Heurismen als Werkzeugkasten: Skizze, Tabelle und Rückwärtsarbeiten, wenn kein Rechenweg dasteht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Einkaufen, Fahrpläne, Feste planen, Tarife vergleichen. Beruf: Handwerk (Material kalkulieren), Einzelhandel, Veranstaltungsplanung.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Größen und Einheiten, Terme und einfache Gleichungen, Zuordnungen und Dreisatz, Sachaufgaben lösen

Lösungen

überflüssig: 12 Haltestellen; 8:50 Uhr
überflüssig: 50 Tulpen; 26 m
überflüssig: 13 Jahre; 10,00 €
13 Pfähle
26 Bäume
36 Bäume
9 Dreiräder
7 Kaninchen
10 Erwachsenenkarten
35 Bonbons
20 €
22 Murmeln
etwa 3800 Hefte
etwa 130.000-mal
28 Brote
22,50 €
3 Packungen
21,00 €
B, 0,35 € je Stück
B, 0,35 € je Liter
A, 0,73 € je Liter
2 Comics
6 Busse
4 Stücke
überflüssig: 11 Jahre; 15,00 €
C
16 Bäume
18 Stühle
7 Kaninchen
2 und 4
überflüssig: 10 Jahre; 20,00 €
12 Bäume
8 Dreiräder
26 Murmeln
etwa 115.000-mal
40,00 €
A, 0,43 € je Liter
8 Comics
165,00 €
0,92 €