Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 7:15 + 1:00 = 8:15 Uhr
Ergebnis:
8:15 Uhr
●40
Rechne um: 12 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 12 · 10 = 120 dm
Ergebnis:
120 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

26 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 26 Kinder und 7 €.
26 · 7 € = 182 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 26 Kinder und 7 €.
26 · 7 € = 182 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

182 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 30 Kinder und 4 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 30 Kinder und 4 € je Karte.
2. 30 · 4 € = 120 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
120 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 5 € je Karte.
2. 24 · 5 € = 120 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
120 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 7 km = 14 km.
2. 29 Kinder: 29 · 14 km = 406 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
406 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Can ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Von 6:54 bis 7:01 Uhr sind es 7 Minuten.

Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Von 6:54 bis 7:01 Uhr sind es 7 Minuten.

Ergebnis:

7 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:52 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 6:52 Uhr.
2. Von 6:38 bis 6:52 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus M29 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:21, 7:36 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:36 Uhr an.
3. Er fährt um 7:09 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:09 Uhr
★6
Hanna braucht 11 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:12 Uhr nehmen. Wann muss Hanna spätestens los, und wann ist Hanna an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 11 Minuten vor 7:12 Uhr, also 7:01 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:39 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:01 Uhr, an um 7:39 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Hanna sagt: „Ein Zaun von 10 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

10 : 2 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.

10 : 2 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.

Ergebnis:

Nein, 6 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Jonas sagt: „Ein Zaun von 15 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
15 : 3 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 15 : 3 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●8
Entlang eines Weges stehen 7 Zaunpfähle im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Zaunpfähle haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 5 m = 30 m
Ergebnis:
30 m
★9
Um ein Beet mit 42 m Umfang werden rundherum alle 6 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 42 : 6 = 7
Ergebnis:
7 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Noah braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
Noch 28 Minuten früher: 14:48 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
Noch 28 Minuten früher: 14:48 Uhr.

Ergebnis:

14:48 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lea braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 14:56 Uhr.
Ergebnis:
14:56 Uhr
●11
Tom kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Tom 7 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 7 € = 25 €
2. Dann den Kauf: 25 € + 16 € = 41 €
Ergebnis:
41 €
★12
Aylin kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Aylin 4 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 4 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 16 € = 30 €
Ergebnis:
30 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 24 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
6 Fahrräder und 4 Dreiräder: 6 · 2 + 4 · 3 = 24

Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
6 Fahrräder und 4 Dreiräder: 6 · 2 + 4 · 3 = 24

Ergebnis:

4 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 44 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 6 Sechsertische: 2 · 4 + 6 · 6 = 44
Ergebnis:
6 Sechsertische
●14
In der Mensa zählt Tom 9 Tische und 38 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Vierertische und 1 Sechsertisch: 8 · 4 + 1 · 6 = 38
Ergebnis:
8 Vierertische, 1 Sechsertisch
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 18 Fahrzeuge mit 44 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 9 Dreiräder ergeben 45 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 10 Fahrräder und 8 Dreiräder: 10 · 2 + 8 · 3 = 44
Ergebnis:
8 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 18,60 €
Einzeln ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Packung: 18,60 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 12,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 12,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 7,50 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 7,50 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 265 €. Der Förderverein gibt 107 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 265 € + 107 € = 372 €; Kosten: 30 · 5 € = 150 €
372 € − 150 € = 222 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 265 € + 107 € = 372 €; Kosten: 30 · 5 € = 150 €
372 € − 150 € = 222 €

Ergebnis:

222 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 353 €. Der Förderverein gibt 112 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 353 € + 112 € = 465 €; Kosten: 29 · 5 € = 145 €
3. 465 € − 145 € = 320 €
Ergebnis:
320 €
●20
In der Klassenkasse sind 294 €. Der Förderverein gibt 99 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 8 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 294 € + 99 € = 393 €; Kosten: 22 · 8 € = 176 €
3. 393 € − 176 € = 217 €
Ergebnis:
217 €
★21
Jonas läuft an 3 Tagen in der Woche je 3 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 3 · 250 m = 750 m; eine Woche: 3 · 750 m = 2250 m
3. 4 Wochen: 9000 m = 9 km
Ergebnis:
9 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 13 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 9 €.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
3 · 13 + 9 = 48

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
3 · 13 + 9 = 48

Ergebnis:

A, 48 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 8 € und je eine Pumpe für 8 €.“
(A) 8 · (8 + 8)
(B) 8 · 8 + 8
(C) 8 + 8 · 8
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (8 + 8) = 128
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 8 · (8 + 8)
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 6 €.“
(A) 8 · (13 + 6)
(B) 8 · 13 + 6
(C) 8 + 13 · 6
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (13 + 6) = 152
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 8 · (13 + 6)
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Heft für 20 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(A) 5 · (20 + 6)
(B) 5 + 20 · 6
(C) 5 · 20 + 6
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 5 · 20 + 6 = 106
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 5 · 20 + 6

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Auf einem Schiff sind 30 Schafe und 19 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:52 Uhr. Welchen Bus M29 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:52 Uhr: 7:00, 7:20, 7:40 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
3. Er fährt um 7:26 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:26 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 5 Bäume im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 5 Bäume haben 4 Abstände dazwischen.
2. 4 · 4 m = 16 m
Ergebnis:
16 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Mia an 3. Stelle von vorn und an 5. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Mia, dahinter 4 Kinder.
2. 2 + 1 + 4 = 7
Ergebnis:
7 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Tom braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 15:40 Uhr.
Ergebnis:
15:40 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 351 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
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Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Lina ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 248?
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Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Emma sagt: „Ein Zaun von 60 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
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Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Zeynep braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
15:45 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 14 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
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Ergebnis:
2 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 7,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
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Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 27 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 189 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
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Ergebnis:
12 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 8 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
(A) 7 · 8 + 8
(B) 7 + 8 · 8
(C) 7 · (8 + 8)
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Ergebnis:
A: 7 · 8 + 8

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

120 €, die Filmdauer brauche ich nicht
120 €, die Filmdauer brauche ich nicht
406 km
14 Minuten
den um 7:09 Uhr
los um 7:01 Uhr, an um 7:39 Uhr
Nein, 6 Pfähle
30 m
7 Pfähle
14:56 Uhr
41 €
30 €
6 Sechsertische
8 Vierertische, 1 Sechsertisch
8 Dreiräder
einzeln
einzeln
1,67 €
320 €
217 €
9 km
A: 8 · (8 + 8)
A: 8 · (13 + 6)
C: 5 · 20 + 6
Der Preis für Erwachsene fehlt
nicht lösbar
den um 7:26 Uhr
16 m
7 Kinder
15:40 Uhr
Die Tore im Finale fehlen
3 Minuten
Nein, 13 Pfähle
15:45 Uhr
2 Dreiräder
einzeln
12 €
A: 7 · 8 + 8
8:15 Uhr
120 dm