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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 9:30 + 0:45 = 10:15 Uhr
    Ergebnis:
    10:15 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 8 h in min.
    Lösung zeigen
    1. 1 h = 60 min
    2. 8 · 60 = 480 min
    Ergebnis:
    480 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 299 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
10 Spiele22 Tore299 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    25 Kinder3 Lehrkräfte13 km6 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 3.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 224 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    9 Spiele23 Tore224 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 9 Spiele.
    2. 15 − 9 = 6
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  3. ★3
    29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
    29 Kinder3 Lehrkräfte13 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 13 km = 26 km.
    2. 29 Kinder: 29 · 26 km = 754 km
    3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
    Ergebnis:
    754 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:06 Uhr. Welchen Bus X34 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:507:077:057:227:207:377:357:52
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 8:06 Uhr: 7:07, 7:22, 7:37, 7:52 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:52 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:35 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 8:06 Uhr: 7:07, 7:22, 7:37, 7:52 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:52 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:35 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:35 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:487:077:037:227:187:377:337:52
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:07, 7:22, 7:37 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:07, 7:22, 7:37 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:18 Uhr
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:466:597:067:197:267:397:467:59
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 6:59 Uhr.
    2. Von 6:46 bis 6:59 Uhr sind es 13 Minuten.
    Ergebnis:
    13 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:46 Uhr. Welchen Bus 248 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:507:087:107:287:307:487:508:08
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:46 Uhr: 7:08, 7:28 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:28 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:10 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:10 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Zeynep sagt: „Ein Zaun von 40 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 40 : 10 = 4 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
  1. 40 : 10 = 4 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 9 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    So fängst du an:
    9 Laternen haben 8 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 9 Laternen haben 8 Abstände dazwischen.
    2. 8 · 10 m = 80 m
    Ergebnis:
    80 m
  2. ●8
    Ein Weg ist 55 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 55 : 5 = 11
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 11 + 1 = 12
    Ergebnis:
    12 Laternen
  3. ★9
    Ein Zaun ist 52 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 52 : 4 = 13
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 13 + 1 = 14
    Ergebnis:
    14 Zaunpfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Lea kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Lea 12 € geschenkt und hat jetzt 36 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
?− 18 €+ 12 €36 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 36 € − 12 € = 24 €
  2. Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 36 € − 12 € = 24 €
  2. Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €
Ergebnis:
42 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Zeynep braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
    2. Noch 27 Minuten früher: 15:18 Uhr.
    Ergebnis:
    15:18 Uhr
  2. ●11
    Aylin kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Aylin 5 € geschenkt und hat jetzt 11 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
    ?− 15 €+ 5 €11 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 11 € − 5 € = 6 €
    2. Dann den Kauf: 6 € + 15 € = 21 €
    Ergebnis:
    21 €
  3. ★12
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:52 Uhr.
    2. Noch 29 Minuten früher: 16:23 Uhr.
    Ergebnis:
    16:23 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 21 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
  2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
  3. 3 Fahrräder und 5 Dreiräder: 3 · 2 + 5 · 3 = 21
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
  2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
  3. 3 Fahrräder und 5 Dreiräder: 3 · 2 + 5 · 3 = 21
Ergebnis:
5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Vierertische und 5 Sechsertische: 2 · 4 + 5 · 6 = 38
    Ergebnis:
    5 Sechsertische
  2. ●14
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 26 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
    2. Das passt genau.
    3. 5 Hühner und 4 Kaninchen: 5 · 2 + 4 · 4 = 26
    Ergebnis:
    4 Kaninchen
  3. ★15
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 18 Tiere mit 46 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 9 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 54 Beine.
    2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 13 Hühner und 5 Kaninchen: 13 · 2 + 5 · 4 = 46
    Ergebnis:
    5 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 8,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,00 €
  3. Die Packung ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,00 €
  3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 14,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift1,50 €Packung10 Bleistiften14,00 €
    So fängst du an:
    10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 14,00 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,50 €Packung6 Bällen9,30 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
    2. Packung: 9,30 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Tom fährt im Monat 26-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,60 €Monatskartebeliebig oft40,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 26 · 2,60 € = 67,60 €
    2. Monatskarte: 40,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 266 €. Der Förderverein gibt 62 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 7 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
266 €62 €7 €26 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 266 € + 62 € = 328 €; Kosten: 26 · 7 € = 182 €
  3. 328 € − 182 € = 146 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 266 € + 62 € = 328 €; Kosten: 26 · 7 € = 182 €
  3. 328 € − 182 € = 146 €
Ergebnis:
146 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 110 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    22 Kindern110 €4 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 110 € : 22 = 5 €
    3. 5 € + 4 € = 9 €
    Ergebnis:
    9 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 279 €. Der Förderverein gibt 110 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 8 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    279 €110 €8 €23 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 279 € + 110 € = 389 €; Kosten: 23 · 8 € = 184 €
    3. 389 € − 184 € = 205 €
    Ergebnis:
    205 €
  3. ★21
    Die 5c mit 25 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern100 €4 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
    3. 4 € + 4 € = 8 €
    Ergebnis:
    8 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 12 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 12 € und je eine Mappe für 7 €.“
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 4 · 12 + 7 = 55
  1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 4 · 12 + 7 = 55
Ergebnis:
A, 55 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 2 €.“
    (A) 8 · 10 + 2
    (B) 8 · (10 + 2)
    (C) 8 + 10 · 2
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    2. Passend: 8 · (10 + 2) = 96
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 8 · (10 + 2)
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 €. Dazu kommt ein Getränk für 8 € für alle.“
    (A) 8 + 8 · 8
    (B) 8 · 8 + 8
    (C) 8 · (8 + 8)
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 8 · 8 + 8 = 72
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 8 · 8 + 8
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 11 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 11 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 2 €.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 5 · 11 + 2 = 57
    Ergebnis:
    A, 57 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 218 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele38 Tore218 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 8 Spiele.
    2. 15 − 8 = 7
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 6 Böden. Auf jedem stehen 12 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
    6 Böden12 Bücher
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: 6 Böden, 12 Bücher je Boden.
    2. Über die Seiten steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:537:067:087:217:237:367:387:51
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:06 Uhr.
    2. Von 6:53 bis 7:06 Uhr sind es 13 Minuten.
    Ergebnis:
    13 Minuten
  4. ●28
    Entlang eines Weges stehen 12 Laternen im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. 12 Laternen haben 11 Abstände dazwischen.
    2. 11 · 5 m = 55 m
    Ergebnis:
    55 m
  5. ●29
    Im Kino sitzt Sofia auf Platz 7 von links. Zwischen Sofia und Lea sitzen 2 Kinder, Lea sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Lea?
    72 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 7 ist Sofia, dann 2 Plätze dazwischen.
    2. 7 + 2 + 1 = 10
    Ergebnis:
    Platz 10
  6. ●30
    Elias kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Elias 8 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
    ?− 17 €+ 8 €10 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 8 € = 2 €
    2. Dann den Kauf: 2 € + 17 € = 19 €
    Ergebnis:
    19 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    29 Kindern5 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:41 Uhr. Welchen Bus 248 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:467:136:567:237:067:337:167:43
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:06 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Eine Allee ist 36 m lang. Alle 6 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Bäume

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:18 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Ben 10 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Fahrräder, 3 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 6,00 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball0,90 €Packung6 Bällen6,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 448 €. Der Förderverein gibt 79 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    448 €79 €6 €25 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    377 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (6 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 € und je ein Getränk für 5 €.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 55 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. 6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  3. 754 km
  4. den um 7:18 Uhr
  5. 13 Minuten
  6. den um 7:10 Uhr
  7. 80 m
  8. 12 Laternen
  9. 14 Zaunpfähle
  10. 15:18 Uhr
  11. 21 €
  12. 16:23 Uhr
  13. 5 Sechsertische
  14. 4 Kaninchen
  15. 5 Kaninchen
  16. die Packung
  17. einzeln
  18. Ja
  19. 9 €
  20. 205 €
  21. 8 €
  22. B: 8 · (10 + 2)
  23. B: 8 · 8 + 8
  24. A, 57 €
  25. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. 13 Minuten
  28. 55 m
  29. Platz 10
  30. 19 €
  31. Der Beginn des Films fehlt
  32. den um 7:06 Uhr
  33. 7 Bäume
  34. 16:18 Uhr
  35. 7 Fahrräder, 3 Dreiräder
  36. einzeln
  37. 377 €
  38. A, 55 €
  39. 10:15 Uhr
  40. 480 min