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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 7:30 + 1:30 = 9:00 Uhr
    Ergebnis:
    9:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 12 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. 1 kg = 1.000 g
    2. 12 · 1.000 = 12.000 g
    Ergebnis:
    12.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
23 Kinder2 Lehrkräfte10 km7 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 2.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 2.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    29 Kinder3 Lehrkräfte17 km4 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: 29 Kinder und 4 €.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 29 Kinder und 4 €.
    2. 29 · 4 € = 116 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    116 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●2
    23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    23 Kinder3 Lehrkräfte6 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 23 Kinder und 7 €.
    2. 23 · 7 € = 161 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    161 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    23 Kindern6 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 23 Kinder und 6 € je Karte.
    2. 23 · 6 € = 138 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    138 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:53 Uhr. Welchen Bus 100 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:537:187:087:337:237:487:388:03
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 7:53 Uhr: 7:18, 7:33, 7:48 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 7:53 Uhr: 7:18, 7:33, 7:48 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:23 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:416:547:017:147:217:347:417:54
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 6:54 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 6:54 Uhr.
    2. Von 6:41 bis 6:54 Uhr sind es 13 Minuten.
    Ergebnis:
    13 Minuten
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 8:11 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:557:137:157:337:357:537:558:13
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 8:11 Uhr: 7:13, 7:33, 7:53 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:53 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:35 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:35 Uhr
  3. ★6
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:387:056:537:207:087:357:237:50
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 7:05 Uhr.
    2. Von 6:38 bis 7:05 Uhr sind es 27 Minuten.
    Ergebnis:
    27 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 15 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
3 m3 m3 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 15 : 3 = 5
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 5 + 1 = 6
  1. Abstände: 15 : 3 = 5
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 5 + 1 = 6
Ergebnis:
6 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Weg ist 24 m lang. Alle 6 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    6 m6 m6 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 24 : 6 = 4
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 24 : 6 = 4
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 4 + 1 = 5
    Ergebnis:
    5 Laternen
  2. ●8
    Jonas sagt: „Ein Zaun von 16 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 16 : 2 = 8 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 9.
    Ergebnis:
    Nein, 9 Pfähle
  3. ★9
    Ein Weg ist 140 m lang. Alle 10 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 140 : 10 = 14
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 14 + 1 = 15
    Ergebnis:
    15 Laternen

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Noah kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Noah 12 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
?− 12 €+ 12 €25 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 12 € = 13 €
  2. Dann den Kauf: 13 € + 12 € = 25 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 12 € = 13 €
  2. Dann den Kauf: 13 € + 12 € = 25 €
Ergebnis:
25 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Jonas braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:01 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:01 Uhr.
    2. Noch 16 Minuten früher: 15:45 Uhr.
    Ergebnis:
    15:45 Uhr
  2. ●11
    Milan kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Milan 10 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
    ?− 10 €+ 10 €19 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 10 € = 9 €
    2. Dann den Kauf: 9 € + 10 € = 19 €
    Ergebnis:
    19 €
  3. ★12
    Lina verschenkt 7 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Lina noch 8 Karten dazu. Jetzt sind es 32. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 32 − 8 = 24
    2. Verdoppeln rückgängig: 24 : 2 = 12
    3. Verschenken rückgängig: 12 + 7 = 19
    Ergebnis:
    19 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 14 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 4 Fahrräder und 2 Dreiräder: 4 · 2 + 2 · 3 = 14
  1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 4 Fahrräder und 2 Dreiräder: 4 · 2 + 2 · 3 = 14
Ergebnis:
2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa zählt Zeynep 10 Tische und 52 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 4 Vierertische und 6 Sechsertische: 4 · 4 + 6 · 6 = 52
    Ergebnis:
    4 Vierertische, 6 Sechsertische
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Vierertische und 5 Sechsertische: 2 · 4 + 5 · 6 = 38
    Ergebnis:
    5 Sechsertische
  3. ★15
    Auf einem Hof zählt Emma 11 Tiere und 34 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 6 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 32 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 5 Hühner und 6 Kaninchen: 5 · 2 + 6 · 4 = 34
    Ergebnis:
    5 Hühner, 6 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  3. ★18
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
    2. Packung: 9,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 29 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 145 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
29 Kindern145 €6 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 145 € : 29 = 5 €
  3. 5 € + 6 € = 11 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 145 € : 29 = 5 €
  3. 5 € + 6 € = 11 €
Ergebnis:
11 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 443 €. Der Förderverein gibt 89 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    443 €89 €6 €30 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 443 € + 89 € = 532 €; Kosten: 30 · 6 € = 180 €
    3. 532 € − 180 € = 352 €
    Ergebnis:
    352 €
  2. ●20
    Die 5c mit 20 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 80 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 Kindern80 €8 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 80 € : 20 = 4 €
    3. 4 € + 8 € = 12 €
    Ergebnis:
    12 €
  3. ★21
    Die 5c mit 30 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 180 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 Kindern180 €5 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 180 € : 30 = 6 €
    3. 6 € + 5 € = 11 €
    Ergebnis:
    11 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
(A) 7 + 12 · 9
(B) 7 · 12 + 9
(C) 7 · (12 + 9)
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 7 · 12 + 9 = 93
  3. Richtig ist B.
  1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 7 · 12 + 9 = 93
  3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 7 · 12 + 9

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 € und je ein Getränk für 7 €.“
    (A) 6 + 7 · 7
    (B) 6 · 7 + 7
    (C) 6 · (7 + 7)
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    2. Passend: 6 · (7 + 7) = 84
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 6 · (7 + 7)
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
    (A) 4 · (6 + 3)
    (B) 4 · 6 + 3
    (C) 4 + 6 · 3
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 4 · 6 + 3 = 27
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 4 · 6 + 3
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (10 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 6 €.“
    (B) „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    2. Passend ist A.
    3. 6 · (10 + 6) = 96
    Ergebnis:
    A, 96 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    22 Kindern6 €105 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 22 Kinder und 6 € je Karte.
    2. 22 · 6 € = 132 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    132 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●26
    In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 4 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
    23 Kinder4
    Lösung zeigen
    1. 23 : 4 = 5 Rest 3
    2. 3 Kinder pfeifen.
    Ergebnis:
    lösbar, 3
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus M29 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:537:147:137:347:337:547:538:14
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 7:14, 7:34 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:34 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:13 Uhr
  4. ●28
    Hanna sagt: „Ein Zaun von 24 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. 24 : 4 = 6 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
    Ergebnis:
    Nein, 7 Pfähle
  5. ●29
    Im Kino sitzt Ben auf Platz 8 von links. Zwischen Ben und Hanna sitzen 4 Kinder, Hanna sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Hanna?
    84 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 8 ist Ben, dann 4 Plätze dazwischen.
    2. 8 + 4 + 1 = 13
    Ergebnis:
    Platz 13
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Paul braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
    2. Noch 17 Minuten früher: 16:29 Uhr.
    Ergebnis:
    16:29 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 426 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    12 Spiele28 Tore426 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:417:096:567:247:117:397:267:54
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Eine Allee ist 21 m lang. Alle 3 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Bäume

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Lina kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Lina 6 € geschenkt und hat jetzt 8 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
    ?− 12 €+ 6 €8 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Sofia 5 Fahrzeuge und 11 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Fahrräder, 1 Dreirad

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,00 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 361 €. Der Förderverein gibt 76 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 7 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    361 €76 €7 €20 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    297 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 9 €.“
    (A) 5 · 13 + 9
    (B) 5 · (13 + 9)
    (C) 5 + 13 · 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B: 5 · (13 + 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 116 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. 161 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. 138 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  4. 13 Minuten
  5. den um 7:35 Uhr
  6. 27 Minuten
  7. 5 Laternen
  8. Nein, 9 Pfähle
  9. 15 Laternen
  10. 15:45 Uhr
  11. 19 €
  12. 19 Karten
  13. 4 Vierertische, 6 Sechsertische
  14. 5 Sechsertische
  15. 5 Hühner, 6 Kaninchen
  16. 1,33 €
  17. 1,00 €
  18. einzeln
  19. 352 €
  20. 12 €
  21. 11 €
  22. C: 6 · (7 + 7)
  23. B: 4 · 6 + 3
  24. A, 96 €
  25. 132 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  26. lösbar, 3
  27. den um 7:13 Uhr
  28. Nein, 7 Pfähle
  29. Platz 13
  30. 16:29 Uhr
  31. 3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  32. 28 Minuten
  33. 8 Bäume
  34. 14 €
  35. 4 Fahrräder, 1 Dreirad
  36. 1,00 €
  37. 297 €
  38. B: 5 · (13 + 9)
  39. 9:00 Uhr
  40. 12.000 g