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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 7:00 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 7:00 + 1:30 = 8:30 Uhr
    Ergebnis:
    8:30 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 9 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. 1 kg = 1.000 g
    2. 9 · 1.000 = 9.000 g
    Ergebnis:
    9.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 464 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
7 Spiele37 Tore464 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    26 Kindern4 €120 Minuten
    So fängst du an:
    Gebraucht: 26 Kinder und 4 € je Karte.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 26 Kinder und 4 € je Karte.
    2. 26 · 4 € = 104 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    104 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●2
    24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    24 Kinder2 Lehrkräfte16 km5 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 24 Kinder und 5 €.
    2. 24 · 5 € = 120 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 374 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
    8 Spiele38 Tore374 Zuschauer3 €
    Lösung zeigen
    1. Karten: 374, so viele wie Zuschauer.
    2. 374 · 3 € = 1.122 €
    3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
    Ergebnis:
    374 Karten, 1.122 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:09 Uhr. Welchen Bus 100 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:537:117:087:267:237:417:387:56
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 8:09 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41, 7:56 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:56 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:38 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 8:09 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41, 7:56 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:56 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:38 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:38 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna ist um 6:51 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:437:017:037:217:237:417:438:01
    So fängst du an:
    Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
    2. Von 6:51 bis 7:03 Uhr sind es 12 Minuten.
    Ergebnis:
    12 Minuten
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus M29 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:507:047:107:247:307:447:508:04
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 7:04, 7:24, 7:44 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:30 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:30 Uhr
  3. ★6
    Hanna braucht 6 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus M29 um 7:10 Uhr nehmen. Wann muss Hanna spätestens los, und wann ist Hanna an der Schule?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:407:026:557:177:107:327:257:47
    Lösung zeigen
    1. Los: 6 Minuten vor 7:10 Uhr, also 7:04 Uhr.
    2. Ankunft laut Fahrplan: 7:32 Uhr.
    Ergebnis:
    los um 7:04 Uhr, an um 7:32 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Eine Allee ist 42 m lang. Alle 6 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 42 : 6 = 7
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 7 + 1 = 8
  1. Abstände: 42 : 6 = 7
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Bäume

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 5 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    So fängst du an:
    5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
    2. 4 · 2 m = 8 m
    Ergebnis:
    8 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 12 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 12 Laternen haben 11 Abstände dazwischen.
    2. 11 · 2 m = 22 m
    Ergebnis:
    22 m
  3. ★9
    Um ein Beet mit 42 m Umfang werden rundherum alle 3 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
    2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 42 : 3 = 14
    Ergebnis:
    14 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Tom 10 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
?− 8 €+ 10 €17 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 10 € = 7 €
  2. Dann den Kauf: 7 € + 8 € = 15 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 10 € = 7 €
  2. Dann den Kauf: 7 € + 8 € = 15 €
Ergebnis:
15 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:49 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:49 Uhr.
    2. Noch 34 Minuten früher: 15:15 Uhr.
    Ergebnis:
    15:15 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Noah braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
    2. Noch 22 Minuten früher: 15:33 Uhr.
    Ergebnis:
    15:33 Uhr
  3. ★12
    Emma kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Emma 8 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
    ?− 9 €+ 8 €26 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 8 € = 18 €
    2. Dann den Kauf: 18 € + 9 € = 27 €
    Ergebnis:
    27 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 20 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 7 Fahrräder und 2 Dreiräder: 7 · 2 + 2 · 3 = 20
  1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 7 Fahrräder und 2 Dreiräder: 7 · 2 + 2 · 3 = 20
Ergebnis:
2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Hanna 7 Fahrzeuge und 16 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 5 Fahrräder und 2 Dreiräder: 5 · 2 + 2 · 3 = 16
    Ergebnis:
    5 Fahrräder, 2 Dreiräder
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 26 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 5 Vierertische und 1 Sechsertisch: 5 · 4 + 1 · 6 = 26
    Ergebnis:
    1 Sechsertisch
  3. ★15
    Im Hof der Kita zählt Elias 10 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
    Ergebnis:
    9 Fahrräder, 1 Dreirad

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Schritt für Schritt
  1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
  2. Packung: 4,20 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
  2. Packung: 4,20 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 6,90 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,80 €Packung4 Bällen6,90 €
    So fängst du an:
    4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
    2. Packung: 6,90 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 353 €. Der Förderverein gibt 120 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
353 €120 €4 €21 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 353 € + 120 € = 473 €; Kosten: 21 · 4 € = 84 €
  3. 473 € − 84 € = 389 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 353 € + 120 € = 473 €; Kosten: 21 · 4 € = 84 €
  3. 473 € − 84 € = 389 €
Ergebnis:
389 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 26 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 156 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    26 Kindern156 €7 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 156 € : 26 = 6 €
    3. 6 € + 7 € = 13 €
    Ergebnis:
    13 €
  2. ●20
    Die 5c mit 29 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 174 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    29 Kindern174 €8 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 174 € : 29 = 6 €
    3. 6 € + 8 € = 14 €
    Ergebnis:
    14 €
  3. ★21
    Tom läuft an 4 Tagen in der Woche je 5 Runden auf der 400-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    4 Tagen5 Runden4004 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 5 · 400 m = 2000 m; eine Woche: 4 · 2000 m = 8000 m
    3. 4 Wochen: 32.000 m = 32 km
    Ergebnis:
    32 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (14 + 4)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 14 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 14 € und je eine Mappe für 4 €.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
  2. Passend ist B.
  3. 4 · (14 + 4) = 72
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
  2. Passend ist B.
  3. 4 · (14 + 4) = 72
Ergebnis:
B, 72 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 13 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
    (B) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 3 €.“
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 7 · 13 + 3 = 94
    Ergebnis:
    A, 94 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
    (A) 5 · (15 + 5)
    (B) 5 + 15 · 5
    (C) 5 · 15 + 5
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 5 · 15 + 5 = 80
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 5 · 15 + 5
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 10 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.“
    (A) 8 · (10 + 7)
    (B) 8 · 10 + 7
    (C) 8 + 10 · 7
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 8 · 10 + 7 = 87
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 8 · 10 + 7

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    23 Kindern5 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●26
    In der Klasse sind 25 Kinder. Sie spielen in 5 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
    25 Kinder5 Teams
    Lösung zeigen
    1. Über Tore steht nichts im Text.
    2. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:467:137:017:287:167:437:317:58
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:13 Uhr.
    2. Von 6:46 bis 7:13 Uhr sind es 27 Minuten.
    Ergebnis:
    27 Minuten
  4. ●28
    Entlang eines Weges stehen 13 Bäume im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
    2. 12 · 10 m = 120 m
    Ergebnis:
    120 m
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Aylin an 14. Stelle von vorn und an 8. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    148
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Aylin, dahinter 7 Kinder.
    2. 13 + 1 + 7 = 21
    Ergebnis:
    21 Kinder
  6. ●30
    Noah kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Noah 6 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
    ?− 17 €+ 6 €24 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 6 € = 18 €
    2. Dann den Kauf: 18 € + 17 € = 35 €
    Ergebnis:
    35 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 416 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele17 Tore416 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:557:127:157:327:357:527:558:12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Zaun ist 100 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Zaunpfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Aylin kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Aylin 3 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Aylin am Anfang?
    ?− 15 €+ 3 €25 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Paul 5 Fahrzeuge und 12 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Fahrräder, 2 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 18,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 376 €. Der Förderverein gibt 47 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 5 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    376 €47 €5 €23 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    308 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (9 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
    (B) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 2 €.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 44 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 104 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. 120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. 374 Karten, 1.122 €
  4. 12 Minuten
  5. den um 7:30 Uhr
  6. los um 7:04 Uhr, an um 7:32 Uhr
  7. 8 m
  8. 22 m
  9. 14 Pfähle
  10. 15:15 Uhr
  11. 15:33 Uhr
  12. 27 €
  13. 5 Fahrräder, 2 Dreiräder
  14. 1 Sechsertisch
  15. 9 Fahrräder, 1 Dreirad
  16. die Packung
  17. 0,67 €
  18. 1,67 €
  19. 13 €
  20. 14 €
  21. 32 km
  22. A, 94 €
  23. C: 5 · 15 + 5
  24. B: 8 · 10 + 7
  25. Der Beginn des Films fehlt
  26. nicht lösbar
  27. 27 Minuten
  28. 120 m
  29. 21 Kinder
  30. 35 €
  31. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  32. 17 Minuten
  33. 11 Zaunpfähle
  34. 37 €
  35. 3 Fahrräder, 2 Dreiräder
  36. einzeln
  37. 308 €
  38. B, 44 €
  39. 8:30 Uhr
  40. 9.000 g