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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 9:15 + 0:45 = 10:00 Uhr
    Ergebnis:
    10:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 2 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 2 · 1.000 = 2.000 m
    Ergebnis:
    2.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
26 Kindern5 €120 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: 26 Kinder und 5 € je Karte.
  2. 26 · 5 € = 130 €
  3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
  1. Gebraucht: 26 Kinder und 5 € je Karte.
  2. 26 · 5 € = 130 €
  3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
130 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 128 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    9 Spiele38 Tore128 Zuschauer
    So fängst du an:
    Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●2
    22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    22 Kinder2 Lehrkräfte11 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 105 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
    25 Kindern5 €105 Minuten
    Lösung zeigen
    1. 105 Minuten sind 1 Stunde und 45 Minuten.
    2. 8:15 Uhr plus 105 Minuten: 10:00 Uhr
    3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
    Ergebnis:
    10:00 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Can ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus M29?
Bus M29Hauptstraße abSchule an6:437:076:537:177:037:277:137:37
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
  2. Von 6:46 bis 6:53 Uhr sind es 7 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
  2. Von 6:46 bis 6:53 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:417:046:567:197:117:347:267:49
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:04 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:04 Uhr.
    2. Von 6:41 bis 7:04 Uhr sind es 23 Minuten.
    Ergebnis:
    23 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:437:096:537:197:037:297:137:39
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:43 Uhr, an 7:09 Uhr.
    2. Von 6:43 bis 7:09 Uhr sind es 26 Minuten.
    Ergebnis:
    26 Minuten
  3. ★6
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:457:116:557:217:057:317:157:41
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:11 Uhr.
    2. Von 6:45 bis 7:11 Uhr sind es 26 Minuten.
    Ergebnis:
    26 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Weg ist 30 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
5 m5 m5 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 30 : 5 = 6
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 6 + 1 = 7
  1. Abstände: 30 : 5 = 6
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Laternen

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Weg ist 24 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    4 m4 m4 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 24 : 4 = 6
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 24 : 4 = 6
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 6 + 1 = 7
    Ergebnis:
    7 Laternen
  2. ●8
    Jonas sagt: „Ein Zaun von 35 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. 35 : 5 = 7 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
    Ergebnis:
    Nein, 8 Pfähle
  3. ★9
    Can sagt: „Ein Zaun von 70 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 70 : 10 = 7 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
    Ergebnis:
    Nein, 8 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Jonas braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?16:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
  2. Noch 17 Minuten früher: 15:37 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
  2. Noch 17 Minuten früher: 15:37 Uhr.
Ergebnis:
15:37 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:23 Uhr.
    2. Noch 31 Minuten früher: 14:52 Uhr.
    Ergebnis:
    14:52 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Elias braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
    2. Noch 22 Minuten früher: 15:00 Uhr.
    Ergebnis:
    15:00 Uhr
  3. ★12
    Jonas verschenkt 3 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Jonas noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 52. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 52 − 4 = 48
    2. Verdoppeln rückgängig: 48 : 2 = 24
    3. Verschenken rückgängig: 24 + 3 = 27
    Ergebnis:
    27 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Ben 7 Tiere und 22 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 3 Hühner und 4 Kaninchen: 3 · 2 + 4 · 4 = 22
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 3 Hühner und 4 Kaninchen: 3 · 2 + 4 · 4 = 22
Ergebnis:
3 Hühner, 4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Noah 5 Fahrzeuge und 11 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 4 Fahrräder und 1 Dreirad: 4 · 2 + 1 · 3 = 11
    Ergebnis:
    4 Fahrräder, 1 Dreirad
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 34 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Vierertisch und 5 Sechsertische: 1 · 4 + 5 · 6 = 34
    Ergebnis:
    5 Sechsertische
  3. ★15
    In der Mensa zählt Can 18 Tische und 86 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 9 Vierertische und 9 Sechsertische ergeben 90 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 11 Vierertische und 7 Sechsertische: 11 · 4 + 7 · 6 = 86
    Ergebnis:
    11 Vierertische, 7 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
  2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
  2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
    So fängst du an:
    4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
    2. Packung: 10,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 14,00 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift2,50 €Packung6 Bleistiften14,00 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 14,00 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Zeynep fährt im Monat 27-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,40 €Monatskartebeliebig oft45,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 27 · 2,40 € = 64,80 €
    2. Monatskarte: 45,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 28 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 140 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
28 Kindern140 €6 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 140 € : 28 = 5 €
  3. 5 € + 6 € = 11 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 140 € : 28 = 5 €
  3. 5 € + 6 € = 11 €
Ergebnis:
11 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 20 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 80 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 Kindern80 €8 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 80 € : 20 = 4 €
    3. 4 € + 8 € = 12 €
    Ergebnis:
    12 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 311 €. Der Förderverein gibt 97 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 6 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    311 €97 €6 €23 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 311 € + 97 € = 408 €; Kosten: 23 · 6 € = 138 €
    3. 408 € − 138 € = 270 €
    Ergebnis:
    270 €
  3. ★21
    Die 5c mit 20 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    20 Kindern100 €5 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 100 € : 20 = 5 €
    3. 5 € + 5 € = 10 €
    Ergebnis:
    10 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 8 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 5 €.“
(B) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 8 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist B.
  3. 8 · 8 + 5 = 69
  1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist B.
  3. 8 · 8 + 5 = 69
Ergebnis:
B, 69 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 11 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
    (A) 4 + 11 · 7
    (B) 4 · (11 + 7)
    (C) 4 · 11 + 7
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 4 · 11 + 7 = 51
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 4 · 11 + 7
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
    (A) 5 · 13 + 2
    (B) 5 + 13 · 2
    (C) 5 · (13 + 2)
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 5 · 13 + 2 = 67
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 5 · 13 + 2
  3. ★24
    Erfinde zu 4 · (9 + 6) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. „4 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 6 €.“
    3. 4 · (9 + 6) = 60
    Ergebnis:
    60 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 296 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    9 Spiele32 Tore296 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 9 Spiele.
    2. 15 − 9 = 6
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 3 Böden mit je 11 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
    3 Böden11 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 11 = 33.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C, 33 Bücher
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:557:077:157:277:357:477:558:07
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:07, 7:27, 7:47 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:47 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:35 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:35 Uhr
  4. ●28
    Entlang eines Weges stehen 10 Laternen im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
    2. 9 · 3 m = 27 m
    Ergebnis:
    27 m
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Ben an 7. Stelle von vorn und an 14. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    714
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 6 Kinder, dann Ben, dahinter 13 Kinder.
    2. 6 + 1 + 13 = 20
    Ergebnis:
    20 Kinder
  6. ●30
    Mia kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Mia 12 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
    ?− 6 €+ 12 €16 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 12 € = 4 €
    2. Dann den Kauf: 4 € + 6 € = 10 €
    Ergebnis:
    10 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    29 Kinder3 Lehrkräfte12 km4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:426:576:527:077:027:177:127:27
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Weg ist 16 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Laternen

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Lina kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Lina 11 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
    ?− 16 €+ 11 €14 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 16 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 200 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern200 €6 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 8 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 9 €.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 49 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Die Tore im Finale fehlen
  2. Der Preis für Erwachsene fehlt
  3. 10:00 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
  4. 23 Minuten
  5. 26 Minuten
  6. 26 Minuten
  7. 7 Laternen
  8. Nein, 8 Pfähle
  9. Nein, 8 Pfähle
  10. 14:52 Uhr
  11. 15:00 Uhr
  12. 27 Karten
  13. 4 Fahrräder, 1 Dreirad
  14. 5 Sechsertische
  15. 11 Vierertische, 7 Sechsertische
  16. einzeln
  17. die Packung
  18. Ja
  19. 12 €
  20. 270 €
  21. 10 €
  22. C: 4 · 11 + 7
  23. A: 5 · 13 + 2
  24. 60 €
  25. 6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  26. C, 33 Bücher
  27. den um 7:35 Uhr
  28. 27 m
  29. 20 Kinder
  30. 10 €
  31. 116 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  32. 15 Minuten
  33. 5 Laternen
  34. 19 €
  35. 1 Kaninchen
  36. die Packung
  37. 14 €
  38. A, 49 €
  39. 10:00 Uhr
  40. 2.000 m