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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 10:15 + 1:30 = 11:45 Uhr
    Ergebnis:
    11:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 8 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 8 · 100 = 800 cm
    Ergebnis:
    800 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
29 Kindern5 €120 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    22 Kinder2 Lehrkräfte6 km3 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    27 Kindern8 €105 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  3. ★3
    26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    26 Kinder3 Lehrkräfte7 km3 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 3.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Lina ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 100?
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:386:576:537:127:087:277:237:42
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
  2. Von 6:46 bis 6:53 Uhr sind es 7 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
  2. Von 6:46 bis 6:53 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:427:047:027:247:227:447:428:04
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:04 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:04 Uhr.
    2. Von 6:42 bis 7:04 Uhr sind es 22 Minuten.
    Ergebnis:
    22 Minuten
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 8:06 Uhr. Welchen Bus X34 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:527:177:127:377:327:577:528:17
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 8:06 Uhr: 7:17, 7:37, 7:57 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:57 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:32 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:32 Uhr
  3. ★6
    Sofia ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:477:056:577:157:077:257:177:35
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
    2. Von 6:52 bis 6:57 Uhr sind es 5 Minuten.
    Ergebnis:
    5 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 7 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
  2. 6 · 10 m = 60 m
  1. 7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
  2. 6 · 10 m = 60 m
Ergebnis:
60 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
    2. 9 · 5 m = 45 m
    Ergebnis:
    45 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 13 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
    2. 12 · 6 m = 72 m
    Ergebnis:
    72 m
  3. ★9
    Um ein Beet mit 26 m Umfang werden rundherum alle 2 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
    2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 26 : 2 = 13
    Ergebnis:
    13 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Sofia kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Sofia 12 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
?− 18 €+ 12 €22 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 12 € = 10 €
  2. Dann den Kauf: 10 € + 18 € = 28 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 12 € = 10 €
  2. Dann den Kauf: 10 € + 18 € = 28 €
Ergebnis:
28 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Hanna braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
    2. Noch 22 Minuten früher: 15:44 Uhr.
    Ergebnis:
    15:44 Uhr
  2. ●11
    Noah kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Noah 4 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
    ?− 15 €+ 4 €13 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 4 € = 9 €
    2. Dann den Kauf: 9 € + 15 € = 24 €
    Ergebnis:
    24 €
  3. ★12
    Can verschenkt 5 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Can noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 50. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 50 − 4 = 46
    2. Verdoppeln rückgängig: 46 : 2 = 23
    3. Verschenken rückgängig: 23 + 5 = 28
    Ergebnis:
    28 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Sofia 6 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Vierertische0123…Plätze????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 5 Sechsertische: 1 · 4 + 5 · 6 = 34
  1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 5 Sechsertische: 1 · 4 + 5 · 6 = 34
Ergebnis:
1 Vierertisch, 5 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Jonas 10 Fahrzeuge und 24 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 6 Fahrräder und 4 Dreiräder: 6 · 2 + 4 · 3 = 24
    Ergebnis:
    6 Fahrräder, 4 Dreiräder
  2. ●14
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 22 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 2 Fahrräder und 6 Dreiräder: 2 · 2 + 6 · 3 = 22
    Ergebnis:
    6 Dreiräder
  3. ★15
    Im Hof der Kita zählt Hanna 11 Fahrzeuge und 24 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 9 Fahrräder und 2 Dreiräder: 9 · 2 + 2 · 3 = 24
    Ergebnis:
    9 Fahrräder, 2 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
  2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
  2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
    So fängst du an:
    6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 15,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
    Ergebnis:
    0,80 €
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Zeynep fährt im Monat 23-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,40 €Monatskartebeliebig oft58,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 23 · 2,40 € = 55,20 €
    2. Monatskarte: 58,00 €
    3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 324 €. Der Förderverein gibt 88 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
324 €88 €4 €27 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 324 € + 88 € = 412 €; Kosten: 27 · 4 € = 108 €
  3. 412 € − 108 € = 304 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 324 € + 88 € = 412 €; Kosten: 27 · 4 € = 108 €
  3. 412 € − 108 € = 304 €
Ergebnis:
304 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 198 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    22 Kindern198 €5 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 198 € : 22 = 9 €
    3. 9 € + 5 € = 14 €
    Ergebnis:
    14 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 332 €. Der Förderverein gibt 59 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    332 €59 €5 €30 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 332 € + 59 € = 391 €; Kosten: 30 · 5 € = 150 €
    3. 391 € − 150 € = 241 €
    Ergebnis:
    241 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 464 €. Der Förderverein gibt 49 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 3 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    464 €49 €3 €26 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 464 € + 49 € = 513 €; Kosten: 26 · 3 € = 78 €
    3. 513 € − 78 € = 435 €
    Ergebnis:
    435 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
(A) 7 + 9 · 3
(B) 7 · 9 + 3
(C) 7 · (9 + 3)
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 7 · 9 + 3 = 66
  3. Richtig ist B.
  1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 7 · 9 + 3 = 66
  3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 7 · 9 + 3

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
    (A) 3 + 12 · 9
    (B) 3 · (12 + 9)
    (C) 3 · 12 + 9
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 3 · 12 + 9 = 45
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 3 · 12 + 9
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.“
    (A) 5 · 13 + 4
    (B) 5 · (13 + 4)
    (C) 5 + 13 · 4
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 5 · 13 + 4 = 69
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 5 · 13 + 4
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 20 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 20 € und je eine Pumpe für 4 €.“
    (B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 20 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 8 · 20 + 4 = 164
    Ergebnis:
    B, 164 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    28 Kindern6 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●26
    Ein Regal hat 3 Böden. Auf jedem stehen 6 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
    3 Böden6 Bücher
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: 3 Böden, 6 Bücher je Boden.
    2. Über die Seiten steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Ben ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:537:187:037:287:137:387:237:48
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:03 Uhr.
    2. Von 6:55 bis 7:03 Uhr sind es 8 Minuten.
    Ergebnis:
    8 Minuten
  4. ●28
    Milan sagt: „Ein Zaun von 50 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. 50 : 5 = 10 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
    Ergebnis:
    Nein, 11 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Ben an 13. Stelle von vorn und an 6. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    136
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Ben, dahinter 5 Kinder.
    2. 12 + 1 + 5 = 18
    Ergebnis:
    18 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
    2. Noch 19 Minuten früher: 16:36 Uhr.
    Ergebnis:
    16:36 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 246 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    9 Spiele34 Tore246 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:387:066:537:217:087:367:237:51
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Entlang eines Weges stehen 6 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 m

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Ben kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Ben 4 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
    ?− 7 €+ 4 €29 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Lina 5 Fahrzeuge und 14 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Fahrrad, 4 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 7,50 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel1,80 €Packung4 Riegeln7,50 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 363 €. Der Förderverein gibt 84 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 5 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    363 €84 €5 €20 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    347 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 3 €.“
    (A) 3 · (14 + 3)
    (B) 3 · 14 + 3
    (C) 3 + 14 · 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A: 3 · (14 + 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. Der Beginn des Films fehlt
  3. Der Preis für Erwachsene fehlt
  4. 22 Minuten
  5. den um 7:32 Uhr
  6. 5 Minuten
  7. 45 m
  8. 72 m
  9. 13 Pfähle
  10. 15:44 Uhr
  11. 24 €
  12. 28 Karten
  13. 6 Fahrräder, 4 Dreiräder
  14. 6 Dreiräder
  15. 9 Fahrräder, 2 Dreiräder
  16. einzeln
  17. 0,80 €
  18. Nein
  19. 14 €
  20. 241 €
  21. 435 €
  22. C: 3 · 12 + 9
  23. A: 5 · 13 + 4
  24. B, 164 €
  25. Der Beginn des Films fehlt
  26. nicht lösbar
  27. 8 Minuten
  28. Nein, 11 Pfähle
  29. 18 Kinder
  30. 16:36 Uhr
  31. 6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  32. 28 Minuten
  33. 10 m
  34. 32 €
  35. 1 Fahrrad, 4 Dreiräder
  36. einzeln
  37. 347 €
  38. A: 3 · (14 + 3)
  39. 11:45 Uhr
  40. 800 cm