Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 10:30 + 0:45 = 11:15 Uhr
    Ergebnis:
    11:15 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 2 € in ct.
    Lösung zeigen
    1. 1 € = 100 ct
    2. 2 · 100 = 200 ct
    Ergebnis:
    200 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
28 Kinder2 Lehrkräfte15 km6 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: 28 Kinder und 6 €.
  2. 28 · 6 € = 168 €
  3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
  1. Gebraucht: 28 Kinder und 6 €.
  2. 28 · 6 € = 168 €
  3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
168 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    30 Kinder2 Lehrkräfte17 km5 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: 30 Kinder und 5 €.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 30 Kinder und 5 €.
    2. 30 · 5 € = 150 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●2
    22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    22 Kinder3 Lehrkräfte9 km5 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 22 Kinder und 5 €.
    2. 22 · 5 € = 110 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    110 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 442 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
    6 Spiele34 Tore442 Zuschauer3 €
    Lösung zeigen
    1. Karten: 442, so viele wie Zuschauer.
    2. 442 · 3 € = 1.326 €
    3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
    Ergebnis:
    442 Karten, 1.326 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Ben ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Ben auf den nächsten Bus M29?
Bus M29Hauptstraße abSchule an6:547:117:097:267:247:417:397:56
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
  2. Von 6:55 bis 7:09 Uhr sind es 14 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 7:09 Uhr.
  2. Von 6:55 bis 7:09 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:20 Uhr. Welchen Bus 100 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:407:016:557:167:107:317:257:46
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:20 Uhr: 7:01, 7:16 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:20 Uhr: 7:01, 7:16 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:16 Uhr an.
    3. Er fährt um 6:55 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 6:55 Uhr
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:407:077:007:277:207:477:408:07
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:07 Uhr.
    2. Von 6:40 bis 7:07 Uhr sind es 27 Minuten.
    Ergebnis:
    27 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus X34 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:437:116:537:217:037:317:137:41
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 7:11, 7:21, 7:31, 7:41 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:13 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 9 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
4 m4 m4 m…?
Schritt für Schritt
  1. 9 Laternen haben 8 Abstände dazwischen.
  2. 8 · 4 m = 32 m
  1. 9 Laternen haben 8 Abstände dazwischen.
  2. 8 · 4 m = 32 m
Ergebnis:
32 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Weg ist 54 m lang. Alle 6 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    6 m6 m6 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 54 : 6 = 9
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 54 : 6 = 9
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 9 + 1 = 10
    Ergebnis:
    10 Laternen
  2. ●8
    Jonas sagt: „Ein Zaun von 100 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 100 : 10 = 10 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
    Ergebnis:
    Nein, 11 Pfähle
  3. ★9
    Eine Allee ist 12 m lang. Alle 3 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 12 : 3 = 4
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 4 + 1 = 5
    Ergebnis:
    5 Bäume

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Ben kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Ben 6 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
?− 16 €+ 6 €28 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 6 € = 22 €
  2. Dann den Kauf: 22 € + 16 € = 38 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 6 € = 22 €
  2. Dann den Kauf: 22 € + 16 € = 38 €
Ergebnis:
38 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Ben braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
    2. Noch 33 Minuten früher: 15:14 Uhr.
    Ergebnis:
    15:14 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Emma braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
    2. Noch 31 Minuten früher: 15:38 Uhr.
    Ergebnis:
    15:38 Uhr
  3. ★12
    Lea verschenkt 7 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Lea noch 8 Karten dazu. Jetzt sind es 50. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 50 − 8 = 42
    2. Verdoppeln rückgängig: 42 : 2 = 21
    3. Verschenken rückgängig: 21 + 7 = 28
    Ergebnis:
    28 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Lea 6 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
  2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
  3. 1 Fahrrad und 5 Dreiräder: 1 · 2 + 5 · 3 = 17
  1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
  2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
  3. 1 Fahrrad und 5 Dreiräder: 1 · 2 + 5 · 3 = 17
Ergebnis:
1 Fahrrad, 5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa zählt Ben 5 Tische und 24 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    So fängst du an:
    Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
    2. Das passt genau.
    3. 3 Vierertische und 2 Sechsertische: 3 · 4 + 2 · 6 = 24
    Ergebnis:
    3 Vierertische, 2 Sechsertische
  2. ●14
    Im Hof der Kita zählt Sofia 7 Fahrzeuge und 18 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 3 Fahrräder und 4 Dreiräder: 3 · 2 + 4 · 3 = 18
    Ergebnis:
    3 Fahrräder, 4 Dreiräder
  3. ★15
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 14 Tische mit 64 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Vierertische und 7 Sechsertische ergeben 70 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 10 Vierertische und 4 Sechsertische: 10 · 4 + 4 · 6 = 64
    Ergebnis:
    4 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
  2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
  2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  2. ●17
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 15,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,50 €Packung10 Bällen15,30 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 15,30 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 14,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,50 €Packung10 Bällen14,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 14,00 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 411 €. Der Förderverein gibt 71 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 9 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
411 €71 €9 €26 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 411 € + 71 € = 482 €; Kosten: 26 · 9 € = 234 €
  3. 482 € − 234 € = 248 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 411 € + 71 € = 482 €; Kosten: 26 · 9 € = 234 €
  3. 482 € − 234 € = 248 €
Ergebnis:
248 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 351 €. Der Förderverein gibt 40 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    351 €40 €4 €21 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 351 € + 40 € = 391 €; Kosten: 21 · 4 € = 84 €
    3. 391 € − 84 € = 307 €
    Ergebnis:
    307 €
  2. ●20
    Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 240 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 Kindern240 €5 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 240 € : 30 = 8 €
    3. 8 € + 5 € = 13 €
    Ergebnis:
    13 €
  3. ★21
    Hanna läuft an 5 Tagen in der Woche je 7 Runden auf der 400-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    5 Tagen7 Runden4004 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 7 · 400 m = 2800 m; eine Woche: 5 · 2800 m = 14.000 m
    3. 4 Wochen: 56.000 m = 56 km
    Ergebnis:
    56 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (7 + 8)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 €. Dazu kommt ein Getränk für 8 € für alle.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 € und je ein Getränk für 8 €.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
  2. Passend ist B.
  3. 3 · (7 + 8) = 45
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
  2. Passend ist B.
  3. 3 · (7 + 8) = 45
Ergebnis:
B, 45 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 3 €.“
    (A) 5 · 13 + 3
    (B) 5 · (13 + 3)
    (C) 5 + 13 · 3
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
    2. Passend: 5 · (13 + 3) = 80
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 5 · (13 + 3)
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (12 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 9 €.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
    2. Passend ist A.
    3. 5 · (12 + 9) = 105
    Ergebnis:
    A, 105 €
  3. ★24
    Erfinde zu 5 · 20 + 9 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 20 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
    3. 5 · 20 + 9 = 109
    Ergebnis:
    109 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 475 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    10 Spiele14 Tore475 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●26
    Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 8 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
    4 Böden8 Bücher
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: 4 Böden, 8 Bücher je Boden.
    2. Über die Seiten steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 100 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:476:597:027:147:177:297:327:44
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 6:59, 7:14, 7:29, 7:44 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:32 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:32 Uhr
  4. ●28
    Ein Zaun ist 28 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 28 : 4 = 7
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Zaunpfähle
  5. ●29
    Im Kino sitzt Paul auf Platz 7 von links. Zwischen Paul und Jonas sitzen 3 Kinder, Jonas sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Jonas?
    73 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 7 ist Paul, dann 3 Plätze dazwischen.
    2. 7 + 3 + 1 = 11
    Ergebnis:
    Platz 11
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Tom braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
    2. Noch 26 Minuten früher: 15:36 Uhr.
    Ergebnis:
    15:36 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    28 Kinder2 Lehrkräfte16 km3 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:557:177:157:377:357:577:558:17
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Zaun ist 22 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Zaunpfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:32 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Mia 7 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Fahrräder, 3 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,80 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 27 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 135 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    27 Kindern135 €4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 15 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
    (A) 5 · 15 + 2
    (B) 5 + 15 · 2
    (C) 5 · (15 + 2)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A: 5 · 15 + 2

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 150 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. 110 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. 442 Karten, 1.326 €
  4. den um 6:55 Uhr
  5. 27 Minuten
  6. den um 7:13 Uhr
  7. 10 Laternen
  8. Nein, 11 Pfähle
  9. 5 Bäume
  10. 15:14 Uhr
  11. 15:38 Uhr
  12. 28 Karten
  13. 3 Vierertische, 2 Sechsertische
  14. 3 Fahrräder, 4 Dreiräder
  15. 4 Sechsertische
  16. 1,00 €
  17. einzeln
  18. die Packung
  19. 307 €
  20. 13 €
  21. 56 km
  22. B: 5 · (13 + 3)
  23. A, 105 €
  24. 109 €
  25. Die Tore im Finale fehlen
  26. nicht lösbar
  27. den um 7:32 Uhr
  28. 8 Zaunpfähle
  29. Platz 11
  30. 15:36 Uhr
  31. Der Preis für Erwachsene fehlt
  32. 22 Minuten
  33. 12 Zaunpfähle
  34. 16:32 Uhr
  35. 4 Fahrräder, 3 Dreiräder
  36. 0,80 €
  37. 9 €
  38. A: 5 · 15 + 2
  39. 11:15 Uhr
  40. 200 ct