Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 18.

Schritt für Schritt

Teilerpaare suchen: 1·18, …

Teilerpaare suchen: 1·18, …

Ergebnis:

1, 2, 3, 6, 9, 18

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht

ggT(12, 18) = 36

So richtig

ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

○1
Bestimme alle Teiler von 40.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
●2
Bestimme alle Teiler von 12.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 12
★3
Bestimme ggT und kgV von 30 und 45.
Lösung zeigen
1. Primfaktoren: 2 · 3 · 5 und 3 · 3 · 5
2. ggT = gemeinsame Faktoren = 15
3. kgV = 30 · 45 : ggT = 90
Ergebnis:
ggT 15; kgV 90

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 767 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.

Schritt für Schritt

Regel für 3: Quersumme 20 durch 3 teilbar?
767 prüfen: Quersumme 20, 20 : 3 = 6 Rest 2
Probe: 767 : 3 = 255 Rest 2
Antwort: nein

Regel für 3: Quersumme 20 durch 3 teilbar?
767 prüfen: Quersumme 20, 20 : 3 = 6 Rest 2
Probe: 767 : 3 = 255 Rest 2
Antwort: nein

Ergebnis:

nein

AchtungTeilbarkeitsregeln nicht verbunden

So nicht

340 teilbar durch … → 10

So richtig

340 teilbar durch … → 2, 5, 10

Denk an 10 = 2 · 5. Was durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 und durch 5 teilbar.

ÜbenJetzt du

○4
Ist 954 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
So fängst du an:
Regel für 2: letzte Ziffer gerade
Lösung zeigen
1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
2. 954 prüfen: letzte Ziffern 54
3. Probe: 954 : 2 = 477
4. Antwort: ja
Ergebnis:
ja
●5
Ist 819 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
2. 819 prüfen: letzte Ziffern 19
3. Probe: 819 : 5 = 163 Rest 4
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein
★6
Ist 8102 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
2. 8102 prüfen: letzte Ziffern 02
3. Probe: 8102 : 5 = 1620 Rest 2
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 36 in Primfaktoren.

Schritt für Schritt

Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 3

Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 3

Ergebnis:

2 · 2 · 3 · 3

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht

Teiler von 12: 2, 3, 4, 6

So richtig

Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

○7
Zerlege 60 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 5
●8
Zerlege 18 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 3 · 3
★9
Zerlege 84 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 7

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 20 und 30.

Schritt für Schritt

Teiler von 20 und 30 vergleichen: größter gemeinsamer ist 10
kgV = 20 · 30 : 10 = 60

Teiler von 20 und 30 vergleichen: größter gemeinsamer ist 10
kgV = 20 · 30 : 10 = 60

Ergebnis:

ggT 10, kgV 60

AchtungZu den Teilern die Partner vergessen

So nicht

Teiler von 24: 1, 2, 3, 4

So richtig

Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Schreib zu jedem Teiler seinen Partner dazu: 3 · 8 = 24, also auch 8.

ÜbenJetzt du

○10
Bestimme ggT und kgV von 12 und 20.
So fängst du an:
Teiler von 12 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
Lösung zeigen
1. Teiler von 12 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
2. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
Ergebnis:
ggT 4, kgV 60
●11
Bestimme ggT und kgV von 15 und 25.
Lösung zeigen
1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
Ergebnis:
ggT 5, kgV 75
★12
Zwei Zahnräder haben 12 und 20 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
Lösung zeigen
1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
2. ggT von 12 und 20 ist 4
3. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
Ergebnis:
nach 60 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 12 Minuten, Linie 2 alle 15 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?

Schritt für Schritt

Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
Vielfache von 15: 15, 30, 45, 60
60 ist auch durch 12 teilbar: 60 : 12 = 5

Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
Vielfache von 15: 15, 30, 45, 60
60 ist auch durch 12 teilbar: 60 : 12 = 5

Ergebnis:

60 Minuten

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht

Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten

So richtig

Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

○13
Lea hat alle 5 Tage Schwimmtraining, Tom alle 11 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
So fängst du an:
Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
Lösung zeigen
1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
2. Vielfache von 11: 11, 22, 33, 44, 55
3. 55 ist auch durch 5 teilbar: 55 : 5 = 11
Ergebnis:
55 Tage
●14
Lea hat alle 11 Tage Schwimmtraining, Tom alle 12 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
Lösung zeigen
1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
2. Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132
3. 132 ist auch durch 11 teilbar: 132 : 11 = 12
Ergebnis:
132 Tage
★15
Für das Sportfest sollen 135 Mädchen und 105 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
Lösung zeigen
1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
2. Teiler von 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105
3. Größter gemeinsamer Teiler: 15, denn 135 : 15 = 9 und 105 : 15 = 7
Ergebnis:
15

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Bestimme alle Teiler von 24.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
●17
Ist 797 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 3: Quersumme 23 durch 3 teilbar?
2. 797 prüfen: Quersumme 23, 23 : 3 = 7 Rest 2
3. Probe: 797 : 3 = 265 Rest 2
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein
●18
Bestimme ggT und kgV von 12 und 18.
Lösung zeigen
1. Teiler von 12 und 18 vergleichen: größter gemeinsamer ist 6
2. kgV = 12 · 18 : 6 = 36
Ergebnis:
ggT 6, kgV 36
●19
Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 9 Minuten, Linie 2 alle 11 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
Lösung zeigen
1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
2. Vielfache von 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
3. 99 ist auch durch 9 teilbar: 99 : 9 = 11
Ergebnis:
99 Minuten
●20
Bestimme alle Teiler von 48.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
●21
Zerlege 24 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 2 · 3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache: 6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl: Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV: Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben: Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich bestimme Teiler und Vielfache.
22
Bestimme alle Teiler von 18.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 6, 9, 18
Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.
23
Ist 423 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein
Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.
24
Zerlege 24 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 2 · 3
Ich bestimme ggT und kgV.
25
Bestimme ggT und kgV von 24 und 36.
Lösung zeigen
Ergebnis:
ggT 12, kgV 72
Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.
26
Aus 36 roten und 28 gelben Rosen sollen gleiche Sträuße werden. In jedem Strauß sind gleich viele rote und gleich viele gelbe Rosen, keine bleibt übrig. Wie viele Sträuße sind es höchstens?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches: das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
1, 2, 3, 4, 6, 12
ggT 15; kgV 90
ja
nein
nein
2 · 2 · 3 · 5
2 · 3 · 3
2 · 2 · 3 · 7
ggT 4, kgV 60
ggT 5, kgV 75
nach 60 Zähnen (kgV)
55 Tage
132 Tage
15
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
nein
ggT 6, kgV 36
99 Minuten
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
2 · 2 · 2 · 3
1, 2, 3, 6, 9, 18
nein
2 · 2 · 2 · 3
ggT 12, kgV 72
4