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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

12 Plättchen in 3 gleichen Gruppen geht auf; bei 13 bleibt eines übrig12 : 3 = 4 – geht auf13 : 3 = 4 Rest 1

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 12.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·12, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·12, …
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 12

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 30.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 36.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 30 und 15.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 3 · 5 und 3 · 5
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 15
    3. kgV = 30 · 15 : ggT = 30
    Ergebnis:
    ggT 15; kgV 30

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 870 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
  2. 870 prüfen: letzte Ziffern 70
  3. Probe: 870 : 10 = 87
  4. Antwort: ja
  1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
  2. 870 prüfen: letzte Ziffern 70
  3. Probe: 870 : 10 = 87
  4. Antwort: ja
Ergebnis:
ja

AchtungEndziffer-Regel für 2, 5 und 10 verwechselt

So nicht
Ist 35 durch 10 teilbar? → ja
So richtig
Ist 35 durch 10 teilbar? → nein, Endziffer 5

Schau nur auf die letzte Ziffer. Prüfe dann die Regel für genau diese Zahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 619 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
    Lösung zeigen
    1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
    2. 619 prüfen: letzte Ziffern 19
    3. Probe: 619 : 5 = 123 Rest 4
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  2. ●5
    Ist 742 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 13 durch 9 teilbar?
    2. 742 prüfen: Quersumme 13, 13 : 9 = 1 Rest 4
    3. Probe: 742 : 9 = 82 Rest 4
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  3. ★6
    Ist 5272 durch 6 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 6: durch 2 und durch 3
    2. 5272 prüfen: letzte Ziffern 72
    3. Probe: 5272 : 6 = 878 Rest 4
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 45 in Primfaktoren.
45????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 3 · 3 · 5
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 3 · 3 · 5
Ergebnis:
3 · 3 · 5

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht
Teiler von 12: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 18 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 3
  2. ●8
    Zerlege 12 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3
  3. ★9
    Zerlege 360 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 12 und 20.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 12 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
  2. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
  1. Teiler von 12 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
  2. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
Ergebnis:
ggT 4, kgV 60

AchtungZu den Teilern die Partner vergessen

So nicht
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4
So richtig
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Schreib zu jedem Teiler seinen Partner dazu: 3 · 8 = 24, also auch 8.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 9 und 12.
    So fängst du an:
    Teiler von 9 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 9 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
    2. kgV = 9 · 12 : 3 = 36
    Ergebnis:
    ggT 3, kgV 36
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 16 und 20.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 16 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
    2. kgV = 16 · 20 : 4 = 80
    Ergebnis:
    ggT 4, kgV 80
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 9 und 12 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 9 und 12 ist 3
    3. kgV = 9 · 12 : 3 = 36
    Ergebnis:
    nach 36 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

42 Äpfel und 18 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
42erste Sorte18zweite Sorte
Schritt für Schritt
  1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
  2. Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  3. Größter gemeinsamer Teiler: 6, denn 42 : 6 = 7 und 18 : 6 = 3
  1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
  2. Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  3. Größter gemeinsamer Teiler: 6, denn 42 : 6 = 7 und 18 : 6 = 3
Ergebnis:
6

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten
So richtig
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 11 Minuten, Linie 2 alle 12 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    05101520Start1112
    So fängst du an:
    Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132
    3. 132 ist auch durch 11 teilbar: 132 : 11 = 12
    Ergebnis:
    132 Minuten
  2. ●14
    Für das Sportfest sollen 27 Mädchen und 12 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    27erste Sorte12zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 3, denn 27 : 3 = 9 und 12 : 3 = 4
    Ergebnis:
    3
  3. ★15
    Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 8 Sekunden, der andere alle 14 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
    0510152025Start814
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 14: 14, 28, 42, 56
    3. 56 ist auch durch 8 teilbar: 56 : 8 = 7
    Ergebnis:
    56 Sekunden

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Bestimme alle Teiler von 24.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  2. ●17
    Zerlege 60 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 5
  3. ●18
    Ist 584 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 17 durch 9 teilbar?
    2. 584 prüfen: Quersumme 17, 17 : 9 = 1 Rest 8
    3. Probe: 584 : 9 = 64 Rest 8
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  4. ●19
    Bestimme ggT und kgV von 8 und 12.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 8 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
    2. kgV = 8 · 12 : 4 = 24
    Ergebnis:
    ggT 4, kgV 24
  5. ●20
    Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 7 Sekunden, der andere alle 13 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
    0510152025Start713
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91
    3. 91 ist auch durch 7 teilbar: 91 : 7 = 13
    Ergebnis:
    91 Sekunden
  6. ●21
    Ist 877 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 22 durch 3 teilbar?
    2. 877 prüfen: Quersumme 22, 22 : 3 = 7 Rest 1
    3. Probe: 877 : 3 = 292 Rest 1
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 18.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 6, 9, 18

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 995 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ja

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 20 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 5

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 8 und 12.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 4, kgV 24

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    30 Äpfel und 12 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
    30erste Sorte12zweite Sorte
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  3. ggT 15; kgV 30
  4. nein
  5. nein
  6. nein
  7. 2 · 3 · 3
  8. 2 · 2 · 3
  9. 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
  10. ggT 3, kgV 36
  11. ggT 4, kgV 80
  12. nach 36 Zähnen (kgV)
  13. 132 Minuten
  14. 3
  15. 56 Sekunden
  16. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  17. 2 · 2 · 3 · 5
  18. nein
  19. ggT 4, kgV 24
  20. 91 Sekunden
  21. nein
  22. 1, 2, 3, 6, 9, 18
  23. ja
  24. 2 · 2 · 5
  25. ggT 4, kgV 24
  26. 6