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Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Terme und Gleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Muster: 1 Tisch hat 4 Stühle, 2 Tische in einer Reihe haben 6, 3 Tische haben 8. Wie viele Stühle haben 24 Tische? Und 100? Und 1000?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Bis 24 zählt man weiter, bei 100 wird es lästig, bei 1000 unmöglich. Die Klasse will eine Rechnung, die für jede Zahl gilt. 2 · n + 2 – für n Tische. Eine Zeile statt tausend. Das ist der Grund, warum es Buchstaben in der Mathematik gibt.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Buchstabe steht für eine Zahl, die man noch nicht kennt – nicht für einen Gegenstand.

  1. ●51
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 59. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35
  2. ●52
    Berechne: 4 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
    2. 4 + 14 = 18
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Buchstabe steht für eine Zahl

x ist kein Gegenstand und keine Abkürzung für ein Wort, sondern ein Platzhalter für eine Zahl, die man noch nicht kennt. 3a heißt: dreimal diese Zahl.

3a heißt a plus a plus a: In jedes Kästchen kommt dieselbe Zahl3a=a+a+aIn jedes Kästchen kommt dieselbe Zahl.a = 4: 3a = 4 + 4 + 4 = 12

WeiterdenkenDenk nach

In „3 Äpfel kosten a Euro“ – wofür steht a? Und warum ist 3a nicht „drei Äpfel“?

1Ich stelle Terme zu Sachsituationen auf.

EntdeckenFrage

Wie kann man das Alter eines Menschen aus drei Rechenschritten erraten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alter mal 2, plus 10, mal 5, minus 50: Das Ergebnis ist zehnmal das Alter. Jede Zahl geht denselben Weg – ein Term macht daraus eine Regel für alle Zahlen.

MerkenTerm aufstellen

Ein Term ist eine Rechnung mit einer Variablen.

Dreimal eine Zahl plus 5 heißt 3x + 5. Die Variable steht für die unbekannte Zahl.

Eselsbrücke: KlaPoPuS – Klammer, Potenz, Punkt, Strich

BeispielTerm zur Sachsituation aufstellen

Ein Akku hat 80 % und verliert pro Stunde 10 %.
a) Stelle einen Term für den Akkustand auf.
b) Berechne den Wert für x = 3.
Schritt für Schritt
  1. a) x = Anzahl der Stunden
  2. Term: 80 − 10x
  3. b) einsetzen: x = 3
  4. 80 − 10 · 3 = 80 − 30
  5. = 50
  1. a) x = Anzahl der Stunden
  2. Term: 80 − 10x
  3. b) einsetzen: x = 3
  4. 80 − 10 · 3 = 80 − 30
  5. = 50
Ergebnis:
a) 80 − 10x b) 50

AchtungEinsetzen: Quadrat negativer Zahlen

So nicht
(−3)² = −9
So richtig
(−3)² = (−3) · (−3) = 9

(−3)² = 9, nicht −9. Klammern setzen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Klasse zahlt 40 € Grundgebühr für den Bus und 4 € pro Person.
    a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf.
    b) Berechne den Wert für x = 7.
    So fängst du an:
    a) x = Anzahl der Personen
    Lösung zeigen
    1. a) x = Anzahl der Personen
    2. Term: 4x + 40
    3. b) einsetzen: x = 7
    4. 4 · 7 + 40 = 28 + 40
    5. = 68
    Ergebnis:
    a) 4x + 40 b) 68
  2. ●2
    Eine Klasse zahlt 40 € Grundgebühr für den Bus und 3 € pro Person.
    a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf.
    b) Berechne den Wert für x = 6.
    Lösung zeigen
    1. a) x = Anzahl der Personen
    2. Term: 3x + 40
    3. b) einsetzen: x = 6
    4. 3 · 6 + 40 = 18 + 40
    5. = 58
    Ergebnis:
    a) 3x + 40 b) 58
  3. ★3
    Eine Klasse zahlt 80 € Grundgebühr für den Bus und 6 € pro Person.
    a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf.
    b) Berechne den Wert für x = 4.
    Lösung zeigen
    1. a) x = Anzahl der Personen
    2. Term: 6x + 80
    3. b) einsetzen: x = 4
    4. 6 · 4 + 80 = 24 + 80
    5. = 104
    Ergebnis:
    a) 6x + 80 b) 104

2Ich berechne Termwerte durch Einsetzen.

EntdeckenFrage

Woher kommt das x in der Mathematik?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Descartes nahm 1637 die letzten Buchstaben des Alphabets für Unbekannte – und der Drucker hatte angeblich am meisten x übrig. Die Geschichte mit dem Drucker ist unsicher, Descartes’ Wahl ist belegt.

MerkenTermwert

Für die Variable eine Zahl einsetzen und ausrechnen.

Bei negativen Zahlen Klammern setzen: 3 · (−2) + 5.

BeispielTermwert berechnen

Berechne den Wert des Terms 6x² + 5 für x = 4.
Schritt für Schritt
  1. x² = 4² = 4 · 4 = 16
  2. 6 · 16 + 5 = 101
  1. x² = 4² = 4 · 4 = 16
  2. 6 · 16 + 5 = 101
Ergebnis:
101

AchtungKoeffizient mitquadriert

So nicht
Berechne den Wert des Terms 6x² + 5 für x = 4 → 581
So richtig
Berechne den Wert des Terms 6x² + 5 für x = 4 → 101

Rechne zuerst die Potenz. Nimm dann mal die Zahl davor.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Berechne den Wert des Terms 6x² + 2 für x = 6.
    So fängst du an:
    x² = 6² = 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. x² = 6² = 6 · 6 = 36
    2. 6 · 36 + 2 = 218
    Ergebnis:
    218
  2. ●5
    Berechne den Wert des Terms 4x² + 2 für x = 5.
    Lösung zeigen
    1. x² = 5² = 5 · 5 = 25
    2. 4 · 25 + 2 = 102
    Ergebnis:
    102
  3. ★6
    Berechne den Wert des Terms 6x² + 6 für x = −1.
    Lösung zeigen
    1. x² = (−1)² = (−1) · (−1) = 1
    2. 6 · 1 + 6 = 12
    Ergebnis:
    12

3Ich fasse Terme zusammen.

EntdeckenFrage

Warum rechnet eine Tabellenkalkulation mit Buchstaben statt mit Zahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Formel dann für jede Zeile gilt. Genau das leistet ein Term: Er schreibt die Rechnung einmal auf, und eingesetzt wird später, was gerade gebraucht wird.

MerkenZusammenfassen

Nur Gleiches wird zusammengefasst: 3x + 5x = 8x. Aber 3x + 5 bleibt, und x² ist nicht x.

BeispielTerme zusammenfassen

Fasse zusammen: 7x + 5 − 6x + 6
xy−44−600−200200600f
Schritt für Schritt
  1. x-Glieder: 7x − 6x = 1x
  2. Zahlen: 5 + 6 = 11
  1. x-Glieder: 7x − 6x = 1x
  2. Zahlen: 5 + 6 = 11
Ergebnis:
1x + 11

AchtungUngleiche Terme zusammengefasst

So nicht
3x + 2 = 5x
So richtig
3x + 2 = 3x + 2  (x und Zahlen lassen sich nicht zusammenfassen)

3x + 2 ist nicht 5x.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Fasse zusammen: 4x + 2 − 2x + 3
    So fängst du an:
    x-Glieder: 4x − 2x = 2x
    Lösung zeigen
    1. x-Glieder: 4x − 2x = 2x
    2. Zahlen: 2 + 3 = 5
    Ergebnis:
    2x + 5
  2. ●8
    Fasse zusammen: 9x + 5 − 7x + 5
    Lösung zeigen
    1. x-Glieder: 9x − 7x = 2x
    2. Zahlen: 5 + 5 = 10
    Ergebnis:
    2x + 10
  3. ★9
    Fasse zusammen: 9x + 8y − 4x + 7 − 6y
    Lösung zeigen
    1. x-Glieder: 9x − 4x = 5x
    2. y-Glieder: 8y − 6y = 2y; Zahl 7 bleibt
    Ergebnis:
    5x + 2y + 7

4Ich löse Klammern auf (Multiplizieren mit einer Zahl).

EntdeckenFrage

Wie rechnest du 6 mal 98 im Kopf, ohne dich zu verrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Als 6 mal 100 minus 6 mal 2, also 600 minus 12 gleich 588. Die Klammer wird auf beide Teile verteilt – dasselbe Gesetz, nach dem man auch mit Buchstaben umformt.

MerkenKlammer auflösen

Die Zahl vor der Klammer wird mit jedem Summanden multipliziert: 3 · (x + 4) = 3x + 12.

Eselsbrücke: Was du links tust, tu auch rechts – die Waage bleibt im Gleichgewicht

BeispielKlammer auflösen

Multipliziere aus: 6(4x + 10)
xy−44−10.00010.000f
Schritt für Schritt
  1. 6 · 4x = 24x
  2. 6 · (10) = 60
  1. 6 · 4x = 24x
  2. 6 · (10) = 60
Ergebnis:
24x + 60

AchtungNur ein Glied multipliziert

So nicht
3(x + 4) = 3x + 4
So richtig
3(x + 4) = 3x + 12

3(x + 4) = 3x + 12, nicht 3x + 4.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Multipliziere aus: 4(4x + 9)
    So fängst du an:
    4 · 4x = 16x
    Lösung zeigen
    1. 4 · 4x = 16x
    2. 4 · (9) = 36
    Ergebnis:
    16x + 36
  2. ●11
    Multipliziere aus: 5(6x + 12)
    Lösung zeigen
    1. 5 · 6x = 30x
    2. 5 · (12) = 60
    Ergebnis:
    30x + 60
  3. ★12
    Multipliziere aus: −4(6x − 2)
    Lösung zeigen
    1. −4 · 6x = −24x
    2. −4 · (−2) = 8
    Ergebnis:
    −24x + 8

5Ich klammere aus.

EntdeckenFrage

Warum ist die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen immer durch 3 teilbar?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil n−1 plus n plus n+1 gleich 3n ergibt. Die 3 lässt sich herausziehen, und was stehen bleibt, ist die mittlere Zahl – dreimal die Mitte ist immer die Summe.

MerkenAusklammern

Gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen: 6x + 9 = 3 · (2x + 3).

Probe durch Ausmultiplizieren.

BeispielAusklammern

Klammere aus: 8x + 12
Schritt für Schritt
  1. Gemeinsamer Faktor von 8 und 12: 4
  2. 8x : 4 = 2x
  3. 12 : 4 = 3
  4. 4(2x + 3)
  1. Gemeinsamer Faktor von 8 und 12: 4
  2. 8x : 4 = 2x
  3. 12 : 4 = 3
  4. 4(2x + 3)
Ergebnis:
4(2x + 3)

AchtungUngleichartige Glieder zusammengefasst

So nicht
Klammere aus: 8x + 12 → 20x
So richtig
Klammere aus: 8x + 12 → 4(2x + 3)

Sortiere zuerst: Glieder mit x zusammen, Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Klammere aus: 21x + 21
    So fängst du an:
    Gemeinsamer Faktor von 21 und 21: 3
    Lösung zeigen
    1. Gemeinsamer Faktor von 21 und 21: 3
    2. 21x : 3 = 7x
    3. 21 : 3 = 7
    4. 3(7x + 7)
    Ergebnis:
    3(7x + 7)
  2. ●14
    Klammere aus: 14x + 12
    Lösung zeigen
    1. Gemeinsamer Faktor von 14 und 12: 2
    2. 14x : 2 = 7x
    3. 12 : 2 = 6
    4. 2(7x + 6)
    Ergebnis:
    2(7x + 6)
  3. ★15
    Klammere aus: 21x + 35
    Lösung zeigen
    1. Gemeinsamer Faktor von 21 und 35: 7
    2. 21x : 7 = 3x
    3. 35 : 7 = 5
    4. 7(3x + 5)
    Ergebnis:
    7(3x + 5)

6Ich löse Gleichungen durch Probieren und Rückwärtsrechnen.

EntdeckenFrage

Wie alt wurde Diophant, wenn man seiner Grabinschrift glaubt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Inschrift teilt sein Leben in ein Sechstel, ein Zwölftel, ein Siebtel und eine Hälfte, dazu 5 und 4 Jahre. Das Alter muss also durch 12 und durch 7 teilbar sein. Probieren mit 84: 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84. Diophant wurde 84 Jahre alt.

MerkenGleichung lösen durch Probieren

Eine Gleichung ist eine Waage.

Lösung: die Zahl, die eingesetzt beide Seiten gleich macht. Rückwärtsrechnen: Umkehroperationen in umgekehrter Reihenfolge.

BeispielLineare Gleichung

Löse die Gleichung: 2x + 12 = 28
2x + 1228=beide Seiten gleich schwer
Schritt für Schritt
  1. | − 12 → 2x = 16
  2. | : 2 → x = 8
  3. Probe: 2 · 8 + 12 = 28 ✓
  1. | − 12 → 2x = 16
  2. | : 2 → x = 8
  3. Probe: 2 · 8 + 12 = 28 ✓
Ergebnis:
x = 8

AchtungUmformung nur auf einer Seite

So nicht
2x + 5 = 13  | −5
2x = 13
So richtig
2x + 5 = 13  | −5
2x = 8

Beide Seiten gleich behandeln.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Löse die Gleichung: 4x − 11 = 17
    So fängst du an:
    | + 11 → 4x = 28
    Lösung zeigen
    1. | + 11 → 4x = 28
    2. | : 4 → x = 7
    3. Probe: 4 · 7 − 11 = 17 ✓
    Ergebnis:
    x = 7
  2. ●17
    Löse die Gleichung: 4x − 7 = 21
    Lösung zeigen
    1. | + 7 → 4x = 28
    2. | : 4 → x = 7
    3. Probe: 4 · 7 − 7 = 21 ✓
    Ergebnis:
    x = 7
  3. ★18
    Löse die Gleichung: 6x − 6 = −60
    Lösung zeigen
    1. | + 6 → 6x = −54
    2. | : 6 → x = −9
    3. Probe: 6 · −9 − 6 = −60 ✓
    Ergebnis:
    x = −9

7Ich löse Gleichungen mit Äquivalenzumformungen.

EntdeckenFrage

Woher hat die Algebra ihren Namen – und welcher Rechenschritt steckt darin?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Wort kommt von al-dschabr im Titel eines Buches von al-Chwarizmi aus dem 9. Jahrhundert. Al-dschabr heißt Ergänzen: Was abgezogen ist, wird auf beiden Seiten addiert. Aus x − 5 = 10 wird so x = 15.

MerkenÄquivalenzumformung

Auf beiden Seiten dasselbe tun, dann bleibt die Waage im Gleichgewicht.

Ziel: x allein auf einer Seite.

BeispielLineare Gleichung

Löse die Gleichung: 2x + 0 = 22
2x + 022=beide Seiten gleich schwer
Schritt für Schritt
  1. | − 0 → 2x = 22
  2. | : 2 → x = 11
  3. Probe: 2 · 11 + 0 = 22 ✓
  1. | − 0 → 2x = 22
  2. | : 2 → x = 11
  3. Probe: 2 · 11 + 0 = 22 ✓
Ergebnis:
x = 11

AchtungMal statt geteilt beim Umformen

So nicht
Löse die Gleichung: 2x + 0 = 22 → x = 44
So richtig
Löse die Gleichung: 2x + 0 = 22 → x = 11

Frag dich: Was passiert mit x? Mach das Gegenteil auf beiden Seiten.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Löse die Gleichung: 2x + 5 = 27
    So fängst du an:
    | − 5 → 2x = 22
    Lösung zeigen
    1. | − 5 → 2x = 22
    2. | : 2 → x = 11
    3. Probe: 2 · 11 + 5 = 27 ✓
    Ergebnis:
    x = 11
  2. ●20
    Löse die Gleichung: 2x − 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. | + 5 → 2x = 12
    2. | : 2 → x = 6
    3. Probe: 2 · 6 − 5 = 7 ✓
    Ergebnis:
    x = 6
  3. ★21
    Löse die Gleichung: −2x − 7 = 11
    Lösung zeigen
    1. | + 7 → −2x = 18
    2. | : −2 → x = −9
    3. Probe: −2 · −9 − 7 = 11 ✓
    Ergebnis:
    x = −9

8Ich löse Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten.

EntdeckenFrage

Zahlt jeder 8 Münzen, sind 3 zu viel, zahlt jeder 7, fehlen 4. Wie viele kaufen gemeinsam ein?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit x Leuten ist der Preis 8x − 3 und auch 7x + 4. Aus 8x − 3 = 7x + 4 wird nach Abziehen von 7x und Addieren von 3: x = 7. Es sind 7 Leute, der Preis ist 53 Münzen.

MerkenVariablen auf beiden Seiten

Alle x auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere.

Das kleinere x-Glied abziehen, dann lösen.

BeispielGleichung mit x auf beiden Seiten

Löse: 8x + 9 = 2x + 57
8x + 92x + 57=beide Seiten gleich schwer
Schritt für Schritt
  1. | − 2x → 6x + 9 = 57
  2. | − 9 → 6x = 48
  3. | : 6 → x = 8
  1. | − 2x → 6x + 9 = 57
  2. | − 9 → 6x = 48
  3. | : 6 → x = 8
Ergebnis:
x = 8

AchtungBeim Seitenwechsel das Vorzeichen behalten

So nicht
Löse: 8x + 9 = 2x + 57 → x = 4,8
So richtig
Löse: 8x + 9 = 2x + 57 → x = 8

Rechne auf beiden Seiten dasselbe, statt Zahlen zu verschieben.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Löse: 5x − 9 = 4x − 4
    So fängst du an:
    | − 4x → 1x − 9 = −4
    Lösung zeigen
    1. | − 4x → 1x − 9 = −4
    2. | + 9 → 1x = 5
    3. | : 1 → x = 5
    Ergebnis:
    x = 5
  2. ●23
    Löse: 8x + 4 = 3x − 6
    Lösung zeigen
    1. | − 3x → 5x + 4 = −6
    2. | − 4 → 5x = −10
    3. | : 5 → x = −2
    Ergebnis:
    x = −2
  3. ★24
    Löse: 6x + 5 = 4x − 1
    Lösung zeigen
    1. | − 4x → 2x + 5 = −1
    2. | − 5 → 2x = −6
    3. | : 2 → x = −3
    Ergebnis:
    x = −3

9Ich löse Gleichungen mit Klammern.

EntdeckenFrage

Ein Handballfeld ist 40 Meter lang und hat 120 Meter Umfang. Wie breit ist es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Umfang ist 2 · (40 + b) = 120. Man teilt durch 2 und erhält 40 + b = 60. Also ist b = 20. Das Feld ist 20 Meter breit.

MerkenGleichungen mit Klammern

Zuerst alle Klammern auflösen und jede Seite zusammenfassen. Dann wie gewohnt umformen.

BeispielGleichung mit Klammer

Löse: 2(x + 2) = 16
2(x + 2)16=beide Seiten gleich schwer
Schritt für Schritt
  1. Klammer auflösen: 2x + 4 = 16
  2. | − 4: 2x = 12
  3. | : 2: x = 6
  1. Klammer auflösen: 2x + 4 = 16
  2. | − 4: 2x = 12
  3. | : 2: x = 6
Ergebnis:
x = 6

AchtungKlammer beim Umformen nicht beachtet

So nicht
Löse: 2(x + 2) = 16 → x = 7
So richtig
Löse: 2(x + 2) = 16 → x = 6

Nimm jedes Glied in der Klammer mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Löse: 2(x + 3) = 24
    So fängst du an:
    Klammer auflösen: 2x + 6 = 24
    Lösung zeigen
    1. Klammer auflösen: 2x + 6 = 24
    2. | − 6: 2x = 18
    3. | : 2: x = 9
    Ergebnis:
    x = 9
  2. ●26
    Löse: 4(x + 3) = 40
    Lösung zeigen
    1. Klammer auflösen: 4x + 12 = 40
    2. | − 12: 4x = 28
    3. | : 4: x = 7
    Ergebnis:
    x = 7
  3. ★27
    Löse: 3(x + 7) = 9
    Lösung zeigen
    1. Klammer auflösen: 3x + 21 = 9
    2. | − 21: 3x = −12
    3. | : 3: x = −4
    Ergebnis:
    x = −4

10Ich löse Sachaufgaben mit Gleichungen.

EntdeckenFrage

Jede Bundesliga-Mannschaft spielt zweimal gegen jede andere, insgesamt 34 Spiele. Wie viele Mannschaften sind es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei x Mannschaften hat jede x − 1 Gegner. Also gilt 2 · (x − 1) = 34. Daraus folgt x − 1 = 17 und x = 18. In der Bundesliga spielen 18 Mannschaften.

MerkenSachaufgabe mit Gleichung

Gesuchte Zahl = x. Aus dem Text eine Gleichung machen, lösen, Probe am Text, Antwortsatz.

BeispielSachaufgabe mit einer Gleichung lösen

Ein Fahrradverleih nimmt 25 € Grundgebühr und 8 € pro Stunde. Die Rechnung lautet 105 €. Wie viele Stunden waren es?
Schritt für Schritt
  1. x = die Anzahl der Stunden
  2. 8x + 25 = 105
  3. 8x + 25 = 105 | − 25
  4. 8x = 80 | : 8
  5. x = 10
  6. Antwort: Es sind 10 Stunden.
  1. x = die Anzahl der Stunden
  2. 8x + 25 = 105
  3. 8x + 25 = 105 | − 25
  4. 8x = 80 | : 8
  5. x = 10
  6. Antwort: Es sind 10 Stunden.
Ergebnis:
10 Stunden

AchtungFalsche Gegenoperation

So nicht
x + 5 = 17 → x = 22
So richtig
x + 5 = 17 | − 5 → x = 12

Schreib die Gegenrechnung hinter einen Strich: bei + 5 steht | − 5.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Ein Gaming-Abo kostet 25 € Startgebühr und 5 € pro Monat. Bezahlt wurden 75 €. Für wie viele Monate?
    So fängst du an:
    x = die Anzahl der Monate
    Lösung zeigen
    1. x = die Anzahl der Monate
    2. 5x + 25 = 75
    3. 5x + 25 = 75 | − 25
    4. 5x = 50 | : 5
    5. x = 10
    6. Antwort: Es sind 10 Monate.
    Ergebnis:
    10 Monate
  2. ●29
    Eine Klassenfahrt kostet 15 € Grundgebühr und 8 € pro Tag. Insgesamt sind 71 € zu zahlen. Wie viele Tage dauert sie?
    Lösung zeigen
    1. x = die Anzahl der Tage
    2. 8x + 15 = 71
    3. 8x + 15 = 71 | − 15
    4. 8x = 56 | : 8
    5. x = 7
    6. Antwort: Es sind 7 Tage.
    Ergebnis:
    7 Tage
  3. ★30
    Ein Fahrradverleih nimmt 12 € Grundgebühr und 6 € pro Stunde. Die Rechnung lautet 60 €. Wie viele Stunden waren es?
    Lösung zeigen
    1. x = die Anzahl der Stunden
    2. 6x + 12 = 60
    3. 6x + 12 = 60 | − 12
    4. 6x = 48 | : 6
    5. x = 8
    6. Antwort: Es sind 8 Stunden.
    Ergebnis:
    8 Stunden

11Ich erkenne Fehler in Umformungen und begründe.

EntdeckenFrage

Aus 3x = 5x folgt nach dem Teilen durch x, dass 3 = 5 ist. Wo steckt der Fehler?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Gleichung 3x = 5x stimmt nur für x = 0. Wer durch x teilt, teilt also durch null, und das ist verboten. Richtig ist: 3x − 5x = 0, also −2x = 0 und x = 0.

MerkenTypische Fehler

Drei Fallen beim Umformen von Termen.

Nur einen Summanden multipliziert, Minus vor der Klammer vergessen, x und x² addiert.

BeispielFehler in einer Umformung finden und begründen

Jemand hat gerechnet:
5(x + 3) = 5x + 3
Prüfe die Zeile und begründe deine Antwort. Wie geht es richtig?
xy−44−101030f
Schritt für Schritt
  1. Nein, das stimmt nicht.
  2. Fehler: Die 5 muss mit BEIDEN Summanden multipliziert werden
  3. Richtig: 5(x + 3) = 5x + 15
  1. Nein, das stimmt nicht.
  2. Fehler: Die 5 muss mit BEIDEN Summanden multipliziert werden
  3. Richtig: 5(x + 3) = 5x + 15
Ergebnis:
falsch – 5(x + 3) = 5x + 15

AchtungNoch einmal: Nur ein Glied multipliziert

So nicht
3(x + 4) = 3x + 4
So richtig
3(x + 4) = 3x + 12

3(x + 4) = 3x + 12, nicht 3x + 4.

ÜbenJetzt du

  1. ○31
    Jemand hat gerechnet:
    6(x + 3) = 6x + 3
    Prüfe die Zeile und begründe deine Antwort. Wie geht es richtig?
    So fängst du an:
    Nein, das stimmt nicht.
    Lösung zeigen
    1. Nein, das stimmt nicht.
    2. Fehler: Die 6 muss mit BEIDEN Summanden multipliziert werden
    3. Richtig: 6(x + 3) = 6x + 18
    Ergebnis:
    falsch – 6(x + 3) = 6x + 18
  2. ●32
    Jemand hat gerechnet:
    x + 6 = 14 | − 6 → x = 14
    Prüfe die Zeile und begründe deine Antwort. Wie geht es richtig?
    Lösung zeigen
    1. Nein, das stimmt nicht.
    2. Fehler: Die 6 wurde nur links abgezogen, rechts nicht
    3. Richtig: x = 14 − 6 = 8
    Ergebnis:
    falsch – x = 14 − 6 = 8
  3. ★33
    Jemand hat gerechnet:
    x + 6 = 13 | − 6 → x = 13
    Prüfe die Zeile und begründe deine Antwort. Wie geht es richtig?
    Lösung zeigen
    1. Nein, das stimmt nicht.
    2. Fehler: Die 6 wurde nur links abgezogen, rechts nicht
    3. Richtig: x = 13 − 6 = 7
    Ergebnis:
    falsch – x = 13 − 6 = 7

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●34
    Multipliziere aus: 3(2x − 2)
    Lösung zeigen
    1. 3 · 2x = 6x
    2. 3 · (−2) = −6
    Ergebnis:
    6x − 6
  2. ●35
    Klammere aus: 12x + 12
    Lösung zeigen
    1. Gemeinsamer Faktor von 12 und 12: 2
    2. 12x : 2 = 6x
    3. 12 : 2 = 6
    4. 2(6x + 6)
    Ergebnis:
    2(6x + 6)
  3. ●36
    Löse die Gleichung: 5x + 14 = 64
    Lösung zeigen
    1. | − 14 → 5x = 50
    2. | : 5 → x = 10
    3. Probe: 5 · 10 + 14 = 64 ✓
    Ergebnis:
    x = 10
  4. ●37
    Löse: 6x − 9 = 2x + 31
    Lösung zeigen
    1. | − 2x → 4x − 9 = 31
    2. | + 9 → 4x = 40
    3. | : 4 → x = 10
    Ergebnis:
    x = 10
  5. ●38
    Fasse zusammen: 7x + 5 − 1x + 8
    Lösung zeigen
    1. x-Glieder: 7x − 1x = 6x
    2. Zahlen: 5 + 8 = 13
    Ergebnis:
    6x + 13
  6. ●39
    Berechne den Wert des Terms 5x² + 1 für x = 4.
    Lösung zeigen
    1. x² = 4² = 4 · 4 = 16
    2. 5 · 16 + 1 = 81
    Ergebnis:
    81

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Term aufstellen
Ein Term ist eine Rechnung mit einer Variablen.
Termwert
Für die Variable eine Zahl einsetzen und ausrechnen.
Zusammenfassen
Nur Gleiches wird zusammengefasst: 3x + 5x = 8x. Aber 3x + 5 bleibt, und x² ist nicht x.
Klammer auflösen
Die Zahl vor der Klammer wird mit jedem Summanden multipliziert: 3 · (x + 4) = 3x + 12.
Ausklammern
Gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen: 6x + 9 = 3 · (2x + 3).
Gleichung lösen durch Probieren
Eine Gleichung ist eine Waage.
Äquivalenzumformung
Auf beiden Seiten dasselbe tun, dann bleibt die Waage im Gleichgewicht.
Variablen auf beiden Seiten
Alle x auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere.
Gleichungen mit Klammern
Zuerst alle Klammern auflösen und jede Seite zusammenfassen. Dann wie gewohnt umformen.
Sachaufgabe mit Gleichung
Gesuchte Zahl = x. Aus dem Text eine Gleichung machen, lösen, Probe am Text, Antwortsatz.
Typische Fehler
Drei Fallen beim Umformen von Termen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich stelle Terme zu Sachsituationen auf.

    40
    Eine Klasse zahlt 50 € Grundgebühr für den Bus und 4 € pro Person.
    a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf.
    b) Berechne den Wert für x = 2.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    a) 4x + 50 b) 58

  2. Ich berechne Termwerte durch Einsetzen.

    41
    Berechne den Wert des Terms 4x² + 5 für x = 4.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  3. Ich fasse Terme zusammen.

    42
    Fasse zusammen: 4x + 8 − 1x + 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3x + 10

  4. Ich löse Klammern auf (Multiplizieren mit einer Zahl).

    43
    Multipliziere aus: 6(3x + 7)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18x + 42

  5. Ich klammere aus.

    44
    Klammere aus: 6x + 24
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3(2x + 8)

  6. Ich löse Gleichungen durch Probieren und Rückwärtsrechnen.

    45
    Löse die Gleichung: 4x + 13 = 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 10

  7. Ich löse Gleichungen mit Äquivalenzumformungen.

    46
    Löse die Gleichung: 2x + 4 = 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 3

  8. Ich löse Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten.

    47
    Löse: 7x − 7 = 2x − 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 1

  9. Ich löse Gleichungen mit Klammern.

    48
    Löse: 2(x + 4) = 14
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 3

  10. Ich löse Sachaufgaben mit Gleichungen.

    49
    Eine Klassenfahrt kostet 12 € Grundgebühr und 4 € pro Tag. Insgesamt sind 36 € zu zahlen. Wie viele Tage dauert sie?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Tage

  11. Ich erkenne Fehler in Umformungen und begründe.

    50
    Jemand hat gerechnet:
    4(x + 6) = 4x + 6
    Prüfe die Zeile und begründe deine Antwort. Wie geht es richtig?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch – 4(x + 6) = 4x + 24

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Muster: 1 Tisch hat 4 Stühle, 2 Tische in einer Reihe haben 6, 3 Tische haben 8. Wie viele Stühle haben 24 Tische? Und 100? Und 1000?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Variable: ein Term für jede Zahl statt einer Rechnung je Fall.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Handytarif als Formel, Taschengeldregel, Rezept-Formel. Beruf: Programmieren, Tabellenkalkulation, Ingenieurwesen.

Wörter

Ausklammern
den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Term
eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen
Variable
ein Buchstabe, der für eine Zahl steht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme und einfache Gleichungen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen

Darauf baut auf: Gleichungen und Formeln, Terme mit Klammern und binomische Formeln, Ungleichungen, Lineare Funktionen, Lineare Gleichungssysteme, Potenzen und Wurzeln, Quadratische Funktionen und Gleichungen

Lösungen

  1. a) 4x + 40 b) 68
  2. a) 3x + 40 b) 58
  3. a) 6x + 80 b) 104
  4. 218
  5. 102
  6. 12
  7. 2x + 5
  8. 2x + 10
  9. 5x + 2y + 7
  10. 16x + 36
  11. 30x + 60
  12. −24x + 8
  13. 3(7x + 7)
  14. 2(7x + 6)
  15. 7(3x + 5)
  16. x = 7
  17. x = 7
  18. x = −9
  19. x = 11
  20. x = 6
  21. x = −9
  22. x = 5
  23. x = −2
  24. x = −3
  25. x = 9
  26. x = 7
  27. x = −4
  28. 10 Monate
  29. 7 Tage
  30. 8 Stunden
  31. falsch – 6(x + 3) = 6x + 18
  32. falsch – x = 14 − 6 = 8
  33. falsch – x = 13 − 6 = 7
  34. 6x − 6
  35. 2(6x + 6)
  36. x = 10
  37. x = 10
  38. 6x + 13
  39. 81
  40. a) 4x + 50 b) 58
  41. 69
  42. 3x + 10
  43. 18x + 42
  44. 3(2x + 8)
  45. x = 10
  46. x = 3
  47. x = 1
  48. x = 3
  49. 6 Tage
  50. falsch – 4(x + 6) = 4x + 24
  51. 35
  52. 18