Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Terme mit Klammern und binomische Formeln

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Berechne ohne Taschenrechner: 49 · 51, 98 · 102 und 197 · 203. Du hast zwei Minuten.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Schriftlich dauert jede Aufgabe lange, und nach der zweiten ist die Zeit um. Einigen fällt auf, dass die Zahlen immer um eine runde Zahl herum liegen. Wer (50 − 1) · (50 + 1) ausmultipliziert, sieht: Die Mittelglieder heben sich auf. Übrig bleibt 50² − 1² – das ist die dritte binomische Formel, und sie rechnet für uns.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenProdukte sind Flächen

Ein Produkt zweier Summen ist ein Rechteck mit zusammengesetzten Seiten. Ausmultiplizieren heißt: die Fläche in Teilflächen zerlegen und sie addieren. Beim Quadrat einer Summe sind es zwei Quadrate und zwei gleiche Rechtecke.

WeiterdenkenDenk nach

Ist (x + 4)² größer oder kleiner als x² + 16, wenn x positiv ist? Wie siehst du das am Bild, ohne zu rechnen?

1Ich multipliziere Summen miteinander und zeige es am Rechteck.

EntdeckenFrage

Wie rechnet man 49 · 51 in drei Sekunden im Kopf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Als (50 − 1) · (50 + 1) = 50² − 1² = 2500 − 1 = 2499. Die dritte binomische Formel macht aus einer schweren Malaufgabe eine Quadratzahl minus eins.

MerkenSumme mal Summe

Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert.

So wird (x + 3) · (x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. Am Rechteck sind das vier Teilflächen.

BeispielSumme mal Summe ausmultiplizieren

Ein Rechteck hat die Seiten (y + 8) cm und (y + 4) cm. Schreibe seinen Flächeninhalt als Summe ohne Klammern.

Schritt für Schritt

A = (y + 8) · (y + 4)
Jedes Glied mit jedem, zuerst y: y · y → y² und y · 4 → 4y
Dann 8: 8 · y → 8y und 8 · 4 → 32
Zusammenfassen: y² + 12y + 32

A = (y + 8) · (y + 4)
Jedes Glied mit jedem, zuerst y: y · y → y² und y · 4 → 4y
Dann 8: 8 · y → 8y und 8 · 4 → 32
Zusammenfassen: y² + 12y + 32

Ergebnis:

y² + 12y + 32

AchtungNicht jedes Glied mit jedem multipliziert

So nicht

(x + 3) · (x + 5) = x² + 15

So richtig

(x + 3) · (x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15

Vier Teilflächen im Rechteck: Jedes Glied der einen Klammer mal jedes der anderen.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Rechteck hat die Seiten (y + 4) cm und (y + 9) cm. Schreibe seinen Flächeninhalt als Summe ohne Klammern.
So fängst du an:
A = (y + 4) · (y + 9)
Lösung zeigen
1. A = (y + 4) · (y + 9)
2. Jedes Glied mit jedem, zuerst y: y · y → y² und y · 9 → 9y
3. Dann 4: 4 · y → 4y und 4 · 9 → 36
4. Zusammenfassen: y² + 13y + 36
Ergebnis:
y² + 13y + 36
●2
Ein Rechteck hat die Seiten (x + 5) cm und (x + 3) cm. Schreibe seinen Flächeninhalt als Summe ohne Klammern.
Lösung zeigen
1. A = (x + 5) · (x + 3)
2. Jedes Glied mit jedem, zuerst x: x · x → x² und x · 3 → 3x
3. Dann 5: 5 · x → 5x und 5 · 3 → 15
4. Zusammenfassen: x² + 8x + 15
Ergebnis:
x² + 8x + 15
★3
Multipliziere aus und fasse zusammen: (3z + 6) · (3z + 1)
Lösung zeigen
1. Jedes Glied mit jedem, zuerst 3z: 3z · 3z → 9z² und 3z · 1 → 3z
2. Dann 6: 6 · 3z → 18z und 6 · 1 → 6
3. Zusammenfassen: 9z² + 21z + 6
Ergebnis:
9z² + 21z + 6

2Ich löse Klammern mit einem Minus davor sicher auf.

EntdeckenFrage

Warum ist (a + b)² nicht einfach a² + b²?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zeichne ein Quadrat mit der Seite a + b. Darin liegen ein Quadrat a², ein Quadrat b² und zwei Rechtecke a · b. Wer nur a² + b² schreibt, vergisst die beiden Rechtecke: Bei 3 und 4 sind es 49 statt 25.

MerkenMinus vor der Klammer

Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer.

So wird 10 − (x − 4) = 10 − x + 4 = 14 − x.

BeispielMinus vor der Klammer

Löse die Klammer auf: −(2z − 1)

Schritt für Schritt

Minus vor der Klammer: jedes Vorzeichen in der Klammer dreht sich.
2z wird zu −2z, −1 wird zu +1.
−2z + 1

Minus vor der Klammer: jedes Vorzeichen in der Klammer dreht sich.
2z wird zu −2z, −1 wird zu +1.
−2z + 1

Ergebnis:

−2z + 1

AchtungMinusklammer: nur ein Vorzeichen gedreht

So nicht

10 − (x − 4) = 10 − x − 4 = 6 − x

So richtig

10 − (x − 4) = 10 − x + 4 = 14 − x

Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer.

ÜbenJetzt du

○4
Vereinfache: 15 − (3z + 2)
So fängst du an:
Klammer auflösen: 15 − 3z − 2
Lösung zeigen
1. Klammer auflösen: 15 − 3z − 2
2. Zahlen zusammenfassen: 15 − 2 = 13
3. −3z + 13
Ergebnis:
−3z + 13
●5
Vereinfache: 11 − (4y + 10)
Lösung zeigen
1. Klammer auflösen: 11 − 4y − 10
2. Zahlen zusammenfassen: 11 − 10 = 1
3. −4y + 1
Ergebnis:
−4y + 1
★6
Vereinfache: 13y − 5 · (y − 3)
Lösung zeigen
1. −5 · y = −5y und −5 · (−3) = 15
2. 13y − 5y + 15
3. 8y + 15
Ergebnis:
8y + 15

3Ich leite die erste und zweite binomische Formel am Quadrat her und wende sie an.

EntdeckenFrage

Wird ein quadratisches Beet größer oder kleiner, wenn eine Seite 2 m länger und die andere 2 m kürzer wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Immer kleiner, und zwar um genau 4 Quadratmeter: (x + 2) · (x − 2) = x² − 4. Das gilt für jedes Beet, egal wie groß. Die Formel beweist es für alle x auf einmal.

MerkenBinomische Formeln: Quadrat einer Summe

(a + b)² = a² + 2ab + b² und (a − b)² = a² − 2ab + b².

Das Mittelglied 2ab sind die zwei Rechtecke im Quadrat.

BeispielQuadrat einer Summe oder Differenz

Ergänze die Lücke: (y − 3)² = y² − ___ + 9

Schritt für Schritt

Zweite binomische Formel: (p − q)² = p² − 2pq + q²
Das Mittelglied ist 2 · y · 3 = 6y
y² − 6y + 9

Zweite binomische Formel: (p − q)² = p² − 2pq + q²
Das Mittelglied ist 2 · y · 3 = 6y
y² − 6y + 9

Ergebnis:

AchtungMittelglied vergessen

So nicht

(x + 4)² = x² + 16

So richtig

(x + 4)² = x² + 8x + 16

(a + b)² hat drei Glieder: a² + 2ab + b². Die zwei Rechtecke im Quadrat nicht vergessen.

ÜbenJetzt du

○7
Schreibe ohne Klammer: (x + 6)². Wo stecken die zwei Rechtecke?
So fängst du an:
Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
Lösung zeigen
1. Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
2. p = x, q = 6: p² = x², 2pq = 12x, q² = 36
3. x² + 12x + 36
Ergebnis:
x² + 12x + 36
●8
Ergänze die Lücke: (x + 6)² = x² + ___ + 36
Lösung zeigen
1. Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
2. Das Mittelglied ist 2 · x · 6 = 12x
3. x² + 12x + 36
Ergebnis:
12x
★9
Ergänze die Lücke: (3z + 2)² = 9z² + ___ + 4
Lösung zeigen
1. Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
2. Das Mittelglied ist 2 · 3z · 2 = 12z
3. 9z² + 12z + 4
Ergebnis:
12z

4Ich nutze die dritte binomische Formel, auch zum Kopfrechnen.

EntdeckenFrage

Warum ist der Unterschied zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen immer ungerade?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

(n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1, und 2n + 1 ist immer ungerade. Zum Beispiel 36 − 25 = 11. Die Rechnung mit Klammern zeigt, warum es IMMER so ist und nicht nur bei den ausprobierten Zahlen.

MerkenSumme mal Differenz

(a + b) · (a − b) = a² − b². Damit rechnet man geschickt: 49 · 51 = 50² − 1² = 2499.

BeispielSumme mal Differenz: geschickt rechnen

Nutze Summe mal Differenz: 92 · 88

Schritt für Schritt

92 · 88 = (90 + 2) · (90 − 2)
= 90² − 2² = 8100 − 4
= 8096

92 · 88 = (90 + 2) · (90 − 2)
= 90² − 2² = 8100 − 4
= 8096

Ergebnis:

8096

AchtungFaktor nicht mitquadriert oder Mittelglied erfunden

So nicht

(3x)² = 3x²

So richtig

(3x)² = 3² · x² = 9x²

(3x)² = 9x², und Summe mal Differenz hat kein Mittelglied: (a + b) · (a − b) = a² − b².

ÜbenJetzt du

○10
Rechne geschickt im Kopf: 17 · 23
So fängst du an:
17 · 23 = (20 − 3) · (20 + 3)
Lösung zeigen
1. 17 · 23 = (20 − 3) · (20 + 3)
2. = 20² − 3² = 400 − 9
3. = 391
Ergebnis:
391
●11
Rechne geschickt im Kopf: 29 · 31
Lösung zeigen
1. 29 · 31 = (30 − 1) · (30 + 1)
2. = 30² − 1² = 900 − 1
3. = 899
Ergebnis:
899
★12
Rechne geschickt im Kopf: 98 · 102
Lösung zeigen
1. 98 · 102 = (100 − 2) · (100 + 2)
2. = 100² − 2² = 10.000 − 4
3. = 9996
Ergebnis:
9996

5Ich faktorisiere mit Ausklammern und binomischen Formeln.

EntdeckenFrage

Wie rechnet man 103² im Kopf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

(100 + 3)² = 100² + 2 · 100 · 3 + 3² = 10.000 + 600 + 9 = 10.609. Mit der ersten binomischen Formel wird das Quadrat einer krummen Zahl zu drei einfachen Teilen.

MerkenFaktorisieren

Faktorisieren heißt: eine Summe als Produkt schreiben.

Erst ausklammern, dann eine binomische Formel suchen: x² − 9 = (x + 3) · (x − 3).

BeispielFaktorisieren mit Ausklammern und Formeln

Schreibe als Produkt: y² − 14y + 49

Schritt für Schritt

Quadrate: y² und 7²
Mittelglied mit Minus: 2 · y · 7 = 14y
(y − 7)²

Quadrate: y² und 7²
Mittelglied mit Minus: 2 · y · 7 = 14y
(y − 7)²

Ergebnis:

(y − 7)²

AchtungUngleichartige Glieder zusammengefasst

So nicht

3x + 2 = 5x

So richtig

3x + 2 bleibt 3x + 2

Sortiere zuerst: Glieder mit x zusammen, Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○13
Faktorisiere: y² + 18y + 81
So fängst du an:
Quadrate erkennen: y² und 81 = 9²
Lösung zeigen
1. Quadrate erkennen: y² und 81 = 9²
2. Mittelglied prüfen: 2 · y · 9 = 18y
3. (y + 9)²
Ergebnis:
(y + 9)²
●14
Schreibe als Produkt: z² − 12z + 36
Lösung zeigen
1. Quadrate: z² und 6²
2. Mittelglied mit Minus: 2 · z · 6 = 12z
3. (z − 6)²
Ergebnis:
(z − 6)²
★15
Schreibe als Produkt: 9x² − 12x + 4
Lösung zeigen
1. Quadrate: (3x)² und 2²
2. Mittelglied mit Minus: 2 · 3x · 2 = 12x
3. (3x − 2)²
Ergebnis:
(3x − 2)²

6Ich löse Gleichungen, in denen Produkte von Summen stehen.

EntdeckenFrage

Warum schreiben Mathematiker Terme lieber als Produkt statt als Summe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein Produkt verrät, wann es null wird: (x + 3) · (x − 3) ist genau für x = 3 und x = −3 gleich null. An der Summe x² − 9 sieht man das nicht. Faktorisieren ist deshalb der Schlüssel zu den quadratischen Gleichungen in Klasse 9.

MerkenGleichungen mit Produkten

Erst beide Seiten ausmultiplizieren.

Fällt x² auf beiden Seiten weg, bleibt eine einfache Gleichung, die man wie gewohnt löst.

BeispielGleichungen mit Produkten von Summen

Löse: (x + 3)² = (x − 5)² + 96

Schritt für Schritt

Links: x² + 6x + 9. Rechts: x² − 10x + 121
x² fällt weg: 6x + 9 = −10x + 121
16x = 112
x = 7

Links: x² + 6x + 9. Rechts: x² − 10x + 121
x² fällt weg: 6x + 9 = −10x + 121
16x = 112
x = 7

Ergebnis:

x = 7

AchtungFalsche Gegenoperation

So nicht

Löse: (x + 3)² = (x − 5)² + 96 → x = −3

So richtig

Löse: (x + 3)² = (x − 5)² + 96 → x = 7

Schreib die Gegenrechnung hinter einen Strich: bei + 5 steht | − 5.

ÜbenJetzt du

○16
Löse: (x + 4)² = (x − 3)² + 35
So fängst du an:
Links: x² + 8x + 16. Rechts: x² − 6x + 44
Lösung zeigen
1. Links: x² + 8x + 16. Rechts: x² − 6x + 44
2. x² fällt weg: 8x + 16 = −6x + 44
3. 14x = 28
4. x = 2
Ergebnis:
x = 2
●17
Löse: (x + 6)² = (x − 3)² + 135
Lösung zeigen
1. Links: x² + 12x + 36. Rechts: x² − 6x + 144
2. x² fällt weg: 12x + 36 = −6x + 144
3. 18x = 108
4. x = 6
Ergebnis:
x = 6
★18
Löse die Gleichung: (x + 4) · (x + 4) = x² + 48
Lösung zeigen
1. Ausmultiplizieren: x² + 8x + 16 = x² + 48
2. x² fällt auf beiden Seiten weg: 8x + 16 = 48
3. 8x = 32
4. x = 4
Ergebnis:
x = 4

7Ich beschreibe Flächenänderungen mit Termen.

EntdeckenFrage

Ein Handybildschirm wird 1 cm breiter und 1 cm höher. Wie viel Fläche kommt dazu?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht 2 cm². Aus a · b wird (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1. Bei 7 cm mal 15 cm kommen 7 + 15 + 1 = 23 cm² dazu: zwei Streifen und ein kleines Eckquadrat.

MerkenFlächen verändern

Wächst ein Quadrat, wachsen zwei Streifen und eine kleine Ecke mit.

Bei Seite x und 2 mehr ist die Fläche um (x + 2)² − x² = 4x + 4 größer.

BeispielFlächenänderung als Term

Beide Seiten eines Quadrats mit der Seitenlänge x cm werden um 4 cm länger. Um wie viel wächst die Fläche? Gib einen Term an.

Schritt für Schritt

Neue Fläche: (x + 4)² = x² + 8x + 16
Zuwachs: x² + 8x + 16 − x² = 8x + 16
Zwei Streifen und ein kleines Quadrat: 2 · 4x + 16

Neue Fläche: (x + 4)² = x² + 8x + 16
Zuwachs: x² + 8x + 16 − x² = 8x + 16
Zwei Streifen und ein kleines Quadrat: 2 · 4x + 16

Ergebnis:

8x + 16

AchtungBinom ohne Mittelglied

So nicht

(x + 3)² = x² + 9

So richtig

(x + 3)² = x² + 6x + 9

Schreib die Klammer zweimal hin. Nimm jedes Glied mit jedem mal.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 3 cm länger, die andere um 1 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
So fängst du an:
Neue Fläche: (x + 3) · (x − 1)
Lösung zeigen
1. Neue Fläche: (x + 3) · (x − 1)
2. = x² + 2x − 3
3. Änderung: x² + 2x − 3 − x² = 2x − 3
Ergebnis:
x² + 2x − 3; Änderung 2x − 3
●20
Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 5 cm länger, die andere um 1 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
Lösung zeigen
1. Neue Fläche: (x + 5) · (x − 1)
2. = x² + 4x − 5
3. Änderung: x² + 4x − 5 − x² = 4x − 5
Ergebnis:
x² + 4x − 5; Änderung 4x − 5
★21
Ein Quadrat mit der Seitenlänge x cm wird auf einer Seite um 4 cm länger und auf der anderen um 3 cm kürzer. Für welches x bleibt die Fläche gleich?
Lösung zeigen
1. Neue Fläche: (x + 4) · (x − 3) = x² + x − 12
2. Gleich groß wie x²: x − 12 = 0
3. x = 12
4. x = 12
Ergebnis:
x = 12 cm

8Ich finde Fehler in Umformungen und begründe sie.

EntdeckenFrage

Wo steckt der Fehler im „Beweis“, dass 1 = 2 ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man setzt a = b und formt a² − b² = ab − b² um zu (a + b)(a − b) = b(a − b). Dann wird durch a − b geteilt. Weil a = b ist, ist a − b = 0, und durch 0 darf man nicht teilen.

MerkenFehler finden

Falsch ist, (a + b)² als a² + b² zu schreiben – das Mittelglied fehlt.

Falsch ist, bei −(a − b) nur ein Vorzeichen zu drehen. Richtig sind a² + 2ab + b² und −a + b.

BeispielFehler in Termumformungen finden

Lea rechnet: −(x − 2) = −x − 2. Finde den Fehler, begründe und rechne richtig.

Schritt für Schritt

Fehler: Nur das erste Vorzeichen wurde gedreht.
Richtig: −(x − 2) = −x + 2

Fehler: Nur das erste Vorzeichen wurde gedreht.
Richtig: −(x − 2) = −x + 2

Ergebnis:

−x + 2

AchtungMinusklammer: nur das erste Vorzeichen gedreht

So nicht

−(2z − 4) = −2z − 4

So richtig

−(2z − 4) = −2z + 4

Tausche jedes Zeichen in der Klammer: aus plus wird minus, aus minus wird plus.

ÜbenJetzt du

○22
Mira rechnet: (y − 6)² = y² − 36. Finde den Fehler, begründe und rechne richtig.
So fängst du an:
Fehler: Mittelglied fehlt, und das letzte Glied ist positiv.
Lösung zeigen
1. Fehler: Mittelglied fehlt, und das letzte Glied ist positiv.
2. Richtig: (y − 6)² = y² − 12y + 36
Ergebnis:
y² − 12y + 36
●23
Stimmt das? (z + 6)² = z² + 36. Wenn nicht: Was ist falsch, und wie heißt es richtig?
Lösung zeigen
1. Fehler: Das Mittelglied fehlt.
2. Richtig: (z + 6)² = z² + 12z + 36
Ergebnis:
z² + 12z + 36
★24
Stimmt das? (z + 3) · (z + 2) = z² + 6. Wenn nicht: Was ist falsch, und wie heißt es richtig?
Lösung zeigen
1. Fehler: Nicht jedes Glied mit jedem multipliziert.
2. Richtig: (z + 3) · (z + 2) = z² + 5z + 6
Ergebnis:
z² + 5z + 6

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Schreibe als Summe ohne Klammern: (y + 2) · (y + 8)
Lösung zeigen
1. Jedes Glied mit jedem, zuerst y: y · y → y² und y · 8 → 8y
2. Dann 2: 2 · y → 2y und 2 · 8 → 16
3. Zusammenfassen: y² + 10y + 16
Ergebnis:
y² + 10y + 16
●26
Vereinfache: 5 − (9x + 1)
Lösung zeigen
1. Klammer auflösen: 5 − 9x − 1
2. Zahlen zusammenfassen: 5 − 1 = 4
3. −9x + 4
Ergebnis:
−9x + 4
●27
Multipliziere aus: 5(5x + 2)
Lösung zeigen
1. 5 · 5x = 25x
2. 5 · (2) = 10
Ergebnis:
25x + 10
●28
Multipliziere mit der binomischen Formel aus: (y − 6)²
Lösung zeigen
1. Zweite binomische Formel: (p − q)² = p² − 2pq + q²
2. p = y, q = 6: p² = y², 2pq = 12y, q² = 36
3. y² − 12y + 36
Ergebnis:
y² − 12y + 36
●29
Multipliziere aus: (x + 9)(x − 9)
Lösung zeigen
1. 3. binomische Formel: (a + b)(a − b) = a² − b²
2. a = x, b = 9
3. a² = x² · b² = 81
4. x² − 81
Ergebnis:
x² − 81
●30
Rechne geschickt im Kopf: 48 · 52
Lösung zeigen
1. 48 · 52 = (50 − 2) · (50 + 2)
2. = 50² − 2² = 2500 − 4
3. = 2496
Ergebnis:
2496

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Summe mal Summe: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert.
Minus vor der Klammer: Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer.
Binomische Formeln: Quadrat einer Summe: (a + b)² = a² + 2ab + b² und (a − b)² = a² − 2ab + b².
Summe mal Differenz: (a + b) · (a − b) = a² − b². Damit rechnet man geschickt: 49 · 51 = 50² − 1² = 2499.
Faktorisieren: Faktorisieren heißt: eine Summe als Produkt schreiben.
Gleichungen mit Produkten: Erst beide Seiten ausmultiplizieren.
Flächen verändern: Wächst ein Quadrat, wachsen zwei Streifen und eine kleine Ecke mit.
Fehler finden: Falsch ist, (a + b)² als a² + b² zu schreiben – das Mittelglied fehlt.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich multipliziere Summen miteinander und zeige es am Rechteck.
31
Schreibe als Summe ohne Klammern: (z + 6) · (z + 3)
Lösung zeigen
Ergebnis:
z² + 9z + 18
Ich löse Klammern mit einem Minus davor sicher auf.
32
Löse die Klammer auf: −(2z − 1)
Lösung zeigen
Ergebnis:
−2z + 1
Ich leite die erste und zweite binomische Formel am Quadrat her und wende sie an.
33
Ergänze die Lücke: (y + 9)² = y² + ___ + 81
Lösung zeigen
Ergebnis:
18y
Ich nutze die dritte binomische Formel, auch zum Kopfrechnen.
34
Nutze Summe mal Differenz: 84 · 76
Lösung zeigen
Ergebnis:
6384
Ich faktorisiere mit Ausklammern und binomischen Formeln.
35
Schreibe als Produkt: y² − 8y + 16
Lösung zeigen
Ergebnis:
(y − 4)²
Ich löse Gleichungen, in denen Produkte von Summen stehen.
36
Löse die Gleichung: (x + 1) · (x + 1) = x² + 3
Lösung zeigen
Ergebnis:
x = 1
Ich beschreibe Flächenänderungen mit Termen.
37
Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 2 cm länger, die andere um 1 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
Lösung zeigen
Ergebnis:
x² + x − 2; Änderung x − 2
Ich finde Fehler in Umformungen und begründe sie.
38
Stimmt das? (z − 6)² = z² − 36. Wenn nicht: Was ist falsch, und wie heißt es richtig?
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Ergebnis:
z² − 12z + 36

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

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Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die binomischen Formeln als Abkürzung für Summe mal Summe.

Wo brauchst du das?

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Kopfrechentricks, Beete und Zimmer vergrößern. Beruf: Zuschnitt im Handwerk, Formeln in der Tabellenkalkulation.

Wörter

Ausklammern: den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Term: eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme und Gleichungen

Darauf baut auf: Gleichungen und Formeln, Rechnen mit der Tabellenkalkulation, Quadratische Funktionen und Gleichungen

Lösungen

y² + 13y + 36
x² + 8x + 15
9z² + 21z + 6
−3z + 13
−4y + 1
8y + 15
x² + 12x + 36
12x
12z
391
899
9996
(y + 9)²
(z − 6)²
(3x − 2)²
x = 2
x = 6
x = 4
x² + 2x − 3; Änderung 2x − 3
x² + 4x − 5; Änderung 4x − 5
x = 12 cm
y² − 12y + 36
z² + 12z + 36
z² + 5z + 6
y² + 10y + 16
−9x + 4
25x + 10
y² − 12y + 36
x² − 81
2496
z² + 9z + 18
−2z + 1
18y
6384
(y − 4)²
x = 1
x² + x − 2; Änderung x − 2
z² − 12z + 36