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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Terme mit Klammern und binomische Formeln

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Berechne ohne Taschenrechner: 49 · 51, 98 · 102 und 197 · 203. Du hast zwei Minuten.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Schriftlich dauert jede Aufgabe lange, und nach der zweiten ist die Zeit um. Einigen fällt auf, dass die Zahlen immer um eine runde Zahl herum liegen. Wer (50 − 1) · (50 + 1) ausmultipliziert, sieht: Die Mittelglieder heben sich auf. Übrig bleibt 50² − 1² – das ist die dritte binomische Formel, und sie rechnet für uns.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenProdukte sind Flächen

Ein Produkt zweier Summen ist ein Rechteck mit zusammengesetzten Seiten. Ausmultiplizieren heißt: die Fläche in Teilflächen zerlegen und sie addieren. Beim Quadrat einer Summe sind es zwei Quadrate und zwei gleiche Rechtecke.

WeiterdenkenDenk nach

Ist (x + 4)² größer oder kleiner als x² + 16, wenn x positiv ist? Wie siehst du das am Bild, ohne zu rechnen?

1Ich multipliziere Summen miteinander und zeige es am Rechteck.

EntdeckenFrage

Wie rechnet man 49 · 51 in drei Sekunden im Kopf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Als (50 − 1) · (50 + 1) = 50² − 1² = 2500 − 1 = 2499. Die dritte binomische Formel macht aus einer schweren Malaufgabe eine Quadratzahl minus eins.

MerkenSumme mal Summe

Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert.

So wird (x + 3) · (x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. Am Rechteck sind das vier Teilflächen.

BeispielSumme mal Summe ausmultiplizieren

Ein Rechteck hat die Seiten (y + 4) cm und (y + 7) cm. Schreibe seinen Flächeninhalt als Summe ohne Klammern.
y4y7?
Schritt für Schritt
  1. A = (y + 4) · (y + 7)
  2. Jedes Glied mit jedem, zuerst y: y · y → y² und y · 7 → 7y
  3. Dann 4: 4 · y → 4y und 4 · 7 → 28
  4. Zusammenfassen: y² + 11y + 28
  1. A = (y + 4) · (y + 7)
  2. Jedes Glied mit jedem, zuerst y: y · y → y² und y · 7 → 7y
  3. Dann 4: 4 · y → 4y und 4 · 7 → 28
  4. Zusammenfassen: y² + 11y + 28
Ergebnis:
y² + 11y + 28

AchtungNicht jedes Glied mit jedem multipliziert

So nicht
(x + 3) · (x + 5) = x² + 15
So richtig
(x + 3) · (x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15

Vier Teilflächen im Rechteck: Jedes Glied der einen Klammer mal jedes der anderen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schreibe als Summe ohne Klammern: (z + 2) · (z + 4)
    z2z4?
    So fängst du an:
    Jedes Glied mit jedem, zuerst z: z · z → z² und z · 4 → 4z
    Lösung zeigen
    1. Jedes Glied mit jedem, zuerst z: z · z → z² und z · 4 → 4z
    2. Dann 2: 2 · z → 2z und 2 · 4 → 8
    3. Zusammenfassen: z² + 6z + 8
    Ergebnis:
    z² + 6z + 8
  2. ●2
    Ein Rechteck hat die Seiten (x + 9) cm und (x + 6) cm. Schreibe seinen Flächeninhalt als Summe ohne Klammern.
    x9x6?
    Lösung zeigen
    1. A = (x + 9) · (x + 6)
    2. Jedes Glied mit jedem, zuerst x: x · x → x² und x · 6 → 6x
    3. Dann 9: 9 · x → 9x und 9 · 6 → 54
    4. Zusammenfassen: x² + 15x + 54
    Ergebnis:
    x² + 15x + 54
  3. ★3
    Multipliziere aus und fasse zusammen: (x + 4) · (3x − 3)
    Lösung zeigen
    1. Jedes Glied mit jedem, zuerst x: x · 3x → 3x² und x · (−3) → −3x
    2. Dann 4: 4 · 3x → 12x und 4 · (−3) → −12
    3. Zusammenfassen: 3x² + 9x − 12
    Ergebnis:
    3x² + 9x − 12

2Ich löse Klammern mit einem Minus davor sicher auf.

EntdeckenFrage

Warum ist (a + b)² nicht einfach a² + b²?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zeichne ein Quadrat mit der Seite a + b. Darin liegen ein Quadrat a², ein Quadrat b² und zwei Rechtecke a · b. Wer nur a² + b² schreibt, vergisst die beiden Rechtecke: Bei 3 und 4 sind es 49 statt 25.

MerkenMinus vor der Klammer

Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer.

So wird 10 − (x − 4) = 10 − x + 4 = 14 − x.

BeispielMinus vor der Klammer

Vereinfache: 2 − (6z + 3)
Schritt für Schritt
  1. Klammer auflösen: 2 − 6z − 3
  2. Zahlen zusammenfassen: 2 − 3 = −1
  3. −6z − 1
  1. Klammer auflösen: 2 − 6z − 3
  2. Zahlen zusammenfassen: 2 − 3 = −1
  3. −6z − 1
Ergebnis:
−6z − 1

AchtungMinusklammer: nur ein Vorzeichen gedreht

So nicht
10 − (x − 4) = 10 − x − 4 = 6 − x
So richtig
10 − (x − 4) = 10 − x + 4 = 14 − x

Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Fasse zusammen: (z + 9) − (z − 8)
    So fängst du an:
    Zweite Klammer: Vorzeichen drehen: − z + 8
    Lösung zeigen
    1. Zweite Klammer: Vorzeichen drehen: − z + 8
    2. z + 9 − z + 8
    3. z − z = 0 und 9 + 8 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●5
    Vereinfache: 11 − (7y + 10)
    Lösung zeigen
    1. Klammer auflösen: 11 − 7y − 10
    2. Zahlen zusammenfassen: 11 − 10 = 1
    3. −7y + 1
    Ergebnis:
    −7y + 1
  3. ★6
    Vereinfache: 8 − (4y + 8)
    Lösung zeigen
    1. Klammer auflösen: 8 − 4y − 8
    2. Zahlen zusammenfassen: 8 − 8 = 0
    3. −4y
    Ergebnis:
    −4y

3Ich leite die erste und zweite binomische Formel am Quadrat her und wende sie an.

EntdeckenFrage

Wird ein quadratisches Beet größer oder kleiner, wenn eine Seite 2 m länger und die andere 2 m kürzer wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Immer kleiner, und zwar um genau 4 Quadratmeter: (x + 2) · (x − 2) = x² − 4. Das gilt für jedes Beet, egal wie groß. Die Formel beweist es für alle x auf einmal.

MerkenBinomische Formeln: Quadrat einer Summe

(a + b)² = a² + 2ab + b² und (a − b)² = a² − 2ab + b².

Das Mittelglied 2ab sind die zwei Rechtecke im Quadrat.

BeispielQuadrat einer Summe oder Differenz

Schreibe ohne Klammer: (x + 4)². Wo stecken die zwei Rechtecke?
x4x4?
Schritt für Schritt
  1. Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
  2. p = x, q = 4: p² = x², 2pq = 8x, q² = 16
  3. x² + 8x + 16
  1. Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
  2. p = x, q = 4: p² = x², 2pq = 8x, q² = 16
  3. x² + 8x + 16
Ergebnis:
x² + 8x + 16

AchtungMittelglied vergessen

So nicht
(x + 4)² = x² + 16
So richtig
(x + 4)² = x² + 8x + 16

(a + b)² hat drei Glieder: a² + 2ab + b². Die zwei Rechtecke im Quadrat nicht vergessen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Multipliziere mit der binomischen Formel aus: (z + 5)²
    z5z5?
    So fängst du an:
    Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
    Lösung zeigen
    1. Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
    2. p = z, q = 5: p² = z², 2pq = 10z, q² = 25
    3. z² + 10z + 25
    Ergebnis:
    z² + 10z + 25
  2. ●8
    Schreibe ohne Klammer: (z − 8)². Wo stecken die zwei Rechtecke?
    Lösung zeigen
    1. Zweite binomische Formel: (p − q)² = p² − 2pq + q²
    2. p = z, q = 8: p² = z², 2pq = 16z, q² = 64
    3. z² − 16z + 64
    Ergebnis:
    z² − 16z + 64
  3. ★9
    Schreibe ohne Klammer: (x + 7)². Wo stecken die zwei Rechtecke?
    x7x7?
    Lösung zeigen
    1. Erste binomische Formel: (p + q)² = p² + 2pq + q²
    2. p = x, q = 7: p² = x², 2pq = 14x, q² = 49
    3. x² + 14x + 49
    Ergebnis:
    x² + 14x + 49

4Ich nutze die dritte binomische Formel, auch zum Kopfrechnen.

EntdeckenFrage

Warum ist der Unterschied zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen immer ungerade?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

(n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1, und 2n + 1 ist immer ungerade. Zum Beispiel 36 − 25 = 11. Die Rechnung mit Klammern zeigt, warum es IMMER so ist und nicht nur bei den ausprobierten Zahlen.

MerkenSumme mal Differenz

(a + b) · (a − b) = a² − b². Damit rechnet man geschickt: 49 · 51 = 50² − 1² = 2499.

BeispielSumme mal Differenz: geschickt rechnen

Nutze Summe mal Differenz: 95 · 85
909585?
Schritt für Schritt
  1. 95 · 85 = (90 + 5) · (90 − 5)
  2. = 90² − 5² = 8100 − 25
  3. = 8075
  1. 95 · 85 = (90 + 5) · (90 − 5)
  2. = 90² − 5² = 8100 − 25
  3. = 8075
Ergebnis:
8075

AchtungFaktor nicht mitquadriert oder Mittelglied erfunden

So nicht
(3x)² = 3x²
So richtig
(3x)² = 3² · x² = 9x²

(3x)² = 9x², und Summe mal Differenz hat kein Mittelglied: (a + b) · (a − b) = a² − b².

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne geschickt im Kopf: 29 · 31
    303129?
    So fängst du an:
    29 · 31 = (30 − 1) · (30 + 1)
    Lösung zeigen
    1. 29 · 31 = (30 − 1) · (30 + 1)
    2. = 30² − 1² = 900 − 1
    3. = 899
    Ergebnis:
    899
  2. ●11
    Nutze Summe mal Differenz: 102 · 98
    10010298?
    Lösung zeigen
    1. 102 · 98 = (100 + 2) · (100 − 2)
    2. = 100² − 2² = 10.000 − 4
    3. = 9996
    Ergebnis:
    9996
  3. ★12
    Rechne geschickt im Kopf: 78 · 82
    808278?
    Lösung zeigen
    1. 78 · 82 = (80 − 2) · (80 + 2)
    2. = 80² − 2² = 6400 − 4
    3. = 6396
    Ergebnis:
    6396

5Ich faktorisiere mit Ausklammern und binomischen Formeln.

EntdeckenFrage

Wie rechnet man 103² im Kopf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

(100 + 3)² = 100² + 2 · 100 · 3 + 3² = 10.000 + 600 + 9 = 10.609. Mit der ersten binomischen Formel wird das Quadrat einer krummen Zahl zu drei einfachen Teilen.

MerkenFaktorisieren

Faktorisieren heißt: eine Summe als Produkt schreiben.

Erst ausklammern, dann eine binomische Formel suchen: x² − 9 = (x + 3) · (x − 3).

BeispielFaktorisieren mit Ausklammern und Formeln

Faktorisiere: x² + 12x + 36
x²36??
Schritt für Schritt
  1. Quadrate erkennen: x² und 36 = 6²
  2. Mittelglied prüfen: 2 · x · 6 = 12x
  3. (x + 6)²
  1. Quadrate erkennen: x² und 36 = 6²
  2. Mittelglied prüfen: 2 · x · 6 = 12x
  3. (x + 6)²
Ergebnis:
(x + 6)²

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Schreibe als Produkt: y² − 18y + 81
    So fängst du an:
    Quadrate: y² und 9²
    Lösung zeigen
    1. Quadrate: y² und 9²
    2. Mittelglied mit Minus: 2 · y · 9 = 18y
    3. (y − 9)²
    Ergebnis:
    (y − 9)²
  2. ●14
    Faktorisiere: z² + 16z + 64
    z²64??
    Lösung zeigen
    1. Quadrate erkennen: z² und 64 = 8²
    2. Mittelglied prüfen: 2 · z · 8 = 16z
    3. (z + 8)²
    Ergebnis:
    (z + 8)²
  3. ★15
    Faktorisiere: 9x² + 48x + 64
    9x²64??
    Lösung zeigen
    1. Quadrate erkennen: 9x² = (3x)² und 64 = 8²
    2. Mittelglied prüfen: 2 · 3x · 8 = 48x
    3. (3x + 8)²
    Ergebnis:
    (3x + 8)²

6Ich löse Gleichungen, in denen Produkte von Summen stehen.

EntdeckenFrage

Warum schreiben Mathematiker Terme lieber als Produkt statt als Summe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein Produkt verrät, wann es null wird: (x + 3) · (x − 3) ist genau für x = 3 und x = −3 gleich null. An der Summe x² − 9 sieht man das nicht. Faktorisieren ist deshalb der Schlüssel zu den quadratischen Gleichungen in Klasse 9.

MerkenGleichungen mit Produkten

Erst beide Seiten ausmultiplizieren.

Fällt x² auf beiden Seiten weg, bleibt eine einfache Gleichung, die man wie gewohnt löst.

BeispielGleichungen mit Produkten von Summen

Löse: (x + 5)² = (x − 5)² + 20
xy−444080f
Schritt für Schritt
  1. Links: x² + 10x + 25. Rechts: x² − 10x + 45
  2. x² fällt weg: 10x + 25 = −10x + 45
  3. 20x = 20
  4. x = 1
  1. Links: x² + 10x + 25. Rechts: x² − 10x + 45
  2. x² fällt weg: 10x + 25 = −10x + 45
  3. 20x = 20
  4. x = 1
Ergebnis:
x = 1

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Löse die Gleichung: (x + 4) · (x + 6) = x² + 54
    So fängst du an:
    Ausmultiplizieren: x² + 10x + 24 = x² + 54
    Lösung zeigen
    1. Ausmultiplizieren: x² + 10x + 24 = x² + 54
    2. x² fällt auf beiden Seiten weg: 10x + 24 = 54
    3. 10x = 30
    4. x = 3
    Ergebnis:
    x = 3
  2. ●17
    Löse die Gleichung: (x + 2) · (x + 2) = x² + 16
    Lösung zeigen
    1. Ausmultiplizieren: x² + 4x + 4 = x² + 16
    2. x² fällt auf beiden Seiten weg: 4x + 4 = 16
    3. 4x = 12
    4. x = 3
    Ergebnis:
    x = 3
  3. ★18
    Löse: (x + 5) · (x − 5) = x · (x − 25)
    Lösung zeigen
    1. Links: x² − 25. Rechts: x² − 25x
    2. x² fällt weg: −25 = −25x
    3. 25x = 25
    4. x = 1
    Ergebnis:
    x = 1

7Ich beschreibe Flächenänderungen mit Termen.

EntdeckenFrage

Ein Handybildschirm wird 1 cm breiter und 1 cm höher. Wie viel Fläche kommt dazu?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht 2 cm². Aus a · b wird (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1. Bei 7 cm mal 15 cm kommen 7 + 15 + 1 = 23 cm² dazu: zwei Streifen und ein kleines Eckquadrat.

MerkenFlächen verändern

Wächst ein Quadrat, wachsen zwei Streifen und eine kleine Ecke mit.

Bei Seite x und 2 mehr ist die Fläche um (x + 2)² − x² = 4x + 4 größer.

BeispielFlächenänderung als Term

Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 1 cm länger, die andere um 6 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
x cm+ 1 cmx cm− 6 cm?
Schritt für Schritt
  1. Neue Fläche: (x + 1) · (x − 6)
  2. = x² − 5x − 6
  3. Änderung: x² − 5x − 6 − x² = −5x − 6
  1. Neue Fläche: (x + 1) · (x − 6)
  2. = x² − 5x − 6
  3. Änderung: x² − 5x − 6 − x² = −5x − 6
Ergebnis:
x² − 5x − 6; Änderung −5x − 6

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 2 cm länger, die andere um 3 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
    x cm+ 2 cmx cm− 3 cm?
    So fängst du an:
    Neue Fläche: (x + 2) · (x − 3)
    Lösung zeigen
    1. Neue Fläche: (x + 2) · (x − 3)
    2. = x² − x − 6
    3. Änderung: x² − x − 6 − x² = −x − 6
    Ergebnis:
    x² − x − 6; Änderung −x − 6
  2. ●20
    Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 6 cm länger, die andere um 3 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
    x cm+ 6 cmx cm− 3 cm?
    Lösung zeigen
    1. Neue Fläche: (x + 6) · (x − 3)
    2. = x² + 3x − 18
    3. Änderung: x² + 3x − 18 − x² = 3x − 18
    Ergebnis:
    x² + 3x − 18; Änderung 3x − 18
  3. ★21
    Beide Seiten eines Quadrats mit der Seitenlänge x cm werden um 3 cm länger. Um wie viel wächst die Fläche? Gib einen Term an.
    x cm+ 3 cmx cm?
    Lösung zeigen
    1. Neue Fläche: (x + 3)² = x² + 6x + 9
    2. Zuwachs: x² + 6x + 9 − x² = 6x + 9
    3. Zwei Streifen und ein kleines Quadrat: 2 · 3x + 9
    Ergebnis:
    6x + 9

8Ich finde Fehler in Umformungen und begründe sie.

EntdeckenFrage

Wo steckt der Fehler im „Beweis“, dass 1 = 2 ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man setzt a = b und formt a² − b² = ab − b² um zu (a + b)(a − b) = b(a − b). Dann wird durch a − b geteilt. Weil a = b ist, ist a − b = 0, und durch 0 darf man nicht teilen.

MerkenFehler finden

Falsch ist, (a + b)² als a² + b² zu schreiben – das Mittelglied fehlt.

Falsch ist, bei −(a − b) nur ein Vorzeichen zu drehen. Richtig sind a² + 2ab + b² und −a + b.

BeispielFehler in Termumformungen finden

Aylin rechnet: (y + 4)² = y² + 16. Finde den Fehler, begründe und rechne richtig.
Schritt für Schritt
  1. Fehler: Das Mittelglied fehlt.
  2. Richtig: (y + 4)² = y² + 8y + 16
  1. Fehler: Das Mittelglied fehlt.
  2. Richtig: (y + 4)² = y² + 8y + 16
Ergebnis:
y² + 8y + 16

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Stimmt das? (x − 7)² = x² − 49. Wenn nicht: Was ist falsch, und wie heißt es richtig?
    So fängst du an:
    Fehler: Mittelglied fehlt, und das letzte Glied ist positiv.
    Lösung zeigen
    1. Fehler: Mittelglied fehlt, und das letzte Glied ist positiv.
    2. Richtig: (x − 7)² = x² − 14x + 49
    Ergebnis:
    x² − 14x + 49
  2. ●23
    Tim rechnet: (x + 9)² = x² + 81. Finde den Fehler, begründe und rechne richtig.
    Lösung zeigen
    1. Fehler: Das Mittelglied fehlt.
    2. Richtig: (x + 9)² = x² + 18x + 81
    Ergebnis:
    x² + 18x + 81
  3. ★24
    Emre rechnet: (x + 7) · (x − 7) = x² − 14x − 49. Finde den Fehler, begründe und rechne richtig.
    Lösung zeigen
    1. Fehler: Summe mal Differenz hat kein Mittelglied.
    2. Richtig: (x + 7) · (x − 7) = x² − 49
    Ergebnis:
    x² − 49

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Multipliziere aus und fasse zusammen: (y + 1) · (y + 5)
    y1y5?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Glied mit jedem, zuerst y: y · y → y² und y · 5 → 5y
    2. Dann 1: 1 · y → y und 1 · 5 → 5
    3. Zusammenfassen: y² + 6y + 5
    Ergebnis:
    y² + 6y + 5
  2. ●26
    Fasse zusammen: (y + 6) − (y − 3)
    Lösung zeigen
    1. Zweite Klammer: Vorzeichen drehen: − y + 3
    2. y + 6 − y + 3
    3. y − y = 0 und 6 + 3 = 9
    Ergebnis:
    9
  3. ●27
    Multipliziere aus: 4(4x + 9)
    Lösung zeigen
    1. 4 · 4x = 16x
    2. 4 · (9) = 36
    Ergebnis:
    16x + 36
  4. ●28
    Schreibe ohne Klammer: (z − 5)². Wo stecken die zwei Rechtecke?
    Lösung zeigen
    1. Zweite binomische Formel: (p − q)² = p² − 2pq + q²
    2. p = z, q = 5: p² = z², 2pq = 10z, q² = 25
    3. z² − 10z + 25
    Ergebnis:
    z² − 10z + 25
  5. ●29
    Multipliziere aus: (2x + 9)²
    Lösung zeigen
    1. 1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
    2. a = 2x, b = 9
    3. a² = 4x² · 2ab = 36x · b² = 81
    4. 4x² + 36x + 81
    Ergebnis:
    4x² + 36x + 81
  6. ●30
    Nutze Summe mal Differenz: 64 · 56
    606456?
    Lösung zeigen
    1. 64 · 56 = (60 + 4) · (60 − 4)
    2. = 60² − 4² = 3600 − 16
    3. = 3584
    Ergebnis:
    3584

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Summe mal Summe
Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert.
Minus vor der Klammer
Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer.
Binomische Formeln: Quadrat einer Summe
(a + b)² = a² + 2ab + b² und (a − b)² = a² − 2ab + b².
Summe mal Differenz
(a + b) · (a − b) = a² − b². Damit rechnet man geschickt: 49 · 51 = 50² − 1² = 2499.
Faktorisieren
Faktorisieren heißt: eine Summe als Produkt schreiben.
Gleichungen mit Produkten
Erst beide Seiten ausmultiplizieren.
Flächen verändern
Wächst ein Quadrat, wachsen zwei Streifen und eine kleine Ecke mit.
Fehler finden
Falsch ist, (a + b)² als a² + b² zu schreiben – das Mittelglied fehlt.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich multipliziere Summen miteinander und zeige es am Rechteck.

    31
    Ein Rechteck hat die Seiten (z + 1) cm und (z + 8) cm. Schreibe seinen Flächeninhalt als Summe ohne Klammern.
    z1z8?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    z² + 9z + 8

  2. Ich löse Klammern mit einem Minus davor sicher auf.

    32
    Vereinfache: 6 − (3z + 3)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    −3z + 3

  3. Ich leite die erste und zweite binomische Formel am Quadrat her und wende sie an.

    33
    Ergänze die Lücke: (z + 4)² = z² + ___ + 16
    z4z4?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8z

  4. Ich nutze die dritte binomische Formel, auch zum Kopfrechnen.

    34
    Rechne geschickt im Kopf: 27 · 33
    303327?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    891

  5. Ich faktorisiere mit Ausklammern und binomischen Formeln.

    35
    Schreibe als Produkt: x² − 6x + 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (x − 3)²

  6. Ich löse Gleichungen, in denen Produkte von Summen stehen.

    36
    Löse die Gleichung: (x + 2) · (x + 6) = x² + 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 7

  7. Ich beschreibe Flächenänderungen mit Termen.

    37
    Ein Quadrat hat die Seitenlänge x cm. Eine Seite wird um 5 cm länger, die andere um 2 cm kürzer. Gib die neue Fläche als Term an. Um wie viel ändert sie sich?
    x cm+ 5 cmx cm− 2 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x² + 3x − 10; Änderung 3x − 10

  8. Ich finde Fehler in Umformungen und begründe sie.

    38
    Mira rechnet: −(y − 7) = −y − 7. Finde den Fehler, begründe und rechne richtig.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    −y + 7

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Berechne ohne Taschenrechner: 49 · 51, 98 · 102 und 197 · 203. Du hast zwei Minuten.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die binomischen Formeln als Abkürzung für Summe mal Summe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Kopfrechentricks, Beete und Zimmer vergrößern. Beruf: Zuschnitt im Handwerk, Formeln in der Tabellenkalkulation.

Wörter

Ausklammern
den gemeinsamen Faktor vor die Klammer holen
Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Term
eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme und Gleichungen

Darauf baut auf: Gleichungen und Formeln, Rechnen mit der Tabellenkalkulation, Quadratische Funktionen und Gleichungen

Lösungen

  1. z² + 6z + 8
  2. x² + 15x + 54
  3. 3x² + 9x − 12
  4. 17
  5. −7y + 1
  6. −4y
  7. z² + 10z + 25
  8. z² − 16z + 64
  9. x² + 14x + 49
  10. 899
  11. 9996
  12. 6396
  13. (y − 9)²
  14. (z + 8)²
  15. (3x + 8)²
  16. x = 3
  17. x = 3
  18. x = 1
  19. x² − x − 6; Änderung −x − 6
  20. x² + 3x − 18; Änderung 3x − 18
  21. 6x + 9
  22. x² − 14x + 49
  23. x² + 18x + 81
  24. x² − 49
  25. y² + 6y + 5
  26. 9
  27. 16x + 36
  28. z² − 10z + 25
  29. 4x² + 36x + 81
  30. 3584
  31. z² + 9z + 8
  32. −3z + 3
  33. 8z
  34. 891
  35. (x − 3)²
  36. x = 7
  37. x² + 3x − 10; Änderung 3x − 10
  38. −y + 7