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Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

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Zuordnungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit bloßem Auge wirken alle vier ähnlich. Bei einer Tabelle stimmt das Verdoppeln, bei einer anderen nur einmal. Die Klasse braucht eine Prüfung, die immer geht. Preis geteilt durch Menge – ist der Wert in jeder Zeile gleich, ist es proportional. Ein Quotient, keine Diskussion.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Je mehr von der einen Größe, desto mehr von der anderen – und zwar im selben Verhältnis.

  1. ●47
    Berechne 58 von 160 l.
    Lösung zeigen
    1. 160 : 8 = 20
    2. 20 · 5 = 100
    Ergebnis:
    100 l
  2. ●48
    Welcher Bruch ist größer: 18 oder 37? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 756 und 2456
    2. 18 < 37
    Ergebnis:
    18 < 37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZwei Größen, die zusammengehören

Bei einer Zuordnung gehört zu jedem Wert der einen Größe genau ein Wert der anderen. Die Frage ist immer dieselbe: Wenn die eine sich verdoppelt – was macht die andere?

Zwei Graphen: Gerade durch den Ursprung, doppelt wird doppelt; Hyperbel, doppelt wird halbxydoppelt → doppeltproportionaldoppelt → halbantiproportional

WeiterdenkenDenk nach

Doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel. Doppelt so viele Maler brauchen doppelt so lange? Was ist der Unterschied?

1Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

EntdeckenFrage

Das Rezept ist für 4 Personen – wie viel brauchst du für 6?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Über die 1: alles durch 4, dann mal 6 – also mal 1,5. 200 g Mehl werden 300 g. Das ist der Dreisatz: erst auf eins herunter, dann hoch.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenProportional

Doppelte Menge → doppelter Preis.

Der Quotient y : x ist immer gleich. Dreisatz: erst auf 1 herunter, dann hoch.

Eselsbrücke: Dreisatz: erst auf EINS zurück, dann auf die gesuchte Anzahl

BeispielProportionaler Dreisatz

In 2 Minuten lädt ein Handyakku 3 % auf. Wie viel Prozent sind es nach 8 Minuten?
246810510150proportional02 Minuten | 38 Minuten | ?
Schritt für Schritt
  1. Minuten%
  2. 2 Minuten→3 %
  3. ↓ : 2↓ : 2
  4. 1 Minute→3 % : 2 = 1,5 %
  5. ↓ · 8↓ · 8
  6. 8 Minuten→1,5 % · 8 = 12 %
  1. Minuten%
  2. 2 Minuten→3 %
  3. ↓ : 2↓ : 2
  4. 1 Minute→3 % : 2 = 1,5 %
  5. ↓ · 8↓ · 8
  6. 8 Minuten→1,5 % · 8 = 12 %
Ergebnis:
12 %

AchtungDreisatz-Richtung vertauscht

So nicht
antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12
So richtig
antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In 2 Minuten lädt ein Handyakku 3 % auf. Wie viel Prozent sind es nach 6 Minuten?
    So fängst du an:
    Minuten%
    Lösung zeigen
    1. Minuten%
    2. 2 Minuten→3 %
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Minute→3 % : 2 = 1,5 %
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Minuten→1,5 % · 6 = 9 %
    Ergebnis:
    9 %
  2. ●2
    Eine Playlist mit 4 Songs läuft 12 Minuten. Wie lange laufen 10 Songs?
    Lösung zeigen
    1. SongsMinuten
    2. 4 Songs→12 Minuten
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Song→12 Minuten : 4 = 3 Minuten
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Songs→3 Minuten · 10 = 30 Minuten
    Ergebnis:
    30 Minuten
  3. ★3
    Ein Zug fährt in 8 Stunden gleichmäßig 560 km. Wie weit kommt er in 11 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Stundenkm
    2. 8 Stunden→560 km
    3. ↓ : 8↓ : 8
    4. 1 Stunde→560 km : 8 = 70 km
    5. ↓ · 11↓ · 11
    6. 11 Stunden→70 km · 11 = 770 km
    Ergebnis:
    770 km

2Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

EntdeckenFrage

8 Cent je Minute – woran erkennt man das in einer Tabelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Am Quotienten: Preis geteilt durch Minuten ist immer 0,08. Diese Zahl ist der Proportionalitätsfaktor; mit ihm rechnet man jede Minute aus – Faktor mal Minuten.

MerkenProportionalitätsfaktor

k = y : x ist der Preis für eine Einheit.

Mit y = k · x kann man jeden Wert direkt berechnen.

Eselsbrücke: Proportional: „Doppelt so viel kostet doppelt so viel“ – Ursprungsgerade

BeispielProportionalitätsfaktor

Ein Radfahrer fährt gleichmäßig: x ist die Zeit in Sekunden, y der Weg in Metern. Die Zuordnung ist proportional.
x258
y82032
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 36 gehört.
Schritt für Schritt
  1. x2589
    y82032? 36
    y : x4444

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4.

  2. x = y : k = 36 : 4 = 9
  1. x2589
    y82032? 36
    y : x4444

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4.

  2. x = y : k = 36 : 4 = 9
Ergebnis:
k = 4; x = 9

AchtungArt der Zuordnung falsch

So nicht
6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h
So richtig
Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Zuordnung ist proportional.
    x135
    y41220
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    So fängst du an:
    x1359
    y41220? 36
    y : x4444

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4.

    Lösung zeigen
    1. x1359
      y41220? 36
      y : x4444

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4.

    2. y(9) = 4 · 9 = 36
    Ergebnis:
    k = 4; y = 36
  2. ●5
    Die Zuordnung ist proportional.
    x135
    y103050
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x1359
      y103050? 90
      y : x10101010

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 10.

    2. y(9) = 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    k = 10; y = 90
  3. ★6
    Stoff wird vom Ballen geschnitten: x ist die Länge in Metern, y der Preis in Euro. Die Zuordnung ist proportional.
    x258
    y37,512
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x2589
      y37,512? 13,5
      y : x1,501,501,501,50

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 1,5.

    2. y(9) = 1,5 · 9 = 13,5
    Ergebnis:
    k = 1,5; y = 13,5

3Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

EntdeckenFrage

Fünf Freunde teilen eine Pizza – wie viel mehr bekommt jeder, wenn einer absagt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Viertel statt ein Fünftel – 25 % statt 20 %. Mehr Leute, kleinerer Anteil: Personen mal Anteil bleibt immer eine ganze Pizza. Das ist antiproportional.

MerkenAntiproportional

Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.

Das Produkt x · y ist immer gleich (die Gesamtgröße).

Eselsbrücke: Antiproportional: „Doppelt so viele Arbeiter, halb so lange“ – Produkt bleibt gleich

BeispielAntiproportionaler Dreisatz

Der Bus zur Klassenfahrt kostet für alle zusammen gleich viel; 24 Kinder teilen sich den Preis, jedes Kind zahlt 25,00 €. Wie viel zahlt jedes Kind, wenn 25 Kinder mitfahren?
Schritt für Schritt
  1. Kinder€
  2. 24 Kinder→25,00 €
  3. ↓ : 24↓ · 24
  4. 1 Kind→25,00 € · 24 = 600,00 €
  5. ↓ · 25↓ : 25
  6. 25 Kinder→600,00 € : 25 = 24,00 €
  1. Kinder€
  2. 24 Kinder→25,00 €
  3. ↓ : 24↓ · 24
  4. 1 Kind→25,00 € · 24 = 600,00 €
  5. ↓ · 25↓ : 25
  6. 25 Kinder→600,00 € : 25 = 24,00 €
Ergebnis:
24,00 €

AchtungProportional statt antiproportional

So nicht
2 Leute 12 h → 4 Leute 24 h
So richtig
2 Leute 12 h → 4 Leute 6 h

Frag dich: Mehr Leute, weniger Zeit? Dann ist es antiproportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    4 Leute legen für ein Abschiedsgeschenk zusammen, jeder zahlt 9,00 €. Wie viel zahlt jeder, wenn 12 Leute mitmachen?
    So fängst du an:
    Leute€
    Lösung zeigen
    1. Leute€
    2. 4 Leute→9,00 €
    3. ↓ : 4↓ · 4
    4. 1 Person→9,00 € · 4 = 36,00 €
    5. ↓ · 12↓ : 12
    6. 12 Leute→36,00 € : 12 = 3,00 €
    Ergebnis:
    3,00 €
  2. ●8
    Ein Kuchen wird auf 3 Kinder verteilt, jedes bekommt 16 Stück. Wie viel bekommt jedes Kind, wenn es 2 Kinder sind?
    Lösung zeigen
    1. KinderStück
    2. 3 Kinder→16 Stück
    3. ↓ : 3↓ · 3
    4. 1 Kind→16 Stück · 3 = 48 Stück
    5. ↓ · 2↓ : 2
    6. 2 Kinder→48 Stück : 2 = 24 Stück
    Ergebnis:
    24 Stück
  3. ★9
    Ein Kuchen wird auf 6 Kinder verteilt, jedes bekommt 6 Stück. Wie viel bekommt jedes Kind, wenn es 3 Kinder sind?
    Lösung zeigen
    1. KinderStück
    2. 6 Kinder→6 Stück
    3. ↓ : 6↓ · 6
    4. 1 Kind→6 Stück · 6 = 36 Stück
    5. ↓ · 3↓ : 3
    6. 3 Kinder→36 Stück : 3 = 12 Stück
    Ergebnis:
    12 Stück

4Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

EntdeckenFrage

Doppelt so alt – doppelt so groß?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein: Ein Zwölfjähriger ist nicht doppelt so groß wie ein Sechsjähriger. Alter und Größe gehören zusammen, aber weder proportional noch antiproportional – weder noch. Der Test: Wird es doppelt so viel oder halb so viel, wenn ich verdopple?

MerkenProportional, antiproportional oder keins von beiden

Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.

Bleibt x · y gleich → antiproportional. Sonst weder noch (zum Beispiel Alter → Größe).

BeispielProportional? Mit Quotient prüfen

Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 3, 5, 6 · y: 2, 6, 10, 12. Begründe mit dem Quotienten y : x.
2465101500(1|2)(3|6)(5|10)(6|12)
Schritt für Schritt
  1. Quotienten: 2, 2, 2, 2
  2. Alle gleich → proportional
  1. Quotienten: 2, 2, 2, 2
  2. Alle gleich → proportional
Ergebnis:
ja (Quotient immer 2)

AchtungNoch einmal: Art der Zuordnung falsch

So nicht
6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h
So richtig
Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 3, 5, 6 · y: 3, 9, 15, 18. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    So fängst du an:
    Quotienten: 3, 3, 3, 3
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3, 3, 3, 3
    2. Alle gleich → proportional
    Ergebnis:
    ja (Quotient immer 3)
  2. ●11
    Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 3, 4, 6 · y: 6, 9, 12, 18. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3, 3, 3, 3
    2. Alle gleich → proportional
    Ergebnis:
    ja (Quotient immer 3)
  3. ★12
    Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 5, 8, 10 · y: 3, 7,5, 12, 15. Begründe mit dem Quotienten y : x. Gib bei „ja“ die Zuordnungsvorschrift an.
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 1,5, 1,5, 1,5, 1,5
    2. Alle gleich → proportional
    3. Vorschrift: y = 1,5 · x
    Ergebnis:
    ja, y = 1,5 · x

5Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

EntdeckenFrage

Was erzählt die Fieberkurve über die Nacht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Stunde eine Temperatur, als Punkte verbunden: Wo die Kurve steigt, wurde es schlimmer, wo sie fällt, besser – und der höchste Punkt sagt, wann. Einen Graphen lesen heißt: erst die Achsen, dann den Verlauf.

MerkenTabellen und Graphen lesen

In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).

Proportional erkennt man am Ursprung: Nichts kostet nichts.

BeispielProportionale Tabelle ergänzen

Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
kg Bananen12510
Preis3,00 €6,00 €15,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
  2. Lücke: 10 · 3,00 € = 30,00 €
  3. kg Bananen12510
    Preis3,00 €6,00 €15,00 €? 30,00 €
    y : x3333

    In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 10 · 3,00 €.

  1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
  2. Lücke: 10 · 3,00 € = 30,00 €
  3. kg Bananen12510
    Preis3,00 €6,00 €15,00 €? 30,00 €
    y : x3333

    In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 10 · 3,00 €.

Ergebnis:
30,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis2,00 €4,00 €10,00 €?
    So fängst du an:
    Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 10 · 2,00 € = 20,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis2,00 €4,00 €10,00 €? 20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 10 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    20,00 €
  2. ●14
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis3,00 €6,00 €?30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 5 · 3,00 € = 15,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis3,00 €6,00 €? 15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 5 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    15,00 €
  3. ★15
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband23712
    Preis5,00 €?17,50 €30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 2 = 2,50 €
    2. Lücke: 3 · 2,50 € = 7,50 €
    3. m Geschenkband23712
      Preis5,00 €? 7,50 €17,50 €30,00 €
      y : x2,502,502,502,50

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,50 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 3 · 2,50 €.

    Ergebnis:
    7,50 €

6Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum geht der Graph einer proportionalen Zuordnung immer durch den Nullpunkt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil null Stück null Euro kosten. Proportional heißt: doppelt so viel kostet doppelt so viel – und das gibt eine Gerade, die im Ursprung beginnt. Ein Graph mit Grundgebühr beginnt höher und ist nicht proportional.

MerkenGraph zeichnen

Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.

Zwei Punkte reichen, der dritte ist Kontrolle.

BeispielGraph einer proportionalen Zuordnung zeichnen

Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 2 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
  2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
  3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
  1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
  2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
  3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)

AchtungKehrwert der Steigung: Breite und Höhe vertauscht

So nicht
m = 3: 3 nach rechts, 1 hoch
So richtig
m = 3: 1 nach rechts, 3 hoch

Geh zuerst eins nach rechts. Geh dann so viel hoch, wie die Steigung sagt.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 3 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    So fängst du an:
    Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 3), (2 | 6), (4 | 12)
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 3), (2 | 6), (4 | 12)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
  2. ●17
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 0,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 0,5), (2 | 1), (4 | 2)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 2)
  3. ★18
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 2,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2,5), (2 | 5), (4 | 10)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 10)

7Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

EntdeckenFrage

Ist die große Packung wirklich billiger?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht immer – deshalb muss im Laden der Grundpreis stehen: Preis je 100 g oder je Liter. Der Grundpreis ist der Dreisatz auf 1 heruntergerechnet, damit man vergleichen kann.

MerkenDreisatz

Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.

Einheiten mitschreiben.

BeispielProportionaler Dreisatz

Ein Wasserhahn füllt in 5 Minuten 60 Liter in die Wanne. Wie lange dauert es, bis 72 Liter drin sind?
246204060800proportional05 Minuten | 60? | 72
Schritt für Schritt
  1. MinutenLiter
  2. 5 Minuten→60 Liter
  3. ↓ : 5↓ : 5
  4. 1 Minute→60 Liter : 5 = 12 Liter
  5. ↓ · 6↓ · 672 Liter : 12 Liter = 6
  6. 6 Minuten→72 Liter
  1. MinutenLiter
  2. 5 Minuten→60 Liter
  3. ↓ : 5↓ : 5
  4. 1 Minute→60 Liter : 5 = 12 Liter
  5. ↓ · 6↓ · 672 Liter : 12 Liter = 6
  6. 6 Minuten→72 Liter
Ergebnis:
6 Minuten

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
Eine Playlist mit 5 Songs läuft 20 Minuten. Wie lange laufen 8 Songs → 12,5
So richtig
Eine Playlist mit 5 Songs läuft 20 Minuten. Wie lange laufen 8 Songs → 32 Minuten

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Playlist mit 5 Songs läuft 20 Minuten. Wie lange laufen 8 Songs?
    So fängst du an:
    SongsMinuten
    Lösung zeigen
    1. SongsMinuten
    2. 5 Songs→20 Minuten
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Song→20 Minuten : 5 = 4 Minuten
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 Songs→4 Minuten · 8 = 32 Minuten
    Ergebnis:
    32 Minuten
  2. ●20
    4 kg Äpfel kosten 10,00 €. Was kosten 10 kg Äpfel?
    Lösung zeigen
    1. kg Äpfel€
    2. 4 kg Äpfel→10,00 €
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 kg Äpfel→10,00 € : 4 = 2,50 €
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 kg Äpfel→2,50 € · 10 = 25,00 €
    Ergebnis:
    25,00 €
  3. ★21
    Am Pausenkiosk kosten 3 belegte Brötchen zusammen 6,00 €. Wie viele Brötchen bekommst du für 18,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Brötchen€
    2. 3 belegte Brötchen→6,00 €
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 belegtes Brötchen→6,00 € : 3 = 2,00 €
    5. ↓ · 9↓ · 918,00 € : 2,00 € = 9
    6. 9 belegte Brötchen→18,00 €
    Ergebnis:
    9 belegte Brötchen

8Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

EntdeckenFrage

Vier Pumpen leeren das Becken in 6 Stunden – warum brauchen acht nicht 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil mehr Pumpen weniger Zeit brauchen: 4 · 6 = 24 Pumpenstunden, also 24 : 8 = 3 Stunden. Beim antiproportionalen Dreisatz geht man über das Produkt, nicht über den Quotienten.

MerkenAntiproportionaler Dreisatz

Mehr Arbeiter, weniger Zeit.

Auf 1 wird mal gerechnet, auf viele geteilt – andersherum als beim proportionalen Dreisatz.

BeispielAntiproportionaler Dreisatz: die Anzahl ist gesucht

8 Pumpen leeren das Becken im Freibad in 3 Stunden. Wie viele Pumpen sind nötig, damit es in 2 Stunden geschafft ist?
gleich viel Arbeit8 Pumpen3 Stunden?2 Stunden
Schritt für Schritt
  1. Das Produkt bleibt gleich: 8 · 3 = 24
  2. Bei 2 Stunden: 24 : 2 = 12
  3. Antwort: 12 Pumpen
  1. Das Produkt bleibt gleich: 8 · 3 = 24
  2. Bei 2 Stunden: 24 : 2 = 12
  3. Antwort: 12 Pumpen
Ergebnis:
12 Pumpen

AchtungNoch einmal: Dreisatz-Richtung vertauscht

So nicht
antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12
So richtig
antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    8 Bagger heben die Baugrube auf dem Grundstück in 6 Tagen aus. Wie viele Bagger sind nötig, damit es in 4 Tagen geschafft ist?
    gleich viel Arbeit8 Bagger6 Tagen?4 Tagen
    So fängst du an:
    Das Produkt bleibt gleich: 8 · 6 = 48
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 8 · 6 = 48
    2. Bei 4 Tagen: 48 : 4 = 12
    3. Antwort: 12 Bagger
    Ergebnis:
    12 Bagger
  2. ●23
    8 Personen streichen den Zaun um den Schulhof in 6 Stunden. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 4 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit8 Personen6 Stunden?4 Stunden
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 8 · 6 = 48
    2. Bei 4 Stunden: 48 : 4 = 12
    3. Antwort: 12 Personen
    Ergebnis:
    12 Personen
  3. ★24
    8 Pumpen leeren das Becken im Freibad in 6 Stunden. Wie viele Pumpen müssen zusätzlich anpacken, damit es in 4 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit8 Pumpen6 Stunden?4 Stunden
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 8 · 6 = 48
    2. Nötig für 4 Stunden: 48 : 4 = 12
    3. Zusätzlich: 12 − 8 = 4, also 4 Pumpen mehr
    Ergebnis:
    4 Pumpen zusätzlich

9Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum schwimmt ein Schiff aus Stahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Dichte ist Masse durch Volumen. Stahl hat 7,85 g je cm³ – aber das Schiff ist innen voller Luft, und im Durchschnitt ist es leichter als Wasser (1 g je cm³). Es schwimmt, weil der Quotient stimmt, nicht das Material.

MerkenGeschwindigkeit und Dichte

Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).

Dichte = Masse : Volumen (g/cm³). Beides sind Proportionalitätsfaktoren.

BeispielGeschwindigkeit, Weg, Zeit

Ein Radfahrer legt 24 m in 12 s zurück. Wie schnell fährt er?
Schritt für Schritt
  1. v = s : t
  2. v = 24 m : 12 s
  3. v = 2 m/s
  1. v = s : t
  2. v = 24 m : 12 s
  3. v = 2 m/s
Ergebnis:
2 m/s

AchtungZwischenergebnis als Antwort

So nicht
Ein Auto fährt mit 36 km/h. Welchen Weg legt es in 20 s zurück → 10 m
So richtig
Ein Auto fährt mit 36 km/h. Welchen Weg legt es in 20 s zurück → 200 m

Das ist ein Zwischenergebnis. Lies die Frage noch einmal – was ist am Ende gesucht?

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Ein Radfahrer legt 50 m in 10 s zurück. Wie schnell fährt er?
    So fängst du an:
    v = s : t
    Lösung zeigen
    1. v = s : t
    2. v = 50 m : 10 s
    3. v = 5 m/s
    Ergebnis:
    5 m/s
  2. ●26
    Ein Radfahrer legt 150 m in 10 s zurück. Wie schnell fährt er?
    Lösung zeigen
    1. v = s : t
    2. v = 150 m : 10 s
    3. v = 15 m/s
    Ergebnis:
    15 m/s
  3. ★27
    Ein Auto fährt mit 36 km/h. Welchen Weg legt es in 20 s zurück?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: 36 km/h : 3,6 = 10 m/s
    2. s = v · t = 10 · 20
    3. s = 200 m
    Ergebnis:
    200 m

10Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

EntdeckenFrage

Tarif A: 10 € Grundgebühr und 5 Cent je Minute, Tarif B: 25 Cent je Minute – ab wann lohnt sich A?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ab 50 Minuten: 10 + 0,05 · 50 = 12,50 € und 0,25 · 50 = 12,50 €. Darunter ist B billiger, darüber A. Angebote vergleichen heißt: den Schnittpunkt finden.

MerkenAngebote vergleichen

Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Dann vergleichen. Die Begründung nennt Zahl und Einheit.

BeispielAngebote vergleichen und begründen

Reis gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 750 g für 1,65 €
Packung B: 1200 g für 2,32 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
Schritt für Schritt
  1. Packung A: 1,65 € : 750 = 0,00 € je g
  2. je 100 g: 0,22 €
  3. Packung B: 2,32 € : 1200 = 0,00 € je g
  4. je 100 g: 0,19 €
  5. 0,22 € > 0,19 €
  6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,03 € je 100 g.
  1. Packung A: 1,65 € : 750 = 0,00 € je g
  2. je 100 g: 0,22 €
  3. Packung B: 2,32 € : 1200 = 0,00 € je g
  4. je 100 g: 0,19 €
  5. 0,22 € > 0,19 €
  6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,03 € je 100 g.
Ergebnis:
Packung B (0,19 € je 100 g)

AchtungEinheit vergessen

So nicht
1,20 · 7 = 8,40
So richtig
1,20 €/kg · 7 kg = 8,40 €
Antwort: 7 kg kosten 8,40 €.

Ergebnis immer mit Einheit und Antwortsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Druckerpapier gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 250 Blatt für 3,00 €
    Packung B: 400 Blatt für 4,08 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    So fängst du an:
    Packung A: 3,00 € : 250 = 0,01 € je Blatt
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 3,00 € : 250 = 0,01 € je Blatt
    2. je Blatt: 0,01 €
    3. Packung B: 4,08 € : 400 = 0,01 € je Blatt
    4. je Blatt: 0,01 €
    5. 0,01 € > 0,01 €
    6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,00 € je Blatt.
    Ergebnis:
    Packung B (0,01 € je Blatt)
  2. ●29
    Druckerpapier gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 250 Blatt für 3,00 €
    Packung B: 400 Blatt für 5,18 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 3,00 € : 250 = 0,01 € je Blatt
    2. je Blatt: 0,01 €
    3. Packung B: 5,18 € : 400 = 0,01 € je Blatt
    4. je Blatt: 0,01 €
    5. 0,01 € < 0,01 €
    6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,00 € je Blatt.
    Ergebnis:
    Packung A (0,01 € je Blatt)
  3. ★30
    Waschmittel gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 18 Waschladungen für 3,78 €
    Packung B: 24 Waschladungen für 4,54 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
    2. je Ladung: 0,21 €
    3. Packung B: 4,54 € : 24 = 0,19 € je Waschladunge
    4. je Ladung: 0,19 €
    5. 0,21 € > 0,19 €
    6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,02 € je Ladung.
    Ergebnis:
    Packung B (0,19 € je Ladung)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●31
    5 Liter Benzin kosten 9,75 €. Was kosten 8 Liter Benzin?
    Lösung zeigen
    1. Liter Benzin€
    2. 5 Liter Benzin→9,75 €
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Liter Benzin→9,75 € : 5 = 1,95 €
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 Liter Benzin→1,95 € · 8 = 15,60 €
    Ergebnis:
    15,60 €
  2. ●32
    Zum Auswärtsspiel fahren 2 Mitfahrer zusammen im Auto, jeder zahlt 18,00 € für den Sprit. Wie viel zahlt jeder, wenn 4 Mitfahrer mitfahren?
    Lösung zeigen
    1. Mitfahrer€
    2. 2 Mitfahrer→18,00 €
    3. ↓ : 2↓ · 2
    4. 1 Person→18,00 € · 2 = 36,00 €
    5. ↓ · 4↓ : 4
    6. 4 Mitfahrer→36,00 € : 4 = 9,00 €
    Ergebnis:
    9,00 €
  3. ●33
    Wasser läuft gleichmäßig in eine Wanne: x ist die Zeit in Minuten, y das Wasser in Litern. Die Zuordnung ist proportional.
    x246
    y81624
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 36 gehört.
    Lösung zeigen
    1. x2469
      y81624? 36
      y : x4444

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4.

    2. x = y : k = 36 : 4 = 9
    Ergebnis:
    k = 4; x = 9
  4. ●34
    Entscheide und begründe: Dateigröße → Zeit für den Download bei gleicher Geschwindigkeit – proportional, antiproportional oder weder noch?
    Lösung zeigen
    1. Doppelt so viel → doppelt so viel; y : x bleibt gleich
    2. Antwort: proportional
    Ergebnis:
    proportional
  5. ●35
    Ein neues Smartphone kostet mit 256 GB 999,00 € und mit 512 GB 1.199,00 €.
    Jemand rechnet: „Doppelter Speicher, also doppelter Preis – 1.998,00 €.“
    Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Dreisatz wären es 999,00 € · 2 = 1.998,00 €.
    2. Tatsächlich: 1.199,00 € − 999,00 € = 200,00 € Aufpreis.
    3. Der Preis wächst nicht mit dem Speicher – die Zuordnung ist nicht proportional.
    Ergebnis:
    Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
  6. ●36
    Ein Smartphone kostet mit 256 GB Speicher 999,00 €, mit 512 GB Speicher 1.199,00 €.
    Berechne für beide Geräte den Preis je Gigabyte. Was fällt auf?
    Lösung zeigen
    1. Kleines Gerät: 999,00 € : 256 = 3,90 € je Gigabyte
    2. Großes Gerät: 1.199,00 € : 512 = 2,34 € je Gigabyte
    3. Die beiden Werte sind verschieden – bei einer proportionalen Zuordnung wären sie gleich.
    Ergebnis:
    3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Proportional
Doppelte Menge → doppelter Preis.
Proportionalitätsfaktor
k = y : x ist der Preis für eine Einheit.
Antiproportional
Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.
Proportional, antiproportional oder keins von beiden
Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.
Tabellen und Graphen lesen
In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).
Graph zeichnen
Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.
Dreisatz
Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.
Antiproportionaler Dreisatz
Mehr Arbeiter, weniger Zeit.
Geschwindigkeit und Dichte
Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).
Angebote vergleichen
Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

    37
    In 4 Sekunden sind 48 MB eines Updates geladen. Wie viel ist nach 10 Sekunden geladen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    120 MB

  2. Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

    38
    In jeder Packung stecken gleich viele Stifte: x ist die Zahl der Packungen, y die Zahl der Stifte. Die Zuordnung ist proportional.
    x3612
    y244896
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 72 gehört.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    k = 8; x = 9

  3. Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

    39
    Ein Vorrat wird auf 5 Kisten verteilt, in jede kommen 48 Flaschen. Wie viele Flaschen sind es je Kiste bei 4 Kisten?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60 Flaschen

  4. Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

    40
    Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 2, 4, 5 · y: 5, 10, 22, 25. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  5. Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

    41
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis1,50 €?7,50 €15,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,00 €

  6. Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

    42
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 1,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 6)

  7. Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

    43
    3 Döner kosten zusammen 19,50 €. Wie viele Döner bekommt man für 39,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Döner

  8. Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

    44
    4 Personen streichen den Zaun um den Schulhof in 6 Stunden. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 4 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit4 Personen6 Stunden?4 Stunden
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Personen

  9. Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

    45
    Ein Radfahrer legt 25 m in 5 s zurück. Wie schnell fährt er?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 m/s

  10. Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

    46
    Katzenfutter gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 12 Dosen für 10,68 €
    Packung B: 15 Dosen für 15,35 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Packung A (0,89 € je Dose)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Proportionalität erkennen: der Quotient bleibt gleich.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Rezept für 6 statt 4, Tanken, Handyvertrag. Beruf: Einkauf, Gastronomie, Pflege (Infusion pro Stunde).

Wörter

Antiproportional
doppelt so viel hier, halb so viel dort
Dreisatz
erst auf eins herunter, dann hoch
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Proportional
doppelt so viel hier, doppelt so viel dort
Quotient
was herauskommt, wenn man teilt
Volumen
wie viel hineinpasst
Zuordnung
zu jedem Wert gehört genau ein anderer

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Anteile und Verhältnisse, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zusammenhänge und Graphen, Größen im Beruf, Prozentrechnung, Lineare Funktionen, Ähnlichkeit und Strahlensätze

Lösungen

  1. 9 %
  2. 30 Minuten
  3. 770 km
  4. k = 4; y = 36
  5. k = 10; y = 90
  6. k = 1,5; y = 13,5
  7. 3,00 €
  8. 24 Stück
  9. 12 Stück
  10. ja (Quotient immer 3)
  11. ja (Quotient immer 3)
  12. ja, y = 1,5 · x
  13. 20,00 €
  14. 15,00 €
  15. 7,50 €
  16. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
  17. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 2)
  18. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 10)
  19. 32 Minuten
  20. 25,00 €
  21. 9 belegte Brötchen
  22. 12 Bagger
  23. 12 Personen
  24. 4 Pumpen zusätzlich
  25. 5 m/s
  26. 15 m/s
  27. 200 m
  28. Packung B (0,01 € je Blatt)
  29. Packung A (0,01 € je Blatt)
  30. Packung B (0,19 € je Ladung)
  31. 15,60 €
  32. 9,00 €
  33. k = 4; x = 9
  34. proportional
  35. Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
  36. 3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.
  37. 120 MB
  38. k = 8; x = 9
  39. 60 Flaschen
  40. nein
  41. 3,00 €
  42. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 6)
  43. 6 Döner
  44. 6 Personen
  45. 5 m/s
  46. Packung A (0,89 € je Dose)
  47. 100 l
  48. 18 < 37