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Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

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Zuordnungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit bloßem Auge wirken alle vier ähnlich. Bei einer Tabelle stimmt das Verdoppeln, bei einer anderen nur einmal. Die Klasse braucht eine Prüfung, die immer geht. Preis geteilt durch Menge – ist der Wert in jeder Zeile gleich, ist es proportional. Ein Quotient, keine Diskussion.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Je mehr von der einen Größe, desto mehr von der anderen – und zwar im selben Verhältnis.

  1. ●47
    Berechne 34 von 20 kg.
    Lösung zeigen
    1. 20 : 4 = 5
    2. 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 kg
  2. ●48
    Welcher Bruch ist größer: 14 oder 19? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 936 und 436
    2. 14 > 19
    Ergebnis:
    14 > 19

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZwei Größen, die zusammengehören

Bei einer Zuordnung gehört zu jedem Wert der einen Größe genau ein Wert der anderen. Die Frage ist immer dieselbe: Wenn die eine sich verdoppelt – was macht die andere?

Zwei Graphen: Gerade durch den Ursprung, doppelt wird doppelt; Hyperbel, doppelt wird halbxydoppelt → doppeltproportionaldoppelt → halbantiproportional

WeiterdenkenDenk nach

Doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel. Doppelt so viele Maler brauchen doppelt so lange? Was ist der Unterschied?

1Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

EntdeckenFrage

Das Rezept ist für 4 Personen – wie viel brauchst du für 6?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Über die 1: alles durch 4, dann mal 6 – also mal 1,5. 200 g Mehl werden 300 g. Das ist der Dreisatz: erst auf eins herunter, dann hoch.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenProportional

Doppelte Menge → doppelter Preis.

Der Quotient y : x ist immer gleich. Dreisatz: erst auf 1 herunter, dann hoch.

Eselsbrücke: Dreisatz: erst auf EINS zurück, dann auf die gesuchte Anzahl

BeispielProportionaler Dreisatz

In 2 Minuten lädt ein Handyakku 3 % auf. Wie lange dauert es bis 12 %?
246810510150proportional02 Minuten | 3? | 12
Schritt für Schritt
  1. Minuten%
  2. 2 Minuten→3 %
  3. ↓ : 2↓ : 2
  4. 1 Minute→3 % : 2 = 1,5 %
  5. ↓ · 8↓ · 812 % : 1,5 % = 8
  6. 8 Minuten→12 %
  1. Minuten%
  2. 2 Minuten→3 %
  3. ↓ : 2↓ : 2
  4. 1 Minute→3 % : 2 = 1,5 %
  5. ↓ · 8↓ · 812 % : 1,5 % = 8
  6. 8 Minuten→12 %
Ergebnis:
8 Minuten

AchtungDreisatz-Richtung vertauscht

So nicht
antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12
So richtig
antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    3 kg Äpfel kosten 9,60 €. Was kosten 6 kg Äpfel?
    So fängst du an:
    kg Äpfel€
    Lösung zeigen
    1. kg Äpfel€
    2. 3 kg Äpfel→9,60 €
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 kg Äpfel→9,60 € : 3 = 3,20 €
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 kg Äpfel→3,20 € · 6 = 19,20 €
    Ergebnis:
    19,20 €
  2. ●2
    4 kg Äpfel kosten 10,00 €. Was kosten 10 kg Äpfel?
    Lösung zeigen
    1. kg Äpfel€
    2. 4 kg Äpfel→10,00 €
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 kg Äpfel→10,00 € : 4 = 2,50 €
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 kg Äpfel→2,50 € · 10 = 25,00 €
    Ergebnis:
    25,00 €
  3. ★3
    Ein Wasserhahn füllt in 8 Minuten 64 Liter in die Wanne. Jemand sagt: „Dann sind 9 Minuten genau 72 Liter.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. MinutenLiter
    2. 8 Minuten→64 Liter
    3. ↓ : 8↓ : 8
    4. 1 Minute→64 Liter : 8 = 8 Liter
    5. ↓ · 9↓ · 9
    6. 9 Minuten→8 Liter · 9 = 72 Liter
    Ergebnis:
    Ja – 72 Liter stimmt.

2Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

EntdeckenFrage

8 Cent je Minute – woran erkennt man das in einer Tabelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Am Quotienten: Preis geteilt durch Minuten ist immer 0,08. Diese Zahl ist der Proportionalitätsfaktor; mit ihm rechnet man jede Minute aus – Faktor mal Minuten.

MerkenProportionalitätsfaktor

k = y : x ist der Preis für eine Einheit.

Mit y = k · x kann man jeden Wert direkt berechnen.

Eselsbrücke: Proportional: „Doppelt so viel kostet doppelt so viel“ – Ursprungsgerade

BeispielProportionalitätsfaktor

Die Zuordnung ist proportional.
x3612
y244896
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
Schritt für Schritt
  1. x36129
    y244896? 72
    y : x8888

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 8.

  2. y(9) = 8 · 9 = 72
  1. x36129
    y244896? 72
    y : x8888

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 8.

  2. y(9) = 8 · 9 = 72
Ergebnis:
k = 8; y = 72

AchtungArt der Zuordnung falsch

So nicht
6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h
So richtig
Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Zuordnung ist proportional.
    x246
    y61218
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    So fängst du an:
    x2469
    y61218? 27
    y : x3333

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 3.

    Lösung zeigen
    1. x2469
      y61218? 27
      y : x3333

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 3.

    2. y(9) = 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    k = 3; y = 27
  2. ●5
    Die Zuordnung ist proportional.
    x246
    y81624
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x2469
      y81624? 36
      y : x4444

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4.

    2. y(9) = 4 · 9 = 36
    Ergebnis:
    k = 4; y = 36
  3. ★6
    Die Zuordnung ist proportional.
    x124
    y0,250,51
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x1249
      y0,250,51? 2,25
      y : x0,250,250,250,25

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 0,25.

    2. y(9) = 0,25 · 9 = 2,25
    Ergebnis:
    k = 0,25; y = 2,25

3Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

EntdeckenFrage

Fünf Freunde teilen eine Pizza – wie viel mehr bekommt jeder, wenn einer absagt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Viertel statt ein Fünftel – 25 % statt 20 %. Mehr Leute, kleinerer Anteil: Personen mal Anteil bleibt immer eine ganze Pizza. Das ist antiproportional.

MerkenAntiproportional

Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.

Das Produkt x · y ist immer gleich (die Gesamtgröße).

Eselsbrücke: Antiproportional: „Doppelt so viele Arbeiter, halb so lange“ – Produkt bleibt gleich

BeispielAntiproportionaler Dreisatz

Ein Vorrat wird auf 6 Kisten verteilt, in jede kommen 40 Flaschen. Wie viele Flaschen sind es je Kiste bei 4 Kisten?
6 Kisten40 Flaschen4 Kisten?gleiche Fläche: x · y bleibt gleich
Schritt für Schritt
  1. KistenFlaschen
  2. 6 Kisten→40 Flaschen
  3. ↓ : 6↓ · 6
  4. 1 Kiste→40 Flaschen · 6 = 240 Flaschen
  5. ↓ · 4↓ : 4
  6. 4 Kisten→240 Flaschen : 4 = 60 Flaschen
  1. KistenFlaschen
  2. 6 Kisten→40 Flaschen
  3. ↓ : 6↓ · 6
  4. 1 Kiste→40 Flaschen · 6 = 240 Flaschen
  5. ↓ · 4↓ : 4
  6. 4 Kisten→240 Flaschen : 4 = 60 Flaschen
Ergebnis:
60 Flaschen

AchtungProportional statt antiproportional

So nicht
2 Leute 12 h → 4 Leute 24 h
So richtig
2 Leute 12 h → 4 Leute 6 h

Frag dich: Mehr Leute, weniger Zeit? Dann ist es antiproportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wer ein Buch in 6 Tagen lesen will, schafft 30 Seiten am Tag. Wie viele Seiten am Tag sind es, wenn man 5 Tage Zeit hat?
    So fängst du an:
    TageSeiten
    Lösung zeigen
    1. TageSeiten
    2. 6 Tage→30 Seiten
    3. ↓ : 6↓ · 6
    4. 1 Tag→30 Seiten · 6 = 180 Seiten
    5. ↓ · 5↓ : 5
    6. 5 Tage→180 Seiten : 5 = 36 Seiten
    Ergebnis:
    36 Seiten
  2. ●8
    Eine Gruppe fährt mit 4 Bussen, in jedem sitzen 60 Personen. Wie viele sitzen in jedem Bus, wenn es 2 Busse sind?
    Lösung zeigen
    1. BussePersonen
    2. 4 Busse→60 Personen
    3. ↓ : 4↓ · 4
    4. 1 Bus→60 Personen · 4 = 240 Personen
    5. ↓ · 2↓ : 2
    6. 2 Busse→240 Personen : 2 = 120 Personen
    Ergebnis:
    120 Personen
  3. ★9
    Zum Auswärtsspiel fahren 6 Mitfahrer zusammen im Auto, jeder zahlt 6,00 € für den Sprit. Wie viel zahlt jeder, wenn 4 Mitfahrer mitfahren?
    Lösung zeigen
    1. Mitfahrer€
    2. 6 Mitfahrer→6,00 €
    3. ↓ : 6↓ · 6
    4. 1 Person→6,00 € · 6 = 36,00 €
    5. ↓ · 4↓ : 4
    6. 4 Mitfahrer→36,00 € : 4 = 9,00 €
    Ergebnis:
    9,00 €

4Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

EntdeckenFrage

Doppelt so alt – doppelt so groß?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein: Ein Zwölfjähriger ist nicht doppelt so groß wie ein Sechsjähriger. Alter und Größe gehören zusammen, aber weder proportional noch antiproportional – weder noch. Der Test: Wird es doppelt so viel oder halb so viel, wenn ich verdopple?

MerkenProportional, antiproportional oder keins von beiden

Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.

Bleibt x · y gleich → antiproportional. Sonst weder noch (zum Beispiel Alter → Größe).

BeispielProportional? Mit Quotient prüfen

Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 2, 4, 5 · y: 2, 4, 8, 10. Begründe mit dem Quotienten y : x.
Schritt für Schritt
  1. Quotienten: 2, 2, 2, 2
  2. Alle gleich → proportional
  1. Quotienten: 2, 2, 2, 2
  2. Alle gleich → proportional
Ergebnis:
ja (Quotient immer 2)

AchtungNoch einmal: Art der Zuordnung falsch

So nicht
6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h
So richtig
Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 3, 4, 6 · y: 6, 9, 14, 18. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    So fängst du an:
    Quotienten: 3, 3, 3,5, 3
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3, 3, 3,5, 3
    2. Nicht alle gleich → nicht proportional
    Ergebnis:
    nein
  2. ●11
    Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 3, 4, 6 · y: 10, 15, 21, 30. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 5, 5, 5,25, 5
    2. Nicht alle gleich → nicht proportional
    Ergebnis:
    nein
  3. ★12
    Ist die Zuordnung proportional? x: 4, 6, 8, 12 · y: 6, 9, 14, 18. Begründe mit dem Quotienten y : x. Gib bei „ja“ die Zuordnungsvorschrift an.
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 1,5, 1,5, 1,75, 1,5
    2. Nicht alle gleich → nicht proportional
    Ergebnis:
    nein

5Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

EntdeckenFrage

Was erzählt die Fieberkurve über die Nacht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Stunde eine Temperatur, als Punkte verbunden: Wo die Kurve steigt, wurde es schlimmer, wo sie fällt, besser – und der höchste Punkt sagt, wann. Einen Graphen lesen heißt: erst die Achsen, dann den Verlauf.

MerkenTabellen und Graphen lesen

In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).

Proportional erkennt man am Ursprung: Nichts kostet nichts.

BeispielProportionale Tabelle ergänzen

Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
Liter Saft12510
Preis2,00 €?10,00 €20,00 €
Schritt für Schritt
  1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
  2. Lücke: 2 · 2,00 € = 4,00 €
  3. Liter Saft12510
    Preis2,00 €? 4,00 €10,00 €20,00 €
    y : x2222

    In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 2 · 2,00 €.

  1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
  2. Lücke: 2 · 2,00 € = 4,00 €
  3. Liter Saft12510
    Preis2,00 €? 4,00 €10,00 €20,00 €
    y : x2222

    In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 2 · 2,00 €.

Ergebnis:
4,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis3,00 €?15,00 €30,00 €
    So fängst du an:
    Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 2 · 3,00 € = 6,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis3,00 €? 6,00 €15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 2 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    6,00 €
  2. ●14
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis2,00 €?10,00 €20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    3. m Geschenkband12510
      Preis2,00 €? 4,00 €10,00 €20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 2 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    4,00 €
  3. ★15
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft23712
    Preis2,50 €?8,75 €15,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,50 € : 2 = 1,25 €
    2. Lücke: 3 · 1,25 € = 3,75 €
    3. Liter Saft23712
      Preis2,50 €? 3,75 €8,75 €15,00 €
      y : x1,251,251,251,25

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,25 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 3 · 1,25 €.

    Ergebnis:
    3,75 €

6Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum geht der Graph einer proportionalen Zuordnung immer durch den Nullpunkt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil null Stück null Euro kosten. Proportional heißt: doppelt so viel kostet doppelt so viel – und das gibt eine Gerade, die im Ursprung beginnt. Ein Graph mit Grundgebühr beginnt höher und ist nicht proportional.

MerkenGraph zeichnen

Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.

Zwei Punkte reichen, der dritte ist Kontrolle.

BeispielGraph einer proportionalen Zuordnung zeichnen

Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 1,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 1,5), (2 | 3), (4 | 6)
  2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
  3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
  1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 1,5), (2 | 3), (4 | 6)
  2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
  3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 6)

AchtungKehrwert der Steigung: Breite und Höhe vertauscht

So nicht
m = 3: 3 nach rechts, 1 hoch
So richtig
m = 3: 1 nach rechts, 3 hoch

Geh zuerst eins nach rechts. Geh dann so viel hoch, wie die Steigung sagt.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 2 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    So fängst du an:
    Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)
  2. ●17
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 3 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 3), (2 | 6), (4 | 12)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
  3. ★18
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 4 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 4), (2 | 8), (4 | 16)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 16)

7Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

EntdeckenFrage

Ist die große Packung wirklich billiger?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht immer – deshalb muss im Laden der Grundpreis stehen: Preis je 100 g oder je Liter. Der Grundpreis ist der Dreisatz auf 1 heruntergerechnet, damit man vergleichen kann.

MerkenDreisatz

Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.

Einheiten mitschreiben.

BeispielProportionaler Dreisatz

In 3 Minuten lädt ein Handyakku 6 % auf. Wie lange dauert es bis 20 %?
246810125101520250proportional03 Minuten | 6? | 20
Schritt für Schritt
  1. Minuten%
  2. 3 Minuten→6 %
  3. ↓ : 3↓ : 3
  4. 1 Minute→6 % : 3 = 2 %
  5. ↓ · 10↓ · 1020 % : 2 % = 10
  6. 10 Minuten→20 %
  1. Minuten%
  2. 3 Minuten→6 %
  3. ↓ : 3↓ : 3
  4. 1 Minute→6 % : 3 = 2 %
  5. ↓ · 10↓ · 1020 % : 2 % = 10
  6. 10 Minuten→20 %
Ergebnis:
10 Minuten

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
In 3 Minuten lädt ein Handyakku 6 % auf. Wie lange dauert es bis 20 % → 0,9
So richtig
In 3 Minuten lädt ein Handyakku 6 % auf. Wie lange dauert es bis 20 % → 10 Minuten

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Nael verbraucht in 5 Tagen 7,5 GB Datenvolumen. Nach wie vielen Tagen sind 9 GB verbraucht?
    So fängst du an:
    TageGB
    Lösung zeigen
    1. TageGB
    2. 5 Tage→7,5 GB
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Tag→7,5 GB : 5 = 1,5 GB
    5. ↓ · 6↓ · 69 GB : 1,5 GB = 6
    6. 6 Tage→9 GB
    Ergebnis:
    6 Tage
  2. ●20
    Ein Zug fährt in 5 Stunden gleichmäßig 450 km. Wie lange braucht er für 900 km?
    Lösung zeigen
    1. Stundenkm
    2. 5 Stunden→450 km
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Stunde→450 km : 5 = 90 km
    5. ↓ · 10↓ · 10900 km : 90 km = 10
    6. 10 Stunden→900 km
    Ergebnis:
    10 Stunden
  3. ★21
    In der Mensa kosten 8 Mittagessen zusammen 36,00 €. Wie viele Mittagessen bekommt man für 49,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Mittagessen€
    2. 8 Mittagessen→36,00 €
    3. ↓ : 8↓ : 8
    4. 1 Mittagessen→36,00 € : 8 = 4,50 €
    5. ↓ · 11↓ · 1149,50 € : 4,50 € = 11
    6. 11 Mittagessen→49,50 €
    Ergebnis:
    11 Mittagessen

8Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

EntdeckenFrage

Vier Pumpen leeren das Becken in 6 Stunden – warum brauchen acht nicht 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil mehr Pumpen weniger Zeit brauchen: 4 · 6 = 24 Pumpenstunden, also 24 : 8 = 3 Stunden. Beim antiproportionalen Dreisatz geht man über das Produkt, nicht über den Quotienten.

MerkenAntiproportionaler Dreisatz

Mehr Arbeiter, weniger Zeit.

Auf 1 wird mal gerechnet, auf viele geteilt – andersherum als beim proportionalen Dreisatz.

BeispielAntiproportionaler Dreisatz: die Anzahl ist gesucht

9 Personen stellen die Stühle im Zelt in 4 Minuten auf. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 3 Minuten geschafft ist?
gleich viel Arbeit9 Personen4 Minuten?3 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Das Produkt bleibt gleich: 9 · 4 = 36
  2. Bei 3 Minuten: 36 : 3 = 12
  3. Antwort: 12 Personen
  1. Das Produkt bleibt gleich: 9 · 4 = 36
  2. Bei 3 Minuten: 36 : 3 = 12
  3. Antwort: 12 Personen
Ergebnis:
12 Personen

AchtungNoch einmal: Dreisatz-Richtung vertauscht

So nicht
antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12
So richtig
antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    8 Pumpen leeren das Becken im Freibad in 6 Stunden. Wie viele Pumpen sind nötig, damit es in 4 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit8 Pumpen6 Stunden?4 Stunden
    So fängst du an:
    Das Produkt bleibt gleich: 8 · 6 = 48
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 8 · 6 = 48
    2. Bei 4 Stunden: 48 : 4 = 12
    3. Antwort: 12 Pumpen
    Ergebnis:
    12 Pumpen
  2. ●23
    4 Personen streichen den Zaun um den Schulhof in 6 Stunden. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 4 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit4 Personen6 Stunden?4 Stunden
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 4 · 6 = 24
    2. Bei 4 Stunden: 24 : 4 = 6
    3. Antwort: 6 Personen
    Ergebnis:
    6 Personen
  3. ★24
    5 Pumpen leeren das Becken im Freibad in 12 Stunden. Wie viele Pumpen müssen zusätzlich anpacken, damit es in 10 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit5 Pumpen12 Stunden?10 Stunden
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 5 · 12 = 60
    2. Nötig für 10 Stunden: 60 : 10 = 6
    3. Zusätzlich: 6 − 5 = 1, also 1 Pumpen mehr
    Ergebnis:
    1 Pumpen zusätzlich

9Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum schwimmt ein Schiff aus Stahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Dichte ist Masse durch Volumen. Stahl hat 7,85 g je cm³ – aber das Schiff ist innen voller Luft, und im Durchschnitt ist es leichter als Wasser (1 g je cm³). Es schwimmt, weil der Quotient stimmt, nicht das Material.

MerkenGeschwindigkeit und Dichte

Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).

Dichte = Masse : Volumen (g/cm³). Beides sind Proportionalitätsfaktoren.

BeispielGeschwindigkeit, Weg, Zeit

Ein Radfahrer legt 96 m in 12 s zurück. Wie schnell fährt er?
Schritt für Schritt
  1. v = s : t
  2. v = 96 m : 12 s
  3. v = 8 m/s
  1. v = s : t
  2. v = 96 m : 12 s
  3. v = 8 m/s
Ergebnis:
8 m/s

AchtungRest als Kommastelle geschrieben

So nicht
39 : 4 = 9 Rest 3 = 9,3
So richtig
39 : 4 = 9,75

Teile den Rest weiter. Schreib dafür eine 0 dazu.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Ein Radfahrer legt 80 m in 10 s zurück. Wie schnell fährt er?
    So fängst du an:
    v = s : t
    Lösung zeigen
    1. v = s : t
    2. v = 80 m : 10 s
    3. v = 8 m/s
    Ergebnis:
    8 m/s
  2. ●26
    Ein Radfahrer legt 60 m in 12 s zurück. Wie schnell fährt er?
    Lösung zeigen
    1. v = s : t
    2. v = 60 m : 12 s
    3. v = 5 m/s
    Ergebnis:
    5 m/s
  3. ★27
    Ein Auto fährt mit 54 km/h. Welchen Weg legt es in 30 s zurück?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: 54 km/h : 3,6 = 15 m/s
    2. s = v · t = 15 · 30
    3. s = 450 m
    Ergebnis:
    450 m

10Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

EntdeckenFrage

Tarif A: 10 € Grundgebühr und 5 Cent je Minute, Tarif B: 25 Cent je Minute – ab wann lohnt sich A?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ab 50 Minuten: 10 + 0,05 · 50 = 12,50 € und 0,25 · 50 = 12,50 €. Darunter ist B billiger, darüber A. Angebote vergleichen heißt: den Schnittpunkt finden.

MerkenAngebote vergleichen

Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Dann vergleichen. Die Begründung nennt Zahl und Einheit.

BeispielAngebote vergleichen und begründen

Waschmittel gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 18 Waschladungen für 3,78 €
Packung B: 24 Waschladungen für 5,64 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
Schritt für Schritt
  1. Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
  2. je Ladung: 0,21 €
  3. Packung B: 5,64 € : 24 = 0,24 € je Waschladunge
  4. je Ladung: 0,24 €
  5. 0,21 € < 0,24 €
  6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,02 € je Ladung.
  1. Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
  2. je Ladung: 0,21 €
  3. Packung B: 5,64 € : 24 = 0,24 € je Waschladunge
  4. je Ladung: 0,24 €
  5. 0,21 € < 0,24 €
  6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,02 € je Ladung.
Ergebnis:
Packung A (0,21 € je Ladung)

AchtungEinheit vergessen

So nicht
1,20 · 7 = 8,40
So richtig
1,20 €/kg · 7 kg = 8,40 €
Antwort: 7 kg kosten 8,40 €.

Ergebnis immer mit Einheit und Antwortsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Katzenfutter gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 12 Dosen für 10,68 €
    Packung B: 15 Dosen für 11,35 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    So fängst du an:
    Packung A: 10,68 € : 12 = 0,89 € je Dose
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 10,68 € : 12 = 0,89 € je Dose
    2. je Dose: 0,89 €
    3. Packung B: 11,35 € : 15 = 0,76 € je Dose
    4. je Dose: 0,76 €
    5. 0,89 € > 0,76 €
    6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,13 € je Dose.
    Ergebnis:
    Packung B (0,76 € je Dose)
  2. ●29
    Katzenfutter gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 12 Dosen für 10,68 €
    Packung B: 15 Dosen für 14,95 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 10,68 € : 12 = 0,89 € je Dose
    2. je Dose: 0,89 €
    3. Packung B: 14,95 € : 15 = 1,00 € je Dose
    4. je Dose: 1,00 €
    5. 0,89 € < 1,00 €
    6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,11 € je Dose.
    Ergebnis:
    Packung A (0,89 € je Dose)
  3. ★30
    Druckerpapier gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 250 Blatt für 3,00 €
    Packung B: 400 Blatt für 5,18 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 3,00 € : 250 = 0,01 € je Blatt
    2. je Blatt: 0,01 €
    3. Packung B: 5,18 € : 400 = 0,01 € je Blatt
    4. je Blatt: 0,01 €
    5. 0,01 € < 0,01 €
    6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,00 € je Blatt.
    Ergebnis:
    Packung A (0,01 € je Blatt)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●31
    2 Liter Benzin kosten 3,44 €. Was kosten 10 Liter Benzin?
    Lösung zeigen
    1. Liter Benzin€
    2. 2 Liter Benzin→3,44 €
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Liter Benzin→3,44 € : 2 = 1,72 €
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Liter Benzin→1,72 € · 10 = 17,20 €
    Ergebnis:
    17,20 €
  2. ●32
    Eine Gruppe fährt mit 3 Bussen, in jedem sitzen 60 Personen. Wie viele sitzen in jedem Bus, wenn es 5 Busse sind?
    Lösung zeigen
    1. BussePersonen
    2. 3 Busse→60 Personen
    3. ↓ : 3↓ · 3
    4. 1 Bus→60 Personen · 3 = 180 Personen
    5. ↓ · 5↓ : 5
    6. 5 Busse→180 Personen : 5 = 36 Personen
    Ergebnis:
    36 Personen
  3. ●33
    Die Zuordnung ist proportional.
    x3612
    y3060120
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x36129
      y3060120? 90
      y : x10101010

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 10.

    2. y(9) = 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    k = 10; y = 90
  4. ●34
    Entscheide und begründe: Anzahl Tore einer Mannschaft → Punkte in der Tabelle – proportional, antiproportional oder weder noch?
    Lösung zeigen
    1. Doppelt so viel → die zweite Größe ändert sich unregelmäßig
    2. Antwort: weder noch
    Ergebnis:
    weder noch
  5. ●35
    Ein neues Smartphone kostet mit 256 GB 999,00 € und mit 512 GB 1.199,00 €.
    Jemand rechnet: „Doppelter Speicher, also doppelter Preis – 1.998,00 €.“
    Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Dreisatz wären es 999,00 € · 2 = 1.998,00 €.
    2. Tatsächlich: 1.199,00 € − 999,00 € = 200,00 € Aufpreis.
    3. Der Preis wächst nicht mit dem Speicher – die Zuordnung ist nicht proportional.
    Ergebnis:
    Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
  6. ●36
    Ein Smartphone kostet mit 256 GB Speicher 999,00 €, mit 512 GB Speicher 1.199,00 €.
    Berechne für beide Geräte den Preis je Gigabyte. Was fällt auf?
    Lösung zeigen
    1. Kleines Gerät: 999,00 € : 256 = 3,90 € je Gigabyte
    2. Großes Gerät: 1.199,00 € : 512 = 2,34 € je Gigabyte
    3. Die beiden Werte sind verschieden – bei einer proportionalen Zuordnung wären sie gleich.
    Ergebnis:
    3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Proportional
Doppelte Menge → doppelter Preis.
Proportionalitätsfaktor
k = y : x ist der Preis für eine Einheit.
Antiproportional
Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.
Proportional, antiproportional oder keins von beiden
Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.
Tabellen und Graphen lesen
In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).
Graph zeichnen
Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.
Dreisatz
Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.
Antiproportionaler Dreisatz
Mehr Arbeiter, weniger Zeit.
Geschwindigkeit und Dichte
Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).
Angebote vergleichen
Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

    37
    Für 4 Portionen Pfannkuchen braucht man 360 g Mehl. Für wie viele Portionen reichen 900 g Mehl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Portionen

  2. Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

    38
    Die Zuordnung ist proportional.
    x246
    y244872
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    k = 12; y = 108

  3. Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

    39
    Zum Auswärtsspiel fahren 2 Mitfahrer zusammen im Auto, jeder zahlt 30,00 € für den Sprit. Wie viel zahlt jeder, wenn 3 Mitfahrer mitfahren?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20,00 €

  4. Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

    40
    Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 3, 5, 6 · y: 2, 6, 10, 12. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ja (Quotient immer 2)

  5. Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

    41
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis4,00 €?20,00 €40,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8,00 €

  6. Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

    42
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 3 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)

  7. Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

    43
    3 Liter Benzin kosten 5,16 €. Was kosten 8 Liter Benzin?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13,76 €

  8. Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

    44
    6 Pumpen leeren das Becken im Freibad in 8 Stunden. Wie viele Pumpen sind nötig, damit es in 6 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit6 Pumpen8 Stunden?6 Stunden
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Pumpen

  9. Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

    45
    Ein Radfahrer legt 40 m in 10 s zurück. Wie schnell fährt er?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 m/s

  10. Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

    46
    Katzenfutter gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 12 Dosen für 10,68 €
    Packung B: 15 Dosen für 11,35 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Packung B (0,76 € je Dose)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Proportionalität erkennen: der Quotient bleibt gleich.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Rezept für 6 statt 4, Tanken, Handyvertrag. Beruf: Einkauf, Gastronomie, Pflege (Infusion pro Stunde).

Wörter

Antiproportional
doppelt so viel hier, halb so viel dort
Dreisatz
erst auf eins herunter, dann hoch
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Proportional
doppelt so viel hier, doppelt so viel dort
Quotient
was herauskommt, wenn man teilt
Volumen
wie viel hineinpasst
Zuordnung
zu jedem Wert gehört genau ein anderer

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Anteile und Verhältnisse, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zusammenhänge und Graphen, Größen im Beruf, Prozentrechnung, Lineare Funktionen, Ähnlichkeit und Strahlensätze

Lösungen

  1. 19,20 €
  2. 25,00 €
  3. Ja – 72 Liter stimmt.
  4. k = 3; y = 27
  5. k = 4; y = 36
  6. k = 0,25; y = 2,25
  7. 36 Seiten
  8. 120 Personen
  9. 9,00 €
  10. nein
  11. nein
  12. nein
  13. 6,00 €
  14. 4,00 €
  15. 3,75 €
  16. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)
  17. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
  18. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 16)
  19. 6 Tage
  20. 10 Stunden
  21. 11 Mittagessen
  22. 12 Pumpen
  23. 6 Personen
  24. 1 Pumpen zusätzlich
  25. 8 m/s
  26. 5 m/s
  27. 450 m
  28. Packung B (0,76 € je Dose)
  29. Packung A (0,89 € je Dose)
  30. Packung A (0,01 € je Blatt)
  31. 17,20 €
  32. 36 Personen
  33. k = 10; y = 90
  34. weder noch
  35. Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
  36. 3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.
  37. 10 Portionen
  38. k = 12; y = 108
  39. 20,00 €
  40. ja (Quotient immer 2)
  41. 8,00 €
  42. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
  43. 13,76 €
  44. 8 Pumpen
  45. 4 m/s
  46. Packung B (0,76 € je Dose)
  47. 15 kg
  48. 14 > 19