Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zuordnungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit bloßem Auge wirken alle vier ähnlich. Bei einer Tabelle stimmt das Verdoppeln, bei einer anderen nur einmal. Die Klasse braucht eine Prüfung, die immer geht. Preis geteilt durch Menge – ist der Wert in jeder Zeile gleich, ist es proportional. Ein Quotient, keine Diskussion.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Je mehr von der einen Größe, desto mehr von der anderen – und zwar im selben Verhältnis.

  1. ●47
    Berechne 25 von 50 l.
    Lösung zeigen
    1. 50 : 5 = 10
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 l
  2. ●48
    Welcher Bruch ist größer: 39 oder 34? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 1236 und 2736
    2. 39 < 34
    Ergebnis:
    39 < 34

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZwei Größen, die zusammengehören

Bei einer Zuordnung gehört zu jedem Wert der einen Größe genau ein Wert der anderen. Die Frage ist immer dieselbe: Wenn die eine sich verdoppelt – was macht die andere?

Zwei Graphen: Gerade durch den Ursprung, doppelt wird doppelt; Hyperbel, doppelt wird halbxydoppelt → doppeltproportionaldoppelt → halbantiproportional

WeiterdenkenDenk nach

Doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel. Doppelt so viele Maler brauchen doppelt so lange? Was ist der Unterschied?

1Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

EntdeckenFrage

Das Rezept ist für 4 Personen – wie viel brauchst du für 6?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Über die 1: alles durch 4, dann mal 6 – also mal 1,5. 200 g Mehl werden 300 g. Das ist der Dreisatz: erst auf eins herunter, dann hoch.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenProportional

Doppelte Menge → doppelter Preis.

Der Quotient y : x ist immer gleich. Dreisatz: erst auf 1 herunter, dann hoch.

Eselsbrücke: Dreisatz: erst auf EINS zurück, dann auf die gesuchte Anzahl

BeispielProportionaler Dreisatz

In 3 Sekunden sind 60 MB eines Updates geladen. Wie viel ist nach 10 Sekunden geladen?
24681012501001502002500proportional03 Sekunden | 6010 Sekunden | ?
Schritt für Schritt
  1. SekundenMB
  2. 3 Sekunden→60 MB
  3. ↓ : 3↓ : 3
  4. 1 Sekunde→60 MB : 3 = 20 MB
  5. ↓ · 10↓ · 10
  6. 10 Sekunden→20 MB · 10 = 200 MB
  1. SekundenMB
  2. 3 Sekunden→60 MB
  3. ↓ : 3↓ : 3
  4. 1 Sekunde→60 MB : 3 = 20 MB
  5. ↓ · 10↓ · 10
  6. 10 Sekunden→20 MB · 10 = 200 MB
Ergebnis:
200 MB

AchtungDreisatz-Richtung vertauscht

So nicht
antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12
So richtig
antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Nael verbraucht in 5 Tagen 10 GB Datenvolumen. Wie viel sind es nach 10 Tage?
    So fängst du an:
    TageGB
    Lösung zeigen
    1. TageGB
    2. 5 Tage→10 GB
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Tag→10 GB : 5 = 2 GB
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Tage→2 GB · 10 = 20 GB
    Ergebnis:
    20 GB
  2. ●2
    In 5 Sekunden sind 100 MB eines Updates geladen. Wie lange dauern 120 MB?
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 5 Sekunden→100 MB
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Sekunde→100 MB : 5 = 20 MB
    5. ↓ · 6↓ · 6120 MB : 20 MB = 6
    6. 6 Sekunden→120 MB
    Ergebnis:
    6 Sekunden
  3. ★3
    In 6 Sekunden sind 150 MB eines Updates geladen. Jemand sagt: „Dann sind 13 Sekunden genau 260 MB.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 6 Sekunden→150 MB
    3. ↓ : 6↓ : 6
    4. 1 Sekunde→150 MB : 6 = 25 MB
    5. ↓ · 13↓ · 13
    6. 13 Sekunden→25 MB · 13 = 325 MB
    Ergebnis:
    Nein – richtig sind 325 MB.

2Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

EntdeckenFrage

8 Cent je Minute – woran erkennt man das in einer Tabelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Am Quotienten: Preis geteilt durch Minuten ist immer 0,08. Diese Zahl ist der Proportionalitätsfaktor; mit ihm rechnet man jede Minute aus – Faktor mal Minuten.

MerkenProportionalitätsfaktor

k = y : x ist der Preis für eine Einheit.

Mit y = k · x kann man jeden Wert direkt berechnen.

Eselsbrücke: Proportional: „Doppelt so viel kostet doppelt so viel“ – Ursprungsgerade

BeispielProportionalitätsfaktor

Die Zuordnung ist proportional.
x3612
y3060120
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
Schritt für Schritt
  1. x36129
    y3060120? 90
    y : x10101010

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 10.

  2. y(9) = 10 · 9 = 90
  1. x36129
    y3060120? 90
    y : x10101010

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 10.

  2. y(9) = 10 · 9 = 90
Ergebnis:
k = 10; y = 90

AchtungArt der Zuordnung falsch

So nicht
6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h
So richtig
Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Zuordnung ist proportional.
    x3612
    y122448
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    So fängst du an:
    x36129
    y122448? 36
    y : x4444

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4.

    Lösung zeigen
    1. x36129
      y122448? 36
      y : x4444

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4.

    2. y(9) = 4 · 9 = 36
    Ergebnis:
    k = 4; y = 36
  2. ●5
    Die Zuordnung ist proportional.
    x135
    y61830
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x1359
      y61830? 54
      y : x6666

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 6.

    2. y(9) = 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    k = 6; y = 54
  3. ★6
    Die Zuordnung ist proportional.
    x135
    y1,54,57,5
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x1359
      y1,54,57,5? 13,5
      y : x1,501,501,501,50

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 1,5.

    2. y(9) = 1,5 · 9 = 13,5
    Ergebnis:
    k = 1,5; y = 13,5

3Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

EntdeckenFrage

Fünf Freunde teilen eine Pizza – wie viel mehr bekommt jeder, wenn einer absagt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Viertel statt ein Fünftel – 25 % statt 20 %. Mehr Leute, kleinerer Anteil: Personen mal Anteil bleibt immer eine ganze Pizza. Das ist antiproportional.

MerkenAntiproportional

Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.

Das Produkt x · y ist immer gleich (die Gesamtgröße).

Eselsbrücke: Antiproportional: „Doppelt so viele Arbeiter, halb so lange“ – Produkt bleibt gleich

BeispielAntiproportionaler Dreisatz

6 Pumpen leeren ein Becken in 20 min. Wie lange brauchen 3 Pumpen?
6 Pumpen20 min3 Pumpen?gleiche Fläche: x · y bleibt gleich
Schritt für Schritt
  1. Pumpenmin
  2. 6 Pumpen→20 min
  3. ↓ : 6↓ · 6
  4. 1 Pumpe→20 min · 6 = 120 min
  5. ↓ · 3↓ : 3
  6. 3 Pumpen→120 min : 3 = 40 min
  1. Pumpenmin
  2. 6 Pumpen→20 min
  3. ↓ : 6↓ · 6
  4. 1 Pumpe→20 min · 6 = 120 min
  5. ↓ · 3↓ : 3
  6. 3 Pumpen→120 min : 3 = 40 min
Ergebnis:
40 min

AchtungProportional statt antiproportional

So nicht
6 Pumpen leeren ein Becken in 20 min. Wie lange brauchen 3 Pumpen → 10
So richtig
6 Pumpen leeren ein Becken in 20 min. Wie lange brauchen 3 Pumpen → 40 min

Frag dich: Mehr Leute, weniger Zeit? Dann ist es antiproportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Bei 120 km/h dauert die Fahrt 4 h. Wie lange dauert sie bei 80 km/h?
    So fängst du an:
    km/hh
    Lösung zeigen
    1. km/hh
    2. 120 km/h→4 h
    3. ↓ : 120↓ · 120
    4. 1 km/h→4 h · 120 = 480 h
    5. ↓ · 80↓ : 80
    6. 80 km/h→480 h : 80 = 6 h
    Ergebnis:
    6 h
  2. ●8
    Zum Auswärtsspiel fahren 3 Mitfahrer zusammen im Auto, jeder zahlt 16,00 € für den Sprit. Wie viel zahlt jeder, wenn 4 Mitfahrer mitfahren?
    Lösung zeigen
    1. Mitfahrer€
    2. 3 Mitfahrer→16,00 €
    3. ↓ : 3↓ · 3
    4. 1 Person→16,00 € · 3 = 48,00 €
    5. ↓ · 4↓ : 4
    6. 4 Mitfahrer→48,00 € : 4 = 12,00 €
    Ergebnis:
    12,00 €
  3. ★9
    Streamen 3 Geräte gleichzeitig, bleiben je Gerät 16 Mbit/s. Wie viel bleibt je Gerät bei 6 Geräte?
    Lösung zeigen
    1. GeräteMbit/s
    2. 3 Geräte→16 Mbit/s
    3. ↓ : 3↓ · 3
    4. 1 Gerät→16 Mbit/s · 3 = 48 Mbit/s
    5. ↓ · 6↓ : 6
    6. 6 Geräte→48 Mbit/s : 6 = 8 Mbit/s
    Ergebnis:
    8 Mbit/s

4Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

EntdeckenFrage

Doppelt so alt – doppelt so groß?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein: Ein Zwölfjähriger ist nicht doppelt so groß wie ein Sechsjähriger. Alter und Größe gehören zusammen, aber weder proportional noch antiproportional – weder noch. Der Test: Wird es doppelt so viel oder halb so viel, wenn ich verdopple?

MerkenProportional, antiproportional oder keins von beiden

Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.

Bleibt x · y gleich → antiproportional. Sonst weder noch (zum Beispiel Alter → Größe).

BeispielProportional? Mit Quotient prüfen

Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 3, 5, 6 · y: 3, 9, 17, 18. Begründe mit dem Quotienten y : x.
246510152000(1|3)(3|9)(5|17)(6|18)
Schritt für Schritt
  1. Quotienten: 3, 3, 3,4, 3
  2. Nicht alle gleich → nicht proportional
  1. Quotienten: 3, 3, 3,4, 3
  2. Nicht alle gleich → nicht proportional
Ergebnis:
nein

AchtungNoch einmal: Art der Zuordnung falsch

So nicht
6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h
So richtig
Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 3, 4, 6 · y: 6, 9, 13, 18. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    So fängst du an:
    Quotienten: 3, 3, 3,25, 3
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3, 3, 3,25, 3
    2. Nicht alle gleich → nicht proportional
    Ergebnis:
    nein
  2. ●11
    Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 3, 5, 6 · y: 3, 9, 16, 18. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3, 3, 3,2, 3
    2. Nicht alle gleich → nicht proportional
    Ergebnis:
    nein
  3. ★12
    Ist die Zuordnung proportional? x: 4, 6, 8, 12 · y: 14, 21, 28, 42. Begründe mit dem Quotienten y : x. Gib bei „ja“ die Zuordnungsvorschrift an.
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3,5, 3,5, 3,5, 3,5
    2. Alle gleich → proportional
    3. Vorschrift: y = 3,5 · x
    Ergebnis:
    ja, y = 3,5 · x

5Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

EntdeckenFrage

Was erzählt die Fieberkurve über die Nacht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Stunde eine Temperatur, als Punkte verbunden: Wo die Kurve steigt, wurde es schlimmer, wo sie fällt, besser – und der höchste Punkt sagt, wann. Einen Graphen lesen heißt: erst die Achsen, dann den Verlauf.

MerkenTabellen und Graphen lesen

In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).

Proportional erkennt man am Ursprung: Nichts kostet nichts.

BeispielProportionale Tabelle ergänzen

Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
kg Bananen12510
Preis1,50 €3,00 €?15,00 €
Schritt für Schritt
  1. Preis für eine Einheit: 1,50 € : 1 = 1,50 €
  2. Lücke: 5 · 1,50 € = 7,50 €
  3. kg Bananen12510
    Preis1,50 €3,00 €? 7,50 €15,00 €
    y : x1,501,501,501,50

    In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,50 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 5 · 1,50 €.

  1. Preis für eine Einheit: 1,50 € : 1 = 1,50 €
  2. Lücke: 5 · 1,50 € = 7,50 €
  3. kg Bananen12510
    Preis1,50 €3,00 €? 7,50 €15,00 €
    y : x1,501,501,501,50

    In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,50 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 5 · 1,50 €.

Ergebnis:
7,50 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht
80 € minus 25 % = 20 €
So richtig
80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis5,00 €10,00 €25,00 €?
    So fängst du an:
    Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
    2. Lücke: 10 · 5,00 € = 50,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis5,00 €10,00 €25,00 €? 50,00 €
      y : x5555

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 10 · 5,00 €.

    Ergebnis:
    50,00 €
  2. ●14
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis1,50 €3,00 €7,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 1,50 € : 1 = 1,50 €
    2. Lücke: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis1,50 €3,00 €7,50 €? 15,00 €
      y : x1,501,501,501,50

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,50 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 10 · 1,50 €.

    Ergebnis:
    15,00 €
  3. ★15
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband23712
    Preis7,00 €10,50 €24,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 7,00 € : 2 = 3,50 €
    2. Lücke: 12 · 3,50 € = 42,00 €
    3. m Geschenkband23712
      Preis7,00 €10,50 €24,50 €? 42,00 €
      y : x3,503,503,503,50

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,50 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 12 · 3,50 €.

    Ergebnis:
    42,00 €

6Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum geht der Graph einer proportionalen Zuordnung immer durch den Nullpunkt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil null Stück null Euro kosten. Proportional heißt: doppelt so viel kostet doppelt so viel – und das gibt eine Gerade, die im Ursprung beginnt. Ein Graph mit Grundgebühr beginnt höher und ist nicht proportional.

MerkenGraph zeichnen

Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.

Zwei Punkte reichen, der dritte ist Kontrolle.

BeispielGraph einer proportionalen Zuordnung zeichnen

Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 2 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
  2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
  3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
  1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
  2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
  3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)

AchtungKehrwert der Steigung: Breite und Höhe vertauscht

So nicht
m = 3: 3 nach rechts, 1 hoch
So richtig
m = 3: 1 nach rechts, 3 hoch

Geh zuerst eins nach rechts. Geh dann so viel hoch, wie die Steigung sagt.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 0,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    So fängst du an:
    Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 0,5), (2 | 1), (4 | 2)
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 0,5), (2 | 1), (4 | 2)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 2)
  2. ●17
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 1,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 1,5), (2 | 3), (4 | 6)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 6)
  3. ★18
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 2,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2,5), (2 | 5), (4 | 10)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 10)

7Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

EntdeckenFrage

Ist die große Packung wirklich billiger?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht immer – deshalb muss im Laden der Grundpreis stehen: Preis je 100 g oder je Liter. Der Grundpreis ist der Dreisatz auf 1 heruntergerechnet, damit man vergleichen kann.

MerkenDreisatz

Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.

Einheiten mitschreiben.

BeispielProportionaler Dreisatz

Ein Bundesligaverein schießt in 4 Spiele im Schnitt 4 Tore. Wie viele Tore sind es in 8 Spiele?
2468102468100proportional04 Spiele | 48 Spiele | ?
Schritt für Schritt
  1. SpieleTore
  2. 4 Spiele→4 Tore
  3. ↓ : 4↓ : 4
  4. 1 Spiel→4 Tore : 4 = 1 Tore
  5. ↓ · 8↓ · 8
  6. 8 Spiele→1 Tore · 8 = 8 Tore
  1. SpieleTore
  2. 4 Spiele→4 Tore
  3. ↓ : 4↓ : 4
  4. 1 Spiel→4 Tore : 4 = 1 Tore
  5. ↓ · 8↓ · 8
  6. 8 Spiele→1 Tore · 8 = 8 Tore
Ergebnis:
8 Tore

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Zug fährt in 2 Stunden gleichmäßig 180 km. Wie lange braucht er für 900 km?
    So fängst du an:
    Stundenkm
    Lösung zeigen
    1. Stundenkm
    2. 2 Stunden→180 km
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Stunde→180 km : 2 = 90 km
    5. ↓ · 10↓ · 10900 km : 90 km = 10
    6. 10 Stunden→900 km
    Ergebnis:
    10 Stunden
  2. ●20
    Für 2 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 21,00 €. Wie viel bekommt sie für 8 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Stunden€
    2. 2 Stunden→21,00 €
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Stunde→21,00 € : 2 = 10,50 €
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 Stunden→10,50 € · 8 = 84,00 €
    Ergebnis:
    84,00 €
  3. ★21
    Ein Wasserhahn füllt in 7 Minuten 84 Liter in die Wanne. Jemand sagt: „Dann sind 13 Minuten genau 156 Liter.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. MinutenLiter
    2. 7 Minuten→84 Liter
    3. ↓ : 7↓ : 7
    4. 1 Minute→84 Liter : 7 = 12 Liter
    5. ↓ · 13↓ · 13
    6. 13 Minuten→12 Liter · 13 = 156 Liter
    Ergebnis:
    Ja – 156 Liter stimmt.

8Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

EntdeckenFrage

Vier Pumpen leeren das Becken in 6 Stunden – warum brauchen acht nicht 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil mehr Pumpen weniger Zeit brauchen: 4 · 6 = 24 Pumpenstunden, also 24 : 8 = 3 Stunden. Beim antiproportionalen Dreisatz geht man über das Produkt, nicht über den Quotienten.

MerkenAntiproportionaler Dreisatz

Mehr Arbeiter, weniger Zeit.

Auf 1 wird mal gerechnet, auf viele geteilt – andersherum als beim proportionalen Dreisatz.

BeispielAntiproportionaler Dreisatz: die Anzahl ist gesucht

9 Bagger heben die Baugrube auf dem Grundstück in 4 Tagen aus. Wie viele Bagger sind nötig, damit es in 3 Tagen geschafft ist?
gleich viel Arbeit9 Bagger4 Tagen?3 Tagen
Schritt für Schritt
  1. Das Produkt bleibt gleich: 9 · 4 = 36
  2. Bei 3 Tagen: 36 : 3 = 12
  3. Antwort: 12 Bagger
  1. Das Produkt bleibt gleich: 9 · 4 = 36
  2. Bei 3 Tagen: 36 : 3 = 12
  3. Antwort: 12 Bagger
Ergebnis:
12 Bagger

AchtungNoch einmal: Dreisatz-Richtung vertauscht

So nicht
antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12
So richtig
antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    6 Kopiergeräte drucken die Hefte für die Klassenfahrt in 8 Minuten. Wie viele Kopiergeräte sind nötig, damit es in 6 Minuten geschafft ist?
    gleich viel Arbeit6 Kopiergeräte8 Minuten?6 Minuten
    So fängst du an:
    Das Produkt bleibt gleich: 6 · 8 = 48
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 6 · 8 = 48
    2. Bei 6 Minuten: 48 : 6 = 8
    3. Antwort: 8 Kopiergeräte
    Ergebnis:
    8 Kopiergeräte
  2. ●23
    2 Personen streichen den Zaun um den Schulhof in 12 Stunden. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 8 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit2 Personen12 Stunden?8 Stunden
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 2 · 12 = 24
    2. Bei 8 Stunden: 24 : 8 = 3
    3. Antwort: 3 Personen
    Ergebnis:
    3 Personen
  3. ★24
    6 Personen streichen den Zaun um den Schulhof in 8 Stunden. Wie viele Personen müssen zusätzlich anpacken, damit es in 4 Stunden geschafft ist?
    gleich viel Arbeit6 Personen8 Stunden?4 Stunden
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 6 · 8 = 48
    2. Nötig für 4 Stunden: 48 : 4 = 12
    3. Zusätzlich: 12 − 6 = 6, also 6 Personen mehr
    Ergebnis:
    6 Personen zusätzlich

9Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum schwimmt ein Schiff aus Stahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Dichte ist Masse durch Volumen. Stahl hat 7,85 g je cm³ – aber das Schiff ist innen voller Luft, und im Durchschnitt ist es leichter als Wasser (1 g je cm³). Es schwimmt, weil der Quotient stimmt, nicht das Material.

MerkenGeschwindigkeit und Dichte

Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).

Dichte = Masse : Volumen (g/cm³). Beides sind Proportionalitätsfaktoren.

BeispielGeschwindigkeit, Weg, Zeit

Ein Radfahrer legt 200 m in 20 s zurück. Wie schnell fährt er?
Schritt für Schritt
  1. v = s : t
  2. v = 200 m : 20 s
  3. v = 10 m/s
  1. v = s : t
  2. v = 200 m : 20 s
  3. v = 10 m/s
Ergebnis:
10 m/s

AchtungKomma beim Mal oder Durch 10, 100, 1000 falsch verschoben

So nicht
3,5 · 10 = 0,35
So richtig
3,5 · 10 = 35

Frag dich: Wird die Zahl größer oder kleiner? Mit mal 10 wird sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Ein Radfahrer legt 48 m in 12 s zurück. Wie schnell fährt er?
    So fängst du an:
    v = s : t
    Lösung zeigen
    1. v = s : t
    2. v = 48 m : 12 s
    3. v = 4 m/s
    Ergebnis:
    4 m/s
  2. ●26
    Ein Radfahrer legt 40 m in 5 s zurück. Wie schnell fährt er?
    Lösung zeigen
    1. v = s : t
    2. v = 40 m : 5 s
    3. v = 8 m/s
    Ergebnis:
    8 m/s
  3. ★27
    Ein Auto fährt mit 18 km/h. Welchen Weg legt es in 10 s zurück?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: 18 km/h : 3,6 = 5 m/s
    2. s = v · t = 5 · 10
    3. s = 50 m
    Ergebnis:
    50 m

10Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

EntdeckenFrage

Tarif A: 10 € Grundgebühr und 5 Cent je Minute, Tarif B: 25 Cent je Minute – ab wann lohnt sich A?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ab 50 Minuten: 10 + 0,05 · 50 = 12,50 € und 0,25 · 50 = 12,50 €. Darunter ist B billiger, darüber A. Angebote vergleichen heißt: den Schnittpunkt finden.

MerkenAngebote vergleichen

Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Dann vergleichen. Die Begründung nennt Zahl und Einheit.

BeispielAngebote vergleichen und begründen

Waschmittel gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 18 Waschladungen für 3,78 €
Packung B: 24 Waschladungen für 4,44 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
Schritt für Schritt
  1. Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
  2. je Ladung: 0,21 €
  3. Packung B: 4,44 € : 24 = 0,19 € je Waschladunge
  4. je Ladung: 0,19 €
  5. 0,21 € > 0,19 €
  6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,02 € je Ladung.
  1. Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
  2. je Ladung: 0,21 €
  3. Packung B: 4,44 € : 24 = 0,19 € je Waschladunge
  4. je Ladung: 0,19 €
  5. 0,21 € > 0,19 €
  6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,02 € je Ladung.
Ergebnis:
Packung B (0,19 € je Ladung)

AchtungEinheit vergessen

So nicht
1,20 · 7 = 8,40
So richtig
1,20 €/kg · 7 kg = 8,40 €
Antwort: 7 kg kosten 8,40 €.

Ergebnis immer mit Einheit und Antwortsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Batterien gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 8 Stück für 5,76 €
    Packung B: 12 Stück für 9,68 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    So fängst du an:
    Packung A: 5,76 € : 8 = 0,72 € je Stück
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 5,76 € : 8 = 0,72 € je Stück
    2. je Stück: 0,72 €
    3. Packung B: 9,68 € : 12 = 0,81 € je Stück
    4. je Stück: 0,81 €
    5. 0,72 € < 0,81 €
    6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,09 € je Stück.
    Ergebnis:
    Packung A (0,72 € je Stück)
  2. ●29
    Katzenfutter gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 12 Dosen für 10,68 €
    Packung B: 15 Dosen für 15,35 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 10,68 € : 12 = 0,89 € je Dose
    2. je Dose: 0,89 €
    3. Packung B: 15,35 € : 15 = 1,02 € je Dose
    4. je Dose: 1,02 €
    5. 0,89 € < 1,02 €
    6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,13 € je Dose.
    Ergebnis:
    Packung A (0,89 € je Dose)
  3. ★30
    Reis gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 750 g für 1,65 €
    Packung B: 1200 g für 3,04 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 1,65 € : 750 = 0,00 € je g
    2. je 100 g: 0,22 €
    3. Packung B: 3,04 € : 1200 = 0,00 € je g
    4. je 100 g: 0,25 €
    5. 0,22 € < 0,25 €
    6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,03 € je 100 g.
    Ergebnis:
    Packung A (0,22 € je 100 g)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●31
    Beim Training läuft Jamal 4 Runden und legt dabei 1600 m zurück. Wie viele Runden sind 4000 m?
    Lösung zeigen
    1. Rundenm
    2. 4 Runden→1600 m
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Runde→1600 m : 4 = 400 m
    5. ↓ · 10↓ · 104000 m : 400 m = 10
    6. 10 Runden→4000 m
    Ergebnis:
    10 Runden
  2. ●32
    Die Hallenzeit wird auf 2 Mannschaften aufgeteilt, jede hat 90 min. Wie lange hat jede Mannschaft bei 5 Mannschaften?
    Lösung zeigen
    1. Mannschaftenmin
    2. 2 Mannschaften→90 min
    3. ↓ : 2↓ · 2
    4. 1 Mannschaft→90 min · 2 = 180 min
    5. ↓ · 5↓ : 5
    6. 5 Mannschaften→180 min : 5 = 36 min
    Ergebnis:
    36 min
  3. ●33
    Die Zuordnung ist proportional.
    x246
    y163248
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x2469
      y163248? 72
      y : x8888

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 8.

    2. y(9) = 8 · 9 = 72
    Ergebnis:
    k = 8; y = 72
  4. ●34
    Entscheide und begründe: Gewicht der Äpfel → Preis an der Waage – proportional, antiproportional oder weder noch?
    Lösung zeigen
    1. Doppelt so viel → doppelt so viel; y : x bleibt gleich
    2. Antwort: proportional
    Ergebnis:
    proportional
  5. ●35
    Ein neues Smartphone kostet mit 256 GB 999,00 € und mit 512 GB 1.199,00 €.
    Jemand rechnet: „Doppelter Speicher, also doppelter Preis – 1.998,00 €.“
    Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Dreisatz wären es 999,00 € · 2 = 1.998,00 €.
    2. Tatsächlich: 1.199,00 € − 999,00 € = 200,00 € Aufpreis.
    3. Der Preis wächst nicht mit dem Speicher – die Zuordnung ist nicht proportional.
    Ergebnis:
    Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
  6. ●36
    Ein Smartphone kostet mit 256 GB Speicher 999,00 €, mit 512 GB Speicher 1.199,00 €.
    Berechne für beide Geräte den Preis je Gigabyte. Was fällt auf?
    Lösung zeigen
    1. Kleines Gerät: 999,00 € : 256 = 3,90 € je Gigabyte
    2. Großes Gerät: 1.199,00 € : 512 = 2,34 € je Gigabyte
    3. Die beiden Werte sind verschieden – bei einer proportionalen Zuordnung wären sie gleich.
    Ergebnis:
    3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Proportional
Doppelte Menge → doppelter Preis.
Proportionalitätsfaktor
k = y : x ist der Preis für eine Einheit.
Antiproportional
Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.
Proportional, antiproportional oder keins von beiden
Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.
Tabellen und Graphen lesen
In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).
Graph zeichnen
Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.
Dreisatz
Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.
Antiproportionaler Dreisatz
Mehr Arbeiter, weniger Zeit.
Geschwindigkeit und Dichte
Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).
Angebote vergleichen
Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

    37
    Beim Laufen zur Schule zählt das Handy in 2 Minuten 240 Schritte. Wie lange dauern 960 Schritte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Minuten

  2. Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

    38
    Die Zuordnung ist proportional.
    x135
    y41220
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    k = 4; y = 36

  3. Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

    39
    Streamen 3 Geräte gleichzeitig, bleiben je Gerät 40 Mbit/s. Wie viel bleibt je Gerät bei 2 Geräte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60 Mbit/s

  4. Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

    40
    Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 3, 5, 6 · y: 5, 15, 25, 30. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ja (Quotient immer 5)

  5. Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

    41
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis4,00 €8,00 €20,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40,00 €

  6. Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

    42
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 0,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 2)

  7. Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

    43
    3 kg Äpfel kosten 5,40 €. Was kosten 10 kg Äpfel?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18,00 €

  8. Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

    44
    4 Personen stellen die Stühle im Zelt in 12 Minuten auf. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 6 Minuten geschafft ist?
    gleich viel Arbeit4 Personen12 Minuten?6 Minuten
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Personen

  9. Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

    45
    Ein Radfahrer legt 40 m in 5 s zurück. Wie schnell fährt er?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 m/s

  10. Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

    46
    Batterien gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 8 Stück für 5,76 €
    Packung B: 12 Stück für 7,78 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Packung B (0,65 € je Stück)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Proportionalität erkennen: der Quotient bleibt gleich.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Rezept für 6 statt 4, Tanken, Handyvertrag. Beruf: Einkauf, Gastronomie, Pflege (Infusion pro Stunde).

Wörter

Antiproportional
doppelt so viel hier, halb so viel dort
Dreisatz
erst auf eins herunter, dann hoch
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Proportional
doppelt so viel hier, doppelt so viel dort
Quotient
was herauskommt, wenn man teilt
Volumen
wie viel hineinpasst
Zuordnung
zu jedem Wert gehört genau ein anderer

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Anteile und Verhältnisse, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zusammenhänge und Graphen, Größen im Beruf, Prozentrechnung, Lineare Funktionen, Ähnlichkeit und Strahlensätze

Lösungen

  1. 20 GB
  2. 6 Sekunden
  3. Nein – richtig sind 325 MB.
  4. k = 4; y = 36
  5. k = 6; y = 54
  6. k = 1,5; y = 13,5
  7. 6 h
  8. 12,00 €
  9. 8 Mbit/s
  10. nein
  11. nein
  12. ja, y = 3,5 · x
  13. 50,00 €
  14. 15,00 €
  15. 42,00 €
  16. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 2)
  17. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 6)
  18. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 10)
  19. 10 Stunden
  20. 84,00 €
  21. Ja – 156 Liter stimmt.
  22. 8 Kopiergeräte
  23. 3 Personen
  24. 6 Personen zusätzlich
  25. 4 m/s
  26. 8 m/s
  27. 50 m
  28. Packung A (0,72 € je Stück)
  29. Packung A (0,89 € je Dose)
  30. Packung A (0,22 € je 100 g)
  31. 10 Runden
  32. 36 min
  33. k = 8; y = 72
  34. proportional
  35. Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
  36. 3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.
  37. 8 Minuten
  38. k = 4; y = 36
  39. 60 Mbit/s
  40. ja (Quotient immer 5)
  41. 40,00 €
  42. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 2)
  43. 18,00 €
  44. 8 Personen
  45. 8 m/s
  46. Packung B (0,65 € je Stück)
  47. 20 l
  48. 39 < 34