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Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zuordnungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit bloßem Auge wirken alle vier ähnlich. Bei einer Tabelle stimmt das Verdoppeln, bei einer anderen nur einmal. Die Klasse braucht eine Prüfung, die immer geht. Preis geteilt durch Menge – ist der Wert in jeder Zeile gleich, ist es proportional. Ein Quotient, keine Diskussion.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Je mehr von der einen Größe, desto mehr von der anderen – und zwar im selben Verhältnis.

  1. ●47
    Berechne 25 von 25 €.
    Lösung zeigen
    1. 25 : 5 = 5
    2. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10 €
  2. ●48
    Welcher Bruch ist größer: 58 oder 45? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 2540 und 3240
    2. 58 < 45
    Ergebnis:
    58 < 45

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZwei Größen, die zusammengehören

Bei einer Zuordnung gehört zu jedem Wert der einen Größe genau ein Wert der anderen. Die Frage ist immer dieselbe: Wenn die eine sich verdoppelt – was macht die andere?

Zwei Graphen: Gerade durch den Ursprung, doppelt wird doppelt; Hyperbel, doppelt wird halbxydoppelt → doppeltproportionaldoppelt → halbantiproportional

WeiterdenkenDenk nach

Doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel. Doppelt so viele Maler brauchen doppelt so lange? Was ist der Unterschied?

1Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

EntdeckenFrage

Das Rezept ist für 4 Personen – wie viel brauchst du für 6?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Über die 1: alles durch 4, dann mal 6 – also mal 1,5. 200 g Mehl werden 300 g. Das ist der Dreisatz: erst auf eins herunter, dann hoch.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenProportional

Doppelte Menge → doppelter Preis.

Der Quotient y : x ist immer gleich. Dreisatz: erst auf 1 herunter, dann hoch.

Eselsbrücke: Dreisatz: erst auf EINS zurück, dann auf die gesuchte Anzahl

BeispielProportionaler Dreisatz

Für 5 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 60,00 €. Wie viel bekommt sie für 8 Stunden?
Schritt für Schritt
  1. Stunden€
  2. 5 Stunden→60,00 €
  3. ↓ : 5↓ : 5
  4. 1 Stunde→60,00 € : 5 = 12,00 €
  5. ↓ · 8↓ · 8
  6. 8 Stunden→12,00 € · 8 = 96,00 €
  1. Stunden€
  2. 5 Stunden→60,00 €
  3. ↓ : 5↓ : 5
  4. 1 Stunde→60,00 € : 5 = 12,00 €
  5. ↓ · 8↓ · 8
  6. 8 Stunden→12,00 € · 8 = 96,00 €
Ergebnis:
96,00 €

AchtungDreisatz-Richtung vertauscht

So nicht
antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12
So richtig
antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Eine Playlist mit 4 Songs läuft 16 Minuten. Wie lange laufen 10 Songs?
    So fängst du an:
    SongsMinuten
    Lösung zeigen
    1. SongsMinuten
    2. 4 Songs→16 Minuten
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Song→16 Minuten : 4 = 4 Minuten
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Songs→4 Minuten · 10 = 40 Minuten
    Ergebnis:
    40 Minuten
  2. ●2
    Eine Playlist mit 5 Songs läuft 17,5 Minuten. Wie lange laufen 8 Songs?
    Lösung zeigen
    1. SongsMinuten
    2. 5 Songs→17,5 Minuten
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Song→17,5 Minuten : 5 = 3,5 Minuten
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 Songs→3,5 Minuten · 8 = 28 Minuten
    Ergebnis:
    28 Minuten
  3. ★3
    Ein Bundesligaverein schießt in 3 Spiele im Schnitt 9 Tore. Wie viele Spiele braucht der Verein für 27 Tore?
    Lösung zeigen
    1. SpieleTore
    2. 3 Spiele→9 Tore
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Spiel→9 Tore : 3 = 3 Tore
    5. ↓ · 9↓ · 927 Tore : 3 Tore = 9
    6. 9 Spiele→27 Tore
    Ergebnis:
    9 Spiele

2Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

EntdeckenFrage

8 Cent je Minute – woran erkennt man das in einer Tabelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Am Quotienten: Preis geteilt durch Minuten ist immer 0,08. Diese Zahl ist der Proportionalitätsfaktor; mit ihm rechnet man jede Minute aus – Faktor mal Minuten.

MerkenProportionalitätsfaktor

k = y : x ist der Preis für eine Einheit.

Mit y = k · x kann man jeden Wert direkt berechnen.

Eselsbrücke: Proportional: „Doppelt so viel kostet doppelt so viel“ – Ursprungsgerade

BeispielProportionalitätsfaktor

Die Zuordnung ist proportional.
x246
y102030
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 45 gehört.
24610203000(2|10)(4|20)(6|30)
Schritt für Schritt
  1. x2469
    y102030? 45
    y : x5555

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 5.

  2. x = y : k = 45 : 5 = 9
  1. x2469
    y102030? 45
    y : x5555

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 5.

  2. x = y : k = 45 : 5 = 9
Ergebnis:
k = 5; x = 9

AchtungArt der Zuordnung falsch

So nicht
6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h
So richtig
Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wasser läuft gleichmäßig in eine Wanne: x ist die Zeit in Minuten, y das Wasser in Litern. Die Zuordnung ist proportional.
    x246
    y4812
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 18 gehört.
    So fängst du an:
    x2469
    y4812? 18
    y : x2222

    y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 2.

    Lösung zeigen
    1. x2469
      y4812? 18
      y : x2222

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 2.

    2. x = y : k = 18 : 2 = 9
    Ergebnis:
    k = 2; x = 9
  2. ●5
    In jeder Packung stecken gleich viele Stifte: x ist die Zahl der Packungen, y die Zahl der Stifte. Die Zuordnung ist proportional.
    x3612
    y3060120
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 90 gehört.
    Lösung zeigen
    1. x36129
      y3060120? 90
      y : x10101010

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 10.

    2. x = y : k = 90 : 10 = 9
    Ergebnis:
    k = 10; x = 9
  3. ★6
    Stoff wird vom Ballen geschnitten: x ist die Länge in Metern, y der Preis in Euro. Die Zuordnung ist proportional.
    x258
    y717,528
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x2589
      y717,528? 31,5
      y : x3,503,503,503,50

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 3,5.

    2. y(9) = 3,5 · 9 = 31,5
    Ergebnis:
    k = 3,5; y = 31,5

3Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

EntdeckenFrage

Fünf Freunde teilen eine Pizza – wie viel mehr bekommt jeder, wenn einer absagt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Viertel statt ein Fünftel – 25 % statt 20 %. Mehr Leute, kleinerer Anteil: Personen mal Anteil bleibt immer eine ganze Pizza. Das ist antiproportional.

MerkenAntiproportional

Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.

Das Produkt x · y ist immer gleich (die Gesamtgröße).

Eselsbrücke: Antiproportional: „Doppelt so viele Arbeiter, halb so lange“ – Produkt bleibt gleich

BeispielAntiproportionaler Dreisatz

Streamen 4 Geräte gleichzeitig, bleiben je Gerät 12 Mbit/s. Wie viel bleibt je Gerät bei 3 Geräte?
4 Geräte12 Mbit/s3 Geräte?gleiche Fläche: x · y bleibt gleich
Schritt für Schritt
  1. GeräteMbit/s
  2. 4 Geräte→12 Mbit/s
  3. ↓ : 4↓ · 4
  4. 1 Gerät→12 Mbit/s · 4 = 48 Mbit/s
  5. ↓ · 3↓ : 3
  6. 3 Geräte→48 Mbit/s : 3 = 16 Mbit/s
  1. GeräteMbit/s
  2. 4 Geräte→12 Mbit/s
  3. ↓ : 4↓ · 4
  4. 1 Gerät→12 Mbit/s · 4 = 48 Mbit/s
  5. ↓ · 3↓ : 3
  6. 3 Geräte→48 Mbit/s : 3 = 16 Mbit/s
Ergebnis:
16 Mbit/s

AchtungProportional statt antiproportional

So nicht
2 Leute 12 h → 4 Leute 24 h
So richtig
2 Leute 12 h → 4 Leute 6 h

Frag dich: Mehr Leute, weniger Zeit? Dann ist es antiproportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Streamen 5 Geräte gleichzeitig, bleiben je Gerät 12 Mbit/s. Wie viel bleibt je Gerät bei 2 Geräte?
    So fängst du an:
    GeräteMbit/s
    Lösung zeigen
    1. GeräteMbit/s
    2. 5 Geräte→12 Mbit/s
    3. ↓ : 5↓ · 5
    4. 1 Gerät→12 Mbit/s · 5 = 60 Mbit/s
    5. ↓ · 2↓ : 2
    6. 2 Geräte→60 Mbit/s : 2 = 30 Mbit/s
    Ergebnis:
    30 Mbit/s
  2. ●8
    Streamen 3 Geräte gleichzeitig, bleiben je Gerät 16 Mbit/s. Wie viel bleibt je Gerät bei 4 Geräte?
    Lösung zeigen
    1. GeräteMbit/s
    2. 3 Geräte→16 Mbit/s
    3. ↓ : 3↓ · 3
    4. 1 Gerät→16 Mbit/s · 3 = 48 Mbit/s
    5. ↓ · 4↓ : 4
    6. 4 Geräte→48 Mbit/s : 4 = 12 Mbit/s
    Ergebnis:
    12 Mbit/s
  3. ★9
    Streamen 2 Geräte gleichzeitig, bleiben je Gerät 120 Mbit/s. Wie viel bleibt je Gerät bei 6 Geräte?
    Lösung zeigen
    1. GeräteMbit/s
    2. 2 Geräte→120 Mbit/s
    3. ↓ : 2↓ · 2
    4. 1 Gerät→120 Mbit/s · 2 = 240 Mbit/s
    5. ↓ · 6↓ : 6
    6. 6 Geräte→240 Mbit/s : 6 = 40 Mbit/s
    Ergebnis:
    40 Mbit/s

4Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

EntdeckenFrage

Doppelt so alt – doppelt so groß?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein: Ein Zwölfjähriger ist nicht doppelt so groß wie ein Sechsjähriger. Alter und Größe gehören zusammen, aber weder proportional noch antiproportional – weder noch. Der Test: Wird es doppelt so viel oder halb so viel, wenn ich verdopple?

MerkenProportional, antiproportional oder keins von beiden

Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.

Bleibt x · y gleich → antiproportional. Sonst weder noch (zum Beispiel Alter → Größe).

BeispielProportional? Mit Quotient prüfen

Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 3, 4, 6 · y: 4, 6, 8, 12. Begründe mit dem Quotienten y : x.
2465101500(2|4)(3|6)(4|8)(6|12)
Schritt für Schritt
  1. Quotienten: 2, 2, 2, 2
  2. Alle gleich → proportional
  1. Quotienten: 2, 2, 2, 2
  2. Alle gleich → proportional
Ergebnis:
ja (Quotient immer 2)

AchtungNoch einmal: Art der Zuordnung falsch

So nicht
6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h
So richtig
Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 3, 5, 6 · y: 3, 9, 17, 18. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    So fängst du an:
    Quotienten: 3, 3, 3,4, 3
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3, 3, 3,4, 3
    2. Nicht alle gleich → nicht proportional
    Ergebnis:
    nein
  2. ●11
    Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 2, 4, 5 · y: 3, 6, 14, 15. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3, 3, 3,5, 3
    2. Nicht alle gleich → nicht proportional
    Ergebnis:
    nein
  3. ★12
    Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 5, 8, 10 · y: 7, 17,5, 29, 35. Begründe mit dem Quotienten y : x. Gib bei „ja“ die Zuordnungsvorschrift an.
    Lösung zeigen
    1. Quotienten: 3,5, 3,5, 3,63, 3,5
    2. Nicht alle gleich → nicht proportional
    Ergebnis:
    nein

5Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

EntdeckenFrage

Was erzählt die Fieberkurve über die Nacht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Stunde eine Temperatur, als Punkte verbunden: Wo die Kurve steigt, wurde es schlimmer, wo sie fällt, besser – und der höchste Punkt sagt, wann. Einen Graphen lesen heißt: erst die Achsen, dann den Verlauf.

MerkenTabellen und Graphen lesen

In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).

Proportional erkennt man am Ursprung: Nichts kostet nichts.

BeispielProportionale Tabelle ergänzen

Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
GB Datenvolumen12510
Preis5,00 €10,00 €?50,00 €
Schritt für Schritt
  1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
  2. Lücke: 5 · 5,00 € = 25,00 €
  3. GB Datenvolumen12510
    Preis5,00 €10,00 €? 25,00 €50,00 €
    y : x5555

    In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 5 · 5,00 €.

  1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
  2. Lücke: 5 · 5,00 € = 25,00 €
  3. GB Datenvolumen12510
    Preis5,00 €10,00 €? 25,00 €50,00 €
    y : x5555

    In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 5 · 5,00 €.

Ergebnis:
25,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis1,50 €3,00 €?15,00 €
    So fängst du an:
    Preis für eine Einheit: 1,50 € : 1 = 1,50 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 1,50 € : 1 = 1,50 €
    2. Lücke: 5 · 1,50 € = 7,50 €
    3. kg Bananen12510
      Preis1,50 €3,00 €? 7,50 €15,00 €
      y : x1,501,501,501,50

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,50 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 5 · 1,50 €.

    Ergebnis:
    7,50 €
  2. ●14
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis3,00 €6,00 €15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 10 · 3,00 € = 30,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis3,00 €6,00 €15,00 €? 30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 10 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    30,00 €
  3. ★15
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft23712
    Preis2,50 €?8,75 €15,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,50 € : 2 = 1,25 €
    2. Lücke: 3 · 1,25 € = 3,75 €
    3. Liter Saft23712
      Preis2,50 €? 3,75 €8,75 €15,00 €
      y : x1,251,251,251,25

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,25 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 3 · 1,25 €.

    Ergebnis:
    3,75 €

6Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum geht der Graph einer proportionalen Zuordnung immer durch den Nullpunkt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil null Stück null Euro kosten. Proportional heißt: doppelt so viel kostet doppelt so viel – und das gibt eine Gerade, die im Ursprung beginnt. Ein Graph mit Grundgebühr beginnt höher und ist nicht proportional.

MerkenGraph zeichnen

Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.

Zwei Punkte reichen, der dritte ist Kontrolle.

BeispielGraph einer proportionalen Zuordnung zeichnen

Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 1,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 1,5), (2 | 3), (4 | 6)
  2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
  3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
  1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 1,5), (2 | 3), (4 | 6)
  2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
  3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 6)

AchtungKehrwert der Steigung: Breite und Höhe vertauscht

So nicht
m = 3: 3 nach rechts, 1 hoch
So richtig
m = 3: 1 nach rechts, 3 hoch

Geh zuerst eins nach rechts. Geh dann so viel hoch, wie die Steigung sagt.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 2 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    So fängst du an:
    Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)
  2. ●17
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 3 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 3), (2 | 6), (4 | 12)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
  3. ★18
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 0,75 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 0,75), (2 | 1,5), (4 | 3)
    2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
    3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 3)

7Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

EntdeckenFrage

Ist die große Packung wirklich billiger?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht immer – deshalb muss im Laden der Grundpreis stehen: Preis je 100 g oder je Liter. Der Grundpreis ist der Dreisatz auf 1 heruntergerechnet, damit man vergleichen kann.

MerkenDreisatz

Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.

Einheiten mitschreiben.

BeispielProportionaler Dreisatz

In der Mensa kosten 2 Mittagessen zusammen 8,00 €. Was kosten 6 Mittagessen?
246510152025300proportional02 Mittagessen | 8,006 Mittagessen | ?
Schritt für Schritt
  1. Mittagessen€
  2. 2 Mittagessen→8,00 €
  3. ↓ : 2↓ : 2
  4. 1 Mittagessen→8,00 € : 2 = 4,00 €
  5. ↓ · 6↓ · 6
  6. 6 Mittagessen→4,00 € · 6 = 24,00 €
  1. Mittagessen€
  2. 2 Mittagessen→8,00 €
  3. ↓ : 2↓ : 2
  4. 1 Mittagessen→8,00 € : 2 = 4,00 €
  5. ↓ · 6↓ · 6
  6. 6 Mittagessen→4,00 € · 6 = 24,00 €
Ergebnis:
24,00 €

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In 2 Minuten lädt ein Handyakku 3 % auf. Wie viel Prozent sind es nach 10 Minuten?
    So fängst du an:
    Minuten%
    Lösung zeigen
    1. Minuten%
    2. 2 Minuten→3 %
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Minute→3 % : 2 = 1,5 %
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Minuten→1,5 % · 10 = 15 %
    Ergebnis:
    15 %
  2. ●20
    Ein Wasserhahn füllt in 4 Minuten 48 Liter in die Wanne. Wie viel Liter sind es nach 6 Minuten?
    Lösung zeigen
    1. MinutenLiter
    2. 4 Minuten→48 Liter
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Minute→48 Liter : 4 = 12 Liter
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Minuten→12 Liter · 6 = 72 Liter
    Ergebnis:
    72 Liter
  3. ★21
    Ein Bundesligaverein schießt in 8 Spiele im Schnitt 24 Tore. Wie viele Spiele braucht der Verein für 27 Tore?
    Lösung zeigen
    1. SpieleTore
    2. 8 Spiele→24 Tore
    3. ↓ : 8↓ : 8
    4. 1 Spiel→24 Tore : 8 = 3 Tore
    5. ↓ · 9↓ · 927 Tore : 3 Tore = 9
    6. 9 Spiele→27 Tore
    Ergebnis:
    9 Spiele

8Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

EntdeckenFrage

Vier Pumpen leeren das Becken in 6 Stunden – warum brauchen acht nicht 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil mehr Pumpen weniger Zeit brauchen: 4 · 6 = 24 Pumpenstunden, also 24 : 8 = 3 Stunden. Beim antiproportionalen Dreisatz geht man über das Produkt, nicht über den Quotienten.

MerkenAntiproportionaler Dreisatz

Mehr Arbeiter, weniger Zeit.

Auf 1 wird mal gerechnet, auf viele geteilt – andersherum als beim proportionalen Dreisatz.

BeispielAntiproportionaler Dreisatz: die Anzahl ist gesucht

2 Pumpen leeren das Becken im Freibad in 12 Stunden. Wie viele Pumpen sind nötig, damit es in 4 Stunden geschafft ist?
gleich viel Arbeit2 Pumpen12 Stunden?4 Stunden
Schritt für Schritt
  1. Das Produkt bleibt gleich: 2 · 12 = 24
  2. Bei 4 Stunden: 24 : 4 = 6
  3. Antwort: 6 Pumpen
  1. Das Produkt bleibt gleich: 2 · 12 = 24
  2. Bei 4 Stunden: 24 : 4 = 6
  3. Antwort: 6 Pumpen
Ergebnis:
6 Pumpen

AchtungNoch einmal: Dreisatz-Richtung vertauscht

So nicht
antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12
So richtig
antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    2 Kopiergeräte drucken die Hefte für die Klassenfahrt in 12 Minuten. Wie viele Kopiergeräte sind nötig, damit es in 8 Minuten geschafft ist?
    gleich viel Arbeit2 Kopiergeräte12 Minuten?8 Minuten
    So fängst du an:
    Das Produkt bleibt gleich: 2 · 12 = 24
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 2 · 12 = 24
    2. Bei 8 Minuten: 24 : 8 = 3
    3. Antwort: 3 Kopiergeräte
    Ergebnis:
    3 Kopiergeräte
  2. ●23
    8 Personen stellen die Stühle im Zelt in 6 Minuten auf. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 4 Minuten geschafft ist?
    gleich viel Arbeit8 Personen6 Minuten?4 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 8 · 6 = 48
    2. Bei 4 Minuten: 48 : 4 = 12
    3. Antwort: 12 Personen
    Ergebnis:
    12 Personen
  3. ★24
    6 Bagger heben die Baugrube auf dem Grundstück in 8 Tagen aus. Wie viele Bagger müssen zusätzlich anpacken, damit es in 6 Tagen geschafft ist?
    gleich viel Arbeit6 Bagger8 Tagen?6 Tagen
    Lösung zeigen
    1. Das Produkt bleibt gleich: 6 · 8 = 48
    2. Nötig für 6 Tagen: 48 : 6 = 8
    3. Zusätzlich: 8 − 6 = 2, also 2 Bagger mehr
    Ergebnis:
    2 Bagger zusätzlich

9Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum schwimmt ein Schiff aus Stahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Dichte ist Masse durch Volumen. Stahl hat 7,85 g je cm³ – aber das Schiff ist innen voller Luft, und im Durchschnitt ist es leichter als Wasser (1 g je cm³). Es schwimmt, weil der Quotient stimmt, nicht das Material.

MerkenGeschwindigkeit und Dichte

Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).

Dichte = Masse : Volumen (g/cm³). Beides sind Proportionalitätsfaktoren.

BeispielGeschwindigkeit, Weg, Zeit

Ein Radfahrer legt 200 m in 10 s zurück. Wie schnell fährt er?
Schritt für Schritt
  1. v = s : t
  2. v = 200 m : 10 s
  3. v = 20 m/s
  1. v = s : t
  2. v = 200 m : 10 s
  3. v = 20 m/s
Ergebnis:
20 m/s

AchtungZwischenergebnis als Antwort

So nicht
Ein Auto fährt mit 36 km/h. Welchen Weg legt es in 5 s zurück → 10 m
So richtig
Ein Auto fährt mit 36 km/h. Welchen Weg legt es in 5 s zurück → 50 m

Das ist ein Zwischenergebnis. Lies die Frage noch einmal – was ist am Ende gesucht?

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Ein Radfahrer legt 300 m in 30 s zurück. Wie schnell fährt er?
    So fängst du an:
    v = s : t
    Lösung zeigen
    1. v = s : t
    2. v = 300 m : 30 s
    3. v = 10 m/s
    Ergebnis:
    10 m/s
  2. ●26
    Ein Radfahrer legt 60 m in 12 s zurück. Wie schnell fährt er?
    Lösung zeigen
    1. v = s : t
    2. v = 60 m : 12 s
    3. v = 5 m/s
    Ergebnis:
    5 m/s
  3. ★27
    Ein Auto fährt mit 36 km/h. Welchen Weg legt es in 5 s zurück?
    Lösung zeigen
    1. Erst umrechnen: 36 km/h : 3,6 = 10 m/s
    2. s = v · t = 10 · 5
    3. s = 50 m
    Ergebnis:
    50 m

10Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

EntdeckenFrage

Tarif A: 10 € Grundgebühr und 5 Cent je Minute, Tarif B: 25 Cent je Minute – ab wann lohnt sich A?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ab 50 Minuten: 10 + 0,05 · 50 = 12,50 € und 0,25 · 50 = 12,50 €. Darunter ist B billiger, darüber A. Angebote vergleichen heißt: den Schnittpunkt finden.

MerkenAngebote vergleichen

Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Dann vergleichen. Die Begründung nennt Zahl und Einheit.

BeispielAngebote vergleichen und begründen

Waschmittel gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 18 Waschladungen für 3,78 €
Packung B: 24 Waschladungen für 4,54 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
Schritt für Schritt
  1. Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
  2. je Ladung: 0,21 €
  3. Packung B: 4,54 € : 24 = 0,19 € je Waschladunge
  4. je Ladung: 0,19 €
  5. 0,21 € > 0,19 €
  6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,02 € je Ladung.
  1. Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
  2. je Ladung: 0,21 €
  3. Packung B: 4,54 € : 24 = 0,19 € je Waschladunge
  4. je Ladung: 0,19 €
  5. 0,21 € > 0,19 €
  6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,02 € je Ladung.
Ergebnis:
Packung B (0,19 € je Ladung)

AchtungEinheit vergessen

So nicht
1,20 · 7 = 8,40
So richtig
1,20 €/kg · 7 kg = 8,40 €
Antwort: 7 kg kosten 8,40 €.

Ergebnis immer mit Einheit und Antwortsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Waschmittel gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 18 Waschladungen für 3,78 €
    Packung B: 24 Waschladungen für 5,44 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    So fängst du an:
    Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 3,78 € : 18 = 0,21 € je Waschladunge
    2. je Ladung: 0,21 €
    3. Packung B: 5,44 € : 24 = 0,23 € je Waschladunge
    4. je Ladung: 0,23 €
    5. 0,21 € < 0,23 €
    6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,02 € je Ladung.
    Ergebnis:
    Packung A (0,21 € je Ladung)
  2. ●29
    Batterien gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 8 Stück für 5,76 €
    Packung B: 12 Stück für 7,60 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 5,76 € : 8 = 0,72 € je Stück
    2. je Stück: 0,72 €
    3. Packung B: 7,60 € : 12 = 0,63 € je Stück
    4. je Stück: 0,63 €
    5. 0,72 € > 0,63 €
    6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,09 € je Stück.
    Ergebnis:
    Packung B (0,63 € je Stück)
  3. ★30
    Katzenfutter gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 12 Dosen für 10,68 €
    Packung B: 15 Dosen für 15,35 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    1. Packung A: 10,68 € : 12 = 0,89 € je Dose
    2. je Dose: 0,89 €
    3. Packung B: 15,35 € : 15 = 1,02 € je Dose
    4. je Dose: 1,02 €
    5. 0,89 € < 1,02 €
    6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,13 € je Dose.
    Ergebnis:
    Packung A (0,89 € je Dose)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●31
    In 4 Sekunden sind 100 MB eines Updates geladen. Wie viel ist nach 6 Sekunden geladen?
    Lösung zeigen
    1. SekundenMB
    2. 4 Sekunden→100 MB
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Sekunde→100 MB : 4 = 25 MB
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Sekunden→25 MB · 6 = 150 MB
    Ergebnis:
    150 MB
  2. ●32
    Eine Gruppe fährt mit 4 Bussen, in jedem sitzen 60 Personen. Wie viele sitzen in jedem Bus, wenn es 2 Busse sind?
    Lösung zeigen
    1. BussePersonen
    2. 4 Busse→60 Personen
    3. ↓ : 4↓ · 4
    4. 1 Bus→60 Personen · 4 = 240 Personen
    5. ↓ · 2↓ : 2
    6. 2 Busse→240 Personen : 2 = 120 Personen
    Ergebnis:
    120 Personen
  3. ●33
    Ein Radfahrer fährt gleichmäßig: x ist die Zeit in Sekunden, y der Weg in Metern. Die Zuordnung ist proportional.
    x3612
    y3060120
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x36129
      y3060120? 90
      y : x10101010

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 10.

    2. y(9) = 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    k = 10; y = 90
  4. ●34
    Entscheide und begründe: Anzahl Trainingseinheiten → Tore in der Saison – proportional, antiproportional oder weder noch?
    Lösung zeigen
    1. Doppelt so viel → die zweite Größe ändert sich unregelmäßig
    2. Antwort: weder noch
    Ergebnis:
    weder noch
  5. ●35
    Ein neues Smartphone kostet mit 256 GB 999,00 € und mit 512 GB 1.199,00 €.
    Jemand rechnet: „Doppelter Speicher, also doppelter Preis – 1.998,00 €.“
    Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Dreisatz wären es 999,00 € · 2 = 1.998,00 €.
    2. Tatsächlich: 1.199,00 € − 999,00 € = 200,00 € Aufpreis.
    3. Der Preis wächst nicht mit dem Speicher – die Zuordnung ist nicht proportional.
    Ergebnis:
    Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
  6. ●36
    Ein Smartphone kostet mit 256 GB Speicher 999,00 €, mit 512 GB Speicher 1.199,00 €.
    Berechne für beide Geräte den Preis je Gigabyte. Was fällt auf?
    Lösung zeigen
    1. Kleines Gerät: 999,00 € : 256 = 3,90 € je Gigabyte
    2. Großes Gerät: 1.199,00 € : 512 = 2,34 € je Gigabyte
    3. Die beiden Werte sind verschieden – bei einer proportionalen Zuordnung wären sie gleich.
    Ergebnis:
    3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Proportional
Doppelte Menge → doppelter Preis.
Proportionalitätsfaktor
k = y : x ist der Preis für eine Einheit.
Antiproportional
Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.
Proportional, antiproportional oder keins von beiden
Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.
Tabellen und Graphen lesen
In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).
Graph zeichnen
Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.
Dreisatz
Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.
Antiproportionaler Dreisatz
Mehr Arbeiter, weniger Zeit.
Geschwindigkeit und Dichte
Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).
Angebote vergleichen
Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

    37
    3 Döner kosten zusammen 21,00 €. Wie viele Döner bekommt man für 56,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Döner

  2. Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

    38
    Die Zuordnung ist proportional.
    x258
    y82032
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 36 gehört.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    k = 4; x = 9

  3. Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

    39
    Der Bus zur Klassenfahrt kostet für alle zusammen gleich viel; 30 Kinder teilen sich den Preis, jedes Kind zahlt 20,00 €. Wie viel zahlt jedes Kind, wenn 24 Kinder mitfahren?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25,00 €

  4. Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

    40
    Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 2, 4, 5 · y: 5, 10, 20, 25. Begründe mit dem Quotienten y : x.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ja (Quotient immer 5)

  5. Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

    41
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis5,00 €?25,00 €50,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10,00 €

  6. Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

    42
    Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 3 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)

  7. Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

    43
    In 2 Sekunden sind 24 MB eines Updates geladen. Wie viel ist nach 8 Sekunden geladen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    96 MB

  8. Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

    44
    9 Kopiergeräte drucken die Hefte für die Klassenfahrt in 4 Minuten. Wie viele Kopiergeräte sind nötig, damit es in 3 Minuten geschafft ist?
    gleich viel Arbeit9 Kopiergeräte4 Minuten?3 Minuten
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Kopiergeräte

  9. Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

    45
    Ein Radfahrer legt 10 m in 5 s zurück. Wie schnell fährt er?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 m/s

  10. Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

    46
    Waschmittel gibt es in zwei Packungen:
    Packung A: 18 Waschladungen für 3,78 €
    Packung B: 24 Waschladungen für 5,80 €
    Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Packung A (0,21 € je Ladung)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Proportionalität erkennen: der Quotient bleibt gleich.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Rezept für 6 statt 4, Tanken, Handyvertrag. Beruf: Einkauf, Gastronomie, Pflege (Infusion pro Stunde).

Wörter

Antiproportional
doppelt so viel hier, halb so viel dort
Dreisatz
erst auf eins herunter, dann hoch
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Proportional
doppelt so viel hier, doppelt so viel dort
Quotient
was herauskommt, wenn man teilt
Volumen
wie viel hineinpasst
Zuordnung
zu jedem Wert gehört genau ein anderer

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Anteile und Verhältnisse, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zusammenhänge und Graphen, Größen im Beruf, Prozentrechnung, Lineare Funktionen, Ähnlichkeit und Strahlensätze

Lösungen

  1. 40 Minuten
  2. 28 Minuten
  3. 9 Spiele
  4. k = 2; x = 9
  5. k = 10; x = 9
  6. k = 3,5; y = 31,5
  7. 30 Mbit/s
  8. 12 Mbit/s
  9. 40 Mbit/s
  10. nein
  11. nein
  12. nein
  13. 7,50 €
  14. 30,00 €
  15. 3,75 €
  16. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)
  17. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
  18. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 3)
  19. 15 %
  20. 72 Liter
  21. 9 Spiele
  22. 3 Kopiergeräte
  23. 12 Personen
  24. 2 Bagger zusätzlich
  25. 10 m/s
  26. 5 m/s
  27. 50 m
  28. Packung A (0,21 € je Ladung)
  29. Packung B (0,63 € je Stück)
  30. Packung A (0,89 € je Dose)
  31. 150 MB
  32. 120 Personen
  33. k = 10; y = 90
  34. weder noch
  35. Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
  36. 3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.
  37. 8 Döner
  38. k = 4; x = 9
  39. 25,00 €
  40. ja (Quotient immer 5)
  41. 10,00 €
  42. Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
  43. 96 MB
  44. 12 Kopiergeräte
  45. 2 m/s
  46. Packung A (0,21 € je Ladung)
  47. 10 €
  48. 58 < 45