Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

Zuordnungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit bloßem Auge wirken alle vier ähnlich. Bei einer Tabelle stimmt das Verdoppeln, bei einer anderen nur einmal. Die Klasse braucht eine Prüfung, die immer geht. Preis geteilt durch Menge – ist der Wert in jeder Zeile gleich, ist es proportional. Ein Quotient, keine Diskussion.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Je mehr von der einen Größe, desto mehr von der anderen – und zwar im selben Verhältnis.

●47
Berechne 23 von 60 €.
Lösung zeigen
1. 60 : 3 = 20
2. 20 · 2 = 40
Ergebnis:
40 €
●48
Welcher Bruch ist größer: 28 oder 26? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 1248 und 1648
2. 28 < 26
Ergebnis:
28 < 26

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZwei Größen, die zusammengehören

Bei einer Zuordnung gehört zu jedem Wert der einen Größe genau ein Wert der anderen. Die Frage ist immer dieselbe: Wenn die eine sich verdoppelt – was macht die andere?

WeiterdenkenDenk nach

Doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel. Doppelt so viele Maler brauchen doppelt so lange? Was ist der Unterschied?

1Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.

EntdeckenFrage

Das Rezept ist für 4 Personen – wie viel brauchst du für 6?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Über die 1: alles durch 4, dann mal 6 – also mal 1,5. 200 g Mehl werden 300 g. Das ist der Dreisatz: erst auf eins herunter, dann hoch.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenProportional

Doppelte Menge → doppelter Preis.

Der Quotient y : x ist immer gleich. Dreisatz: erst auf 1 herunter, dann hoch.

Eselsbrücke: Dreisatz: erst auf EINS zurück, dann auf die gesuchte Anzahl

BeispielProportionaler Dreisatz

4 kg Äpfel kosten 9,60 €. Was kosten 8 kg Äpfel?

Schritt für Schritt

kg Äpfel €
4 kg Äpfel → 9,60 €
↓ : 4 ↓ : 4
1 kg Äpfel → 9,60 € : 4 = 2,40 €
↓ · 8 ↓ · 8
8 kg Äpfel → 2,40 € · 8 = 19,20 €

kg Äpfel €
4 kg Äpfel → 9,60 €
↓ : 4 ↓ : 4
1 kg Äpfel → 9,60 € : 4 = 2,40 €
↓ · 8 ↓ · 8
8 kg Äpfel → 2,40 € · 8 = 19,20 €

Ergebnis:

19,20 €

AchtungDreisatz-Richtung vertauscht

So nicht

antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12

So richtig

antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

○1
Beim Training läuft Jamal 2 Runden und legt dabei 400 m zurück. Wie weit sind 8 Runden?
So fängst du an:
Runden m
Lösung zeigen
1. Runden m
2. 2 Runden → 400 m
3. ↓ : 2 ↓ : 2
4. 1 Runde → 400 m : 2 = 200 m
5. ↓ · 8 ↓ · 8
6. 8 Runden → 200 m · 8 = 1600 m
Ergebnis:
1600 m
●2
Ein Zug fährt in 5 Stunden gleichmäßig 450 km. Wie lange braucht er für 720 km?
Lösung zeigen
1. Stunden km
2. 5 Stunden → 450 km
3. ↓ : 5 ↓ : 5
4. 1 Stunde → 450 km : 5 = 90 km
5. ↓ · 8 ↓ · 8720 km : 90 km = 8
6. 8 Stunden → 720 km
Ergebnis:
8 Stunden
★3
Für 6 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 54,00 €. Wie viel bekommt sie für 14 Stunden?
Lösung zeigen
1. Stunden €
2. 6 Stunden → 54,00 €
3. ↓ : 6 ↓ : 6
4. 1 Stunde → 54,00 € : 6 = 9,00 €
5. ↓ · 14 ↓ · 14
6. 14 Stunden → 9,00 € · 14 = 126,00 €
Ergebnis:
126,00 €

2Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.

EntdeckenFrage

8 Cent je Minute – woran erkennt man das in einer Tabelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Am Quotienten: Preis geteilt durch Minuten ist immer 0,08. Diese Zahl ist der Proportionalitätsfaktor; mit ihm rechnet man jede Minute aus – Faktor mal Minuten.

MerkenProportionalitätsfaktor

k = y : x ist der Preis für eine Einheit.

Mit y = k · x kann man jeden Wert direkt berechnen.

Eselsbrücke: Proportional: „Doppelt so viel kostet doppelt so viel“ – Ursprungsgerade

BeispielProportionalitätsfaktor

In jeder Packung stecken gleich viele Stifte: x ist die Zahl der Packungen, y die Zahl der Stifte. Die Zuordnung ist proportional.

x	2	4	6
y	4	8	12

Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.

Schritt für Schritt

x 2 4 6 9
y 4 8 12 ? 18
y : x 2 2 2 2
y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 2.
y(9) = 2 · 9 = 18

x	2	4	6	9
y	4	8	12	? 18
y : x	2	2	2	2

x 2 4 6 9
y 4 8 12 ? 18
y : x 2 2 2 2
y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 2.
y(9) = 2 · 9 = 18

x	2	4	6	9
y	4	8	12	? 18
y : x	2	2	2	2

Ergebnis:

k = 2; y = 18

AchtungArt der Zuordnung falsch

So nicht

6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h

So richtig

Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

○4
Die Zuordnung ist proportional.
x 2 4 6
y 24 48 72
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 108 gehört.
So fängst du an:
x 2 4 6 9
y 24 48 72 ? 108
y : x 12 12 12 12
y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 12.
Lösung zeigen
1. x 2 4 6 9
  y 24 48 72 ? 108
  y : x 12 12 12 12
  y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 12.
2. x = y : k = 108 : 12 = 9
Ergebnis:
k = 12; x = 9
●5
In jeder Packung stecken gleich viele Stifte: x ist die Zahl der Packungen, y die Zahl der Stifte. Die Zuordnung ist proportional.
x 2 5 8
y 4 10 16
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und das x, zu dem y = 18 gehört.
Lösung zeigen
1. x 2 5 8 9
  y 4 10 16 ? 18
  y : x 2 2 2 2
  y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 2.
2. x = y : k = 18 : 2 = 9
Ergebnis:
k = 2; x = 9
★6
Die Zuordnung ist proportional.
x 1 2 4
y 4,5 9 18
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
Lösung zeigen
1. x 1 2 4 9
  y 4,5 9 18 ? 40,5
  y : x 4,50 4,50 4,50 4,50
  y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 4,5.
2. y(9) = 4,5 · 9 = 40,5
Ergebnis:
k = 4,5; y = 40,5

x	2	4	6
y	24	48	72

x	2	4	6	9
y	24	48	72	? 108
y : x	12	12	12	12

x	2	4	6	9
y	24	48	72	? 108
y : x	12	12	12	12

x	2	5	8
y	4	10	16

x	2	5	8	9
y	4	10	16	? 18
y : x	2	2	2	2

x	1	2	4
y	4,5	9	18

x	1	2	4	9
y	4,5	9	18	? 40,5
y : x	4,50	4,50	4,50	4,50

3Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.

EntdeckenFrage

Fünf Freunde teilen eine Pizza – wie viel mehr bekommt jeder, wenn einer absagt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Viertel statt ein Fünftel – 25 % statt 20 %. Mehr Leute, kleinerer Anteil: Personen mal Anteil bleibt immer eine ganze Pizza. Das ist antiproportional.

MerkenAntiproportional

Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.

Das Produkt x · y ist immer gleich (die Gesamtgröße).

Eselsbrücke: Antiproportional: „Doppelt so viele Arbeiter, halb so lange“ – Produkt bleibt gleich

BeispielAntiproportionaler Dreisatz

3 Leute teilen sich ein Familien-Abo, jeder zahlt 4,00 € im Monat. Wie viel zahlt jeder, wenn 6 Leute mitmachen?

Schritt für Schritt

Leute €
3 Leute → 4,00 €
↓ : 3 ↓ · 3
1 Person → 4,00 € · 3 = 12,00 €
↓ · 6 ↓ : 6
6 Leute → 12,00 € : 6 = 2,00 €

Leute €
3 Leute → 4,00 €
↓ : 3 ↓ · 3
1 Person → 4,00 € · 3 = 12,00 €
↓ · 6 ↓ : 6
6 Leute → 12,00 € : 6 = 2,00 €

Ergebnis:

2,00 €

AchtungProportional statt antiproportional

So nicht

2 Pumpen leeren ein Becken in 90 min. Wie lange brauchen 4 Pumpen → 180

So richtig

2 Pumpen leeren ein Becken in 90 min. Wie lange brauchen 4 Pumpen → 45 min

Frag dich: Mehr Leute, weniger Zeit? Dann ist es antiproportional.

ÜbenJetzt du

○7
2 Pumpen leeren ein Becken in 90 min. Wie lange brauchen 4 Pumpen?
So fängst du an:
Pumpen min
Lösung zeigen
1. Pumpen min
2. 2 Pumpen → 90 min
3. ↓ : 2 ↓ · 2
4. 1 Pumpe → 90 min · 2 = 180 min
5. ↓ · 4 ↓ : 4
6. 4 Pumpen → 180 min : 4 = 45 min
Ergebnis:
45 min
●8
Ein Vorrat wird auf 3 Kisten verteilt, in jede kommen 80 Flaschen. Wie viele Flaschen sind es je Kiste bei 5 Kisten?
Lösung zeigen
1. Kisten Flaschen
2. 3 Kisten → 80 Flaschen
3. ↓ : 3 ↓ · 3
4. 1 Kiste → 80 Flaschen · 3 = 240 Flaschen
5. ↓ · 5 ↓ : 5
6. 5 Kisten → 240 Flaschen : 5 = 48 Flaschen
Ergebnis:
48 Flaschen
★9
Der Bus zur Klassenfahrt kostet für alle zusammen gleich viel; 20 Kinder teilen sich den Preis, jedes Kind zahlt 30,00 €. Wie viel zahlt jedes Kind, wenn 30 Kinder mitfahren?
Lösung zeigen
1. Kinder €
2. 20 Kinder → 30,00 €
3. ↓ : 20 ↓ · 20
4. 1 Kind → 30,00 € · 20 = 600,00 €
5. ↓ · 30 ↓ : 30
6. 30 Kinder → 600,00 € : 30 = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €

4Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.

EntdeckenFrage

Doppelt so alt – doppelt so groß?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein: Ein Zwölfjähriger ist nicht doppelt so groß wie ein Sechsjähriger. Alter und Größe gehören zusammen, aber weder proportional noch antiproportional – weder noch. Der Test: Wird es doppelt so viel oder halb so viel, wenn ich verdopple?

MerkenProportional, antiproportional oder keins von beiden

Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.

Bleibt x · y gleich → antiproportional. Sonst weder noch (zum Beispiel Alter → Größe).

BeispielProportional? Mit Quotient prüfen

Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 2, 3, 4 · y: 5, 10, 17, 20. Begründe mit dem Quotienten y : x.

Schritt für Schritt

Quotienten: 5, 5, 5,67, 5
Nicht alle gleich → nicht proportional

Quotienten: 5, 5, 5,67, 5
Nicht alle gleich → nicht proportional

Ergebnis:

nein

AchtungNoch einmal: Art der Zuordnung falsch

So nicht

6 Arbeiter brauchen 4 h, also brauchen 12 Arbeiter 8 h

So richtig

Mehr Arbeiter → weniger Zeit: 6 · 4 = 24, 24 : 12 = 2 h

Frage stellen: Mehr → mehr (proportional) oder mehr → weniger (antiproportional)?

ÜbenJetzt du

○10
Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 3, 4, 6 · y: 4, 6, 9, 12. Begründe mit dem Quotienten y : x.
So fängst du an:
Quotienten: 2, 2, 2,25, 2
Lösung zeigen
1. Quotienten: 2, 2, 2,25, 2
2. Nicht alle gleich → nicht proportional
Ergebnis:
nein
●11
Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 3, 5, 6 · y: 5, 15, 27, 30. Begründe mit dem Quotienten y : x.
Lösung zeigen
1. Quotienten: 5, 5, 5,4, 5
2. Nicht alle gleich → nicht proportional
Ergebnis:
nein
★12
Ist die Zuordnung proportional? x: 2, 5, 8, 10 · y: 1, 2,5, 4, 5. Begründe mit dem Quotienten y : x. Gib bei „ja“ die Zuordnungsvorschrift an.
Lösung zeigen
1. Quotienten: 0,5, 0,5, 0,5, 0,5
2. Alle gleich → proportional
3. Vorschrift: y = 0,5 · x
Ergebnis:
ja, y = 0,5 · x

5Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.

EntdeckenFrage

Was erzählt die Fieberkurve über die Nacht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Stunde eine Temperatur, als Punkte verbunden: Wo die Kurve steigt, wurde es schlimmer, wo sie fällt, besser – und der höchste Punkt sagt, wann. Einen Graphen lesen heißt: erst die Achsen, dann den Verlauf.

MerkenTabellen und Graphen lesen

In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).

Proportional erkennt man am Ursprung: Nichts kostet nichts.

BeispielProportionale Tabelle ergänzen

Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:

kg Bananen	1	2	5	10
Preis	3,00 €	6,00 €	?	30,00 €

Schritt für Schritt

Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
Lücke: 5 · 3,00 € = 15,00 €
kg Bananen 1 2 5 10
Preis 3,00 € 6,00 € ? 15,00 € 30,00 €
y : x 3 3 3 3
In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 5 · 3,00 €.

Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
Lücke: 5 · 3,00 € = 15,00 €
kg Bananen 1 2 5 10
Preis 3,00 € 6,00 € ? 15,00 € 30,00 €
y : x 3 3 3 3
In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 5 · 3,00 €.

Ergebnis:

15,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht

0,3 · 0,2 = 0,6

So richtig

0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

○13
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
kg Bananen 1 2 5 10
Preis 4,00 € 8,00 € 20,00 € ?
So fängst du an:
Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
2. Lücke: 10 · 4,00 € = 40,00 €
3. kg Bananen 1 2 5 10
  Preis 4,00 € 8,00 € 20,00 € ? 40,00 €
  y : x 4 4 4 4
  In jeder Spalte steht unten dasselbe: 4,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 10 · 4,00 €.
Ergebnis:
40,00 €
●14
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
m Geschenkband 1 2 5 10
Preis 5,00 € ? 25,00 € 50,00 €
Lösung zeigen
1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
2. Lücke: 2 · 5,00 € = 10,00 €
3. m Geschenkband 1 2 5 10
  Preis 5,00 € ? 10,00 € 25,00 € 50,00 €
  y : x 5 5 5 5
  In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 2 · 5,00 €.
Ergebnis:
10,00 €
★15
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
m Geschenkband 2 3 7 12
Preis 5,00 € 7,50 € ? 30,00 €
Lösung zeigen
1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 2 = 2,50 €
2. Lücke: 7 · 2,50 € = 17,50 €
3. m Geschenkband 2 3 7 12
  Preis 5,00 € 7,50 € ? 17,50 € 30,00 €
  y : x 2,50 2,50 2,50 2,50
  In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,50 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 7 · 2,50 €.
Ergebnis:
17,50 €

6Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum geht der Graph einer proportionalen Zuordnung immer durch den Nullpunkt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil null Stück null Euro kosten. Proportional heißt: doppelt so viel kostet doppelt so viel – und das gibt eine Gerade, die im Ursprung beginnt. Ein Graph mit Grundgebühr beginnt höher und ist nicht proportional.

MerkenGraph zeichnen

Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.

Zwei Punkte reichen, der dritte ist Kontrolle.

BeispielGraph einer proportionalen Zuordnung zeichnen

Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 0,5 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.

Schritt für Schritt

Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 0,5), (2 | 1), (4 | 2)
Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)

Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 0,5), (2 | 1), (4 | 2)
Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)

Ergebnis:

Gerade durch (0 | 0) und (4 | 2)

AchtungKehrwert der Steigung: Breite und Höhe vertauscht

So nicht

m = 3: 3 nach rechts, 1 hoch

So richtig

m = 3: 1 nach rechts, 3 hoch

Geh zuerst eins nach rechts. Geh dann so viel hoch, wie die Steigung sagt.

ÜbenJetzt du

○16
Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 2 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
So fängst du an:
Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
Lösung zeigen
1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 2), (2 | 4), (4 | 8)
2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)
●17
Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 3 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
Lösung zeigen
1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 3), (2 | 6), (4 | 12)
2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
★18
Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 1,25 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
Lösung zeigen
1. Wertetabelle: (0 | 0), (1 | 1,25), (2 | 2,5), (4 | 5)
2. Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden
3. Kontrolle: Die Gerade geht durch den Ursprung (0 | 0)
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 5)

7Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).

EntdeckenFrage

Ist die große Packung wirklich billiger?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht immer – deshalb muss im Laden der Grundpreis stehen: Preis je 100 g oder je Liter. Der Grundpreis ist der Dreisatz auf 1 heruntergerechnet, damit man vergleichen kann.

MerkenDreisatz

Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.

Einheiten mitschreiben.

BeispielProportionaler Dreisatz

5 kg Äpfel kosten 6,00 €. Wie viel Äpfel bekommst du für 12,00 €?

Schritt für Schritt

kg Äpfel €
5 kg Äpfel → 6,00 €
↓ : 5 ↓ : 5
1 kg Äpfel → 6,00 € : 5 = 1,20 €
↓ · 10 ↓ · 1012,00 € : 1,20 € = 10
10 kg Äpfel → 12,00 €

kg Äpfel €
5 kg Äpfel → 6,00 €
↓ : 5 ↓ : 5
1 kg Äpfel → 6,00 € : 5 = 1,20 €
↓ · 10 ↓ · 1012,00 € : 1,20 € = 10
10 kg Äpfel → 12,00 €

Ergebnis:

10 kg Äpfel

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht

5 kg Äpfel kosten 6,00 €. Wie viel Äpfel bekommst du für 12,00 € → 2,5

So richtig

5 kg Äpfel kosten 6,00 €. Wie viel Äpfel bekommst du für 12,00 € → 10 kg Äpfel

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

○19
Beim Training läuft Jamal 4 Runden und legt dabei 1600 m zurück. Wie viele Runden sind 2400 m?
So fängst du an:
Runden m
Lösung zeigen
1. Runden m
2. 4 Runden → 1600 m
3. ↓ : 4 ↓ : 4
4. 1 Runde → 1600 m : 4 = 400 m
5. ↓ · 6 ↓ · 62400 m : 400 m = 6
6. 6 Runden → 2400 m
Ergebnis:
6 Runden
●20
4 Döner kosten zusammen 28,00 €. Was kosten 8 Döner?
Lösung zeigen
1. Döner €
2. 4 Döner → 28,00 €
3. ↓ : 4 ↓ : 4
4. 1 Döner → 28,00 € : 4 = 7,00 €
5. ↓ · 8 ↓ · 8
6. 8 Döner → 7,00 € · 8 = 56,00 €
Ergebnis:
56,00 €
★21
In 3 Sekunden sind 36 MB eines Updates geladen. Wie lange dauern 108 MB?
Lösung zeigen
1. Sekunden MB
2. 3 Sekunden → 36 MB
3. ↓ : 3 ↓ : 3
4. 1 Sekunde → 36 MB : 3 = 12 MB
5. ↓ · 9 ↓ · 9108 MB : 12 MB = 9
6. 9 Sekunden → 108 MB
Ergebnis:
9 Sekunden

8Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).

EntdeckenFrage

Vier Pumpen leeren das Becken in 6 Stunden – warum brauchen acht nicht 12?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil mehr Pumpen weniger Zeit brauchen: 4 · 6 = 24 Pumpenstunden, also 24 : 8 = 3 Stunden. Beim antiproportionalen Dreisatz geht man über das Produkt, nicht über den Quotienten.

MerkenAntiproportionaler Dreisatz

Mehr Arbeiter, weniger Zeit.

Auf 1 wird mal gerechnet, auf viele geteilt – andersherum als beim proportionalen Dreisatz.

BeispielAntiproportionaler Dreisatz: die Anzahl ist gesucht

6 Personen streichen den Zaun um den Schulhof in 4 Stunden. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 2 Stunden geschafft ist?

Schritt für Schritt

Das Produkt bleibt gleich: 6 · 4 = 24
Bei 2 Stunden: 24 : 2 = 12
Antwort: 12 Personen

Das Produkt bleibt gleich: 6 · 4 = 24
Bei 2 Stunden: 24 : 2 = 12
Antwort: 12 Personen

Ergebnis:

12 Personen

AchtungNoch einmal: Dreisatz-Richtung vertauscht

So nicht

antiproportional: 24 : 6 = 4, dann 4 · 12

So richtig

antiproportional: erst 6 · 4 = 24 (Gesamt), dann 24 : 12 = 2

Erst auf die 1 herunter (geteilt), dann auf die gesuchte Zahl hoch (mal) – und vorher fragen: mehr → mehr oder mehr → weniger? Wer das nicht prüft, rechnet mal statt geteilt.

ÜbenJetzt du

○22
6 Pumpen leeren das Becken im Freibad in 4 Stunden. Wie viele Pumpen sind nötig, damit es in 3 Stunden geschafft ist?
So fängst du an:
Das Produkt bleibt gleich: 6 · 4 = 24
Lösung zeigen
1. Das Produkt bleibt gleich: 6 · 4 = 24
2. Bei 3 Stunden: 24 : 3 = 8
3. Antwort: 8 Pumpen
Ergebnis:
8 Pumpen
●23
6 Pumpen leeren das Becken im Freibad in 6 Stunden. Wie viele Pumpen sind nötig, damit es in 3 Stunden geschafft ist?
Lösung zeigen
1. Das Produkt bleibt gleich: 6 · 6 = 36
2. Bei 3 Stunden: 36 : 3 = 12
3. Antwort: 12 Pumpen
Ergebnis:
12 Pumpen
★24
4 Kopiergeräte drucken die Hefte für die Klassenfahrt in 12 Minuten. Wie viele Kopiergeräte müssen zusätzlich anpacken, damit es in 4 Minuten geschafft ist?
Lösung zeigen
1. Das Produkt bleibt gleich: 4 · 12 = 48
2. Nötig für 4 Minuten: 48 : 4 = 12
3. Zusätzlich: 12 − 4 = 8, also 8 Kopiergeräte mehr
Ergebnis:
8 Kopiergeräte zusätzlich

9Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.

EntdeckenFrage

Warum schwimmt ein Schiff aus Stahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Dichte ist Masse durch Volumen. Stahl hat 7,85 g je cm³ – aber das Schiff ist innen voller Luft, und im Durchschnitt ist es leichter als Wasser (1 g je cm³). Es schwimmt, weil der Quotient stimmt, nicht das Material.

MerkenGeschwindigkeit und Dichte

Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).

Dichte = Masse : Volumen (g/cm³). Beides sind Proportionalitätsfaktoren.

BeispielGeschwindigkeit, Weg, Zeit

Ein Radfahrer legt 120 m in 30 s zurück. Wie schnell fährt er?

Schritt für Schritt

v = s : t
v = 120 m : 30 s
v = 4 m/s

v = s : t
v = 120 m : 30 s
v = 4 m/s

Ergebnis:

4 m/s

AchtungRest als Kommastelle geschrieben

So nicht

39 : 4 = 9 Rest 3 = 9,3

So richtig

39 : 4 = 9,75

Teile den Rest weiter. Schreib dafür eine 0 dazu.

ÜbenJetzt du

○25
Ein Radfahrer legt 600 m in 30 s zurück. Wie schnell fährt er?
So fängst du an:
v = s : t
Lösung zeigen
1. v = s : t
2. v = 600 m : 30 s
3. v = 20 m/s
Ergebnis:
20 m/s
●26
Ein Radfahrer legt 150 m in 10 s zurück. Wie schnell fährt er?
Lösung zeigen
1. v = s : t
2. v = 150 m : 10 s
3. v = 15 m/s
Ergebnis:
15 m/s
★27
Ein Auto fährt mit 72 km/h. Welchen Weg legt es in 30 s zurück?
Lösung zeigen
1. Erst umrechnen: 72 km/h : 3,6 = 20 m/s
2. s = v · t = 20 · 30
3. s = 600 m
Ergebnis:
600 m

10Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.

EntdeckenFrage

Tarif A: 10 € Grundgebühr und 5 Cent je Minute, Tarif B: 25 Cent je Minute – ab wann lohnt sich A?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ab 50 Minuten: 10 + 0,05 · 50 = 12,50 € und 0,25 · 50 = 12,50 €. Darunter ist B billiger, darüber A. Angebote vergleichen heißt: den Schnittpunkt finden.

MerkenAngebote vergleichen

Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Dann vergleichen. Die Begründung nennt Zahl und Einheit.

BeispielAngebote vergleichen und begründen

Reis gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 750 g für 1,65 €
Packung B: 1200 g für 2,38 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.

Schritt für Schritt

Packung A: 1,65 € : 750 = 0,00 € je g
je 100 g: 0,22 €
Packung B: 2,38 € : 1200 = 0,00 € je g
je 100 g: 0,20 €
0,22 € > 0,20 €
Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,02 € je 100 g.

Packung A: 1,65 € : 750 = 0,00 € je g
je 100 g: 0,22 €
Packung B: 2,38 € : 1200 = 0,00 € je g
je 100 g: 0,20 €
0,22 € > 0,20 €
Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,02 € je 100 g.

Ergebnis:

Packung B (0,20 € je 100 g)

AchtungEinheit vergessen

So nicht

1,20 · 7 = 8,40

So richtig

1,20 €/kg · 7 kg = 8,40 €
Antwort: 7 kg kosten 8,40 €.

Ergebnis immer mit Einheit und Antwortsatz.

ÜbenJetzt du

○28
Katzenfutter gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 12 Dosen für 10,68 €
Packung B: 15 Dosen für 14,95 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
So fängst du an:
Packung A: 10,68 € : 12 = 0,89 € je Dose
Lösung zeigen
1. Packung A: 10,68 € : 12 = 0,89 € je Dose
2. je Dose: 0,89 €
3. Packung B: 14,95 € : 15 = 1,00 € je Dose
4. je Dose: 1,00 €
5. 0,89 € < 1,00 €
6. Antwort: Packung A ist günstiger, um 0,11 € je Dose.
Ergebnis:
Packung A (0,89 € je Dose)
●29
Duschgel gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 250 ml für 1,60 €
Packung B: 400 ml für 2,25 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
Lösung zeigen
1. Packung A: 1,60 € : 250 = 0,01 € je ml
2. je 100 ml: 0,64 €
3. Packung B: 2,25 € : 400 = 0,01 € je ml
4. je 100 ml: 0,56 €
5. 0,64 € > 0,56 €
6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,08 € je 100 ml.
Ergebnis:
Packung B (0,56 € je 100 ml)
★30
Duschgel gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 250 ml für 1,60 €
Packung B: 400 ml für 2,30 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
Lösung zeigen
1. Packung A: 1,60 € : 250 = 0,01 € je ml
2. je 100 ml: 0,64 €
3. Packung B: 2,30 € : 400 = 0,01 € je ml
4. je 100 ml: 0,57 €
5. 0,64 € > 0,57 €
6. Antwort: Packung B ist günstiger, um 0,07 € je 100 ml.
Ergebnis:
Packung B (0,57 € je 100 ml)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●31
Ein Wasserhahn füllt in 2 Minuten 8 Liter in die Wanne. Wie lange dauert es, bis 24 Liter drin sind?
Lösung zeigen
1. Minuten Liter
2. 2 Minuten → 8 Liter
3. ↓ : 2 ↓ : 2
4. 1 Minute → 8 Liter : 2 = 4 Liter
5. ↓ · 6 ↓ · 624 Liter : 4 Liter = 6
6. 6 Minuten → 24 Liter
Ergebnis:
6 Minuten
●32
Wer 6 GB am Tag verbraucht, kommt mit dem Vertrag 10 Tage aus. Wie viele Tage reicht es bei 3 GB am Tag?
Lösung zeigen
1. GB am Tag Tage
2. 6 GB am Tag → 10 Tage
3. ↓ : 6 ↓ · 6
4. 1 GB am Tag → 10 Tage · 6 = 60 Tage
5. ↓ · 3 ↓ : 3
6. 3 GB am Tag → 60 Tage : 3 = 20 Tage
Ergebnis:
20 Tage
●33
In jeder Packung stecken gleich viele Stifte: x ist die Zahl der Packungen, y die Zahl der Stifte. Die Zuordnung ist proportional.
x 1 2 4
y 10 20 40
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
Lösung zeigen
1. x 1 2 4 9
  y 10 20 40 ? 90
  y : x 10 10 10 10
  y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 10.
2. y(9) = 10 · 9 = 90
Ergebnis:
k = 10; y = 90
●34
Entscheide und begründe: Anzahl Tore einer Mannschaft → Punkte in der Tabelle – proportional, antiproportional oder weder noch?
Lösung zeigen
1. Doppelt so viel → die zweite Größe ändert sich unregelmäßig
2. Antwort: weder noch
Ergebnis:
weder noch
●35
Ein neues Smartphone kostet mit 256 GB 999,00 € und mit 512 GB 1.199,00 €.
Jemand rechnet: „Doppelter Speicher, also doppelter Preis – 1.998,00 €.“
Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Nach dem Dreisatz wären es 999,00 € · 2 = 1.998,00 €.
2. Tatsächlich: 1.199,00 € − 999,00 € = 200,00 € Aufpreis.
3. Der Preis wächst nicht mit dem Speicher – die Zuordnung ist nicht proportional.
Ergebnis:
Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
●36
Ein Smartphone kostet mit 256 GB Speicher 999,00 €, mit 512 GB Speicher 1.199,00 €.
Berechne für beide Geräte den Preis je Gigabyte. Was fällt auf?
Lösung zeigen
1. Kleines Gerät: 999,00 € : 256 = 3,90 € je Gigabyte
2. Großes Gerät: 1.199,00 € : 512 = 2,34 € je Gigabyte
3. Die beiden Werte sind verschieden – bei einer proportionalen Zuordnung wären sie gleich.
Ergebnis:
3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Proportional: Doppelte Menge → doppelter Preis.
Proportionalitätsfaktor: k = y : x ist der Preis für eine Einheit.
Antiproportional: Doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit.
Proportional, antiproportional oder keins von beiden: Prüfe: Bleibt y : x gleich → proportional.
Tabellen und Graphen lesen: In der Tabelle: Wertepaare. Im Graphen: Punkt (x | y).
Graph zeichnen: Proportionale Zuordnung: gerade Linie durch den Ursprung.
Dreisatz: Immer über 1 gehen: Erst auf eine Einheit herunterrechnen, dann hochrechnen.
Antiproportionaler Dreisatz: Mehr Arbeiter, weniger Zeit.
Geschwindigkeit und Dichte: Geschwindigkeit = Weg : Zeit (km/h).
Angebote vergleichen: Auf dieselbe Einheit bringen (Preis pro kg, pro Stück).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich erkenne proportionale Zuordnungen und rechne mit dem Dreisatz.
37
Für 5 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 50,00 €. Wie lange muss sie für 60,00 € arbeiten?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Stunden
Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und nutze ihn.
38
Die Zuordnung ist proportional.
x 1 2 4
y 6 12 24
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
Lösung zeigen
Ergebnis:
k = 6; y = 54
Ich erkenne antiproportionale Zuordnungen und rechne über die Gesamtgröße.
39
3 Leute teilen sich ein Familien-Abo, jeder zahlt 4,00 € im Monat. Wie viel zahlt jeder, wenn 6 Leute mitmachen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,00 €
Ich unterscheide proportional, antiproportional und weder-noch.
40
Ist die Zuordnung proportional? x: 1, 2, 3, 4 · y: 3, 6, 9, 12. Begründe mit dem Quotienten y : x.
Lösung zeigen
Ergebnis:
ja (Quotient immer 3)
Ich lese Zuordnungen aus Tabellen und Graphen ab.
41
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
GB Datenvolumen 1 2 5 10
Preis 4,00 € ? 20,00 € 40,00 €
Lösung zeigen
Ergebnis:
8,00 €
Ich zeichne Graphen proportionaler Zuordnungen.
42
Zeichne den Graphen der proportionalen Zuordnung y = 2 · x für x von 0 bis 4. Lege zuerst eine Wertetabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)
Ich löse Sachaufgaben mit dem Dreisatz (Preise, Mengen).
43
2 kg Äpfel kosten 2,40 €. Was kosten 8 kg Äpfel?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9,60 €
Ich löse Sachaufgaben mit dem antiproportionalen Dreisatz (Arbeiter, Zeit).
44
8 Personen stellen die Stühle im Zelt in 6 Minuten auf. Wie viele Personen sind nötig, damit es in 4 Minuten geschafft ist?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Personen
Ich rechne mit Geschwindigkeit und Dichte als Zuordnungen.
45
Ein Radfahrer legt 200 m in 20 s zurück. Wie schnell fährt er?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 m/s
Ich vergleiche Angebote und begründe Entscheidungen.
46
Batterien gibt es in zwei Packungen:
Packung A: 8 Stück für 5,76 €
Packung B: 12 Stück für 7,34 €
Welche Packung ist günstiger? Begründe mit einer Rechnung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Packung B (0,61 € je Stück)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Hier sind vier Preistabellen. In welcher gilt: doppelte Menge, doppelter Preis? Begründe so, dass man es nachprüfen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Proportionalität erkennen: der Quotient bleibt gleich.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Rezept für 6 statt 4, Tanken, Handyvertrag. Beruf: Einkauf, Gastronomie, Pflege (Infusion pro Stunde).

Wörter

Antiproportional: doppelt so viel hier, halb so viel dort
Dreisatz: erst auf eins herunter, dann hoch
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Proportional: doppelt so viel hier, doppelt so viel dort
Quotient: was herauskommt, wenn man teilt
Volumen: wie viel hineinpasst
Zuordnung: zu jedem Wert gehört genau ein anderer

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Anteile und Verhältnisse, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zusammenhänge und Graphen, Größen im Beruf, Prozentrechnung, Lineare Funktionen, Ähnlichkeit und Strahlensätze

Lösungen

1600 m
8 Stunden
126,00 €
k = 12; x = 9
k = 2; x = 9
k = 4,5; y = 40,5
45 min
48 Flaschen
20,00 €
nein
nein
ja, y = 0,5 · x
40,00 €
10,00 €
17,50 €
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 12)
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 5)
6 Runden
56,00 €
9 Sekunden
8 Pumpen
12 Pumpen
8 Kopiergeräte zusätzlich
20 m/s
15 m/s
600 m
Packung A (0,89 € je Dose)
Packung B (0,56 € je 100 ml)
Packung B (0,57 € je 100 ml)
6 Minuten
20 Tage
k = 10; y = 90
weder noch
Nein – 1.199,00 € statt 1.998,00 €. Nicht proportional.
3,90 € und 2,34 € je Gigabyte – nicht gleich, also nicht proportional.
6 Stunden
k = 6; y = 54
2,00 €
ja (Quotient immer 3)
8,00 €
Gerade durch (0 | 0) und (4 | 8)
9,60 €
12 Personen
10 m/s
Packung B (0,61 € je Stück)
40 €
28 < 26

m Geschenkband	2	3	7	12
Preis	5,00 €	7,50 €	? 17,50 €	30,00 €
y : x	2,50	2,50	2,50	2,50