Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Zeichnungen sind zu ungenau, Zähler-Vergleich und Nenner-Vergleich widersprechen sich. Die Klasse kann sich nicht einigen. Bringt man beide auf denselben Nenner, 24/40 und 25/40, ist der Vergleich eine Sache von einem Blick. Das ist Erweitern.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch wird durch einen gemeinsamen Teiler gekürzt – Teiler und Vielfache muss man sehen.

●64
Bestimme alle Teiler von 24.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
●65
Ist 637 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 3: Quersumme 16 durch 3 teilbar?
2. 637 prüfen: Quersumme 16, 16 : 3 = 5 Rest 1
3. Probe: 637 : 3 = 212 Rest 1
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAnteil · Operator · Verhältnis

Ein Bruch ist dreierlei: ein Anteil an einem Ganzen (¾ der Pizza), eine Rechenanweisung (¾ von 20 €) und ein Vergleich (3 zu 4). Jede Aufgabe verlangt eine dieser drei Sichtweisen.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ¾ immer mehr als ½? Und ¾ einer Pizza gegen ½ eines Kuchenblechs?

1Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

EntdeckenFrage

Warum scheiterte ein Burger, nur weil er ein Drittel Pfund wog?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

A&W verkaufte 1980 in den USA den Drittelpfünder billiger als den Viertelpfünder – und verlor, weil viele 1/3 für kleiner hielten als 1/4. Der Nenner sagt, in wie viele Teile geteilt wird.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenBruch als Anteil

Nenner: in wie viele gleiche Teile.

Zähler: wie viele davon. ¾ einer Pizza: in 4 Stücke geteilt, 3 gegessen.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 39 oder 49? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichnamig machen: 2781 und 3681
39 < 49

Gleichnamig machen: 2781 und 3681
39 < 49

Ergebnis:

39 < 49

AchtungNenner addiert

So nicht

3/4 + 2/5 = 5/9

So richtig

3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Nur Zähler addieren, Nenner bleibt.

ÜbenJetzt du

○1
Welcher Bruch ist größer: 35 oder 34? Begründe.
So fängst du an:
Gleichnamig machen: 1220 und 1520
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 1220 und 1520
2. 35 < 34
Ergebnis:
35 < 34
●2
Welcher Bruch ist größer: 29 oder 57? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 1463 und 4563
2. 29 < 57
Ergebnis:
29 < 57
★3
Welcher Bruch ist größer: 58 oder 45? Begründe.
Lösung zeigen
1. Als Dezimalzahl: 0,625 und 0,8
2. 58 < 45
Ergebnis:
58 < 45

2Ich erweitere und kürze Brüche.

EntdeckenFrage

Wie teilten die Ägypter drei Brote unter fünf Leuten – ohne Bruchstriche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur mit Stammbrüchen: 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15. Jeder bekam ein Drittel, ein Fünftel und ein Fünfzehntel eines Brotes – und alle gleich viel.

MerkenErweitern und Kürzen

Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).

Der Wert bleibt gleich.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielBrüche erweitern und kürzen

Erweitere 23 mit 5.

Schritt für Schritt

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Zähler: 2 · 5 = 10
Nenner: 3 · 5 = 15

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Zähler: 2 · 5 = 10
Nenner: 3 · 5 = 15

Ergebnis:

1015

AchtungNenner erweitert, Zähler nicht

So nicht

1/4 + 3/8 = 1/8 + 3/8 = 4/8

So richtig

1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8

Nimm Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal.

ÜbenJetzt du

○4
Erweitere 12 mit 5.
So fängst du an:
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Lösung zeigen
1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
2. Zähler: 1 · 5 = 5
3. Nenner: 2 · 5 = 10
Ergebnis:
510
●5
Erweitere 49 mit 6.
Lösung zeigen
1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
2. Zähler: 4 · 6 = 24
3. Nenner: 9 · 6 = 54
Ergebnis:
2454
★6
Ergänze die fehlende Zahl: 13 = □/21
Lösung zeigen
1. Nenner: 3 · 7 = 21, also erweitert mit 7
2. Zähler: 1 · 7 = 7
Ergebnis:
7

3Ich vergleiche und ordne Brüche.

EntdeckenFrage

Was ist mehr: 5/8 einer Pizza oder 2/3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

2/3, aber knapp. Auf denselben Nenner gebracht heißt es 15/24 gegen 16/24 – erst dann kann man zwei Brüche überhaupt vergleichen.

MerkenBrüche vergleichen

Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.

Sonst gleichnamig machen oder mit ½ und 1 vergleichen.

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 29 oder 28? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichnamig machen: 1672 und 1872
29 < 28

Gleichnamig machen: 1672 und 1872
29 < 28

Ergebnis:

29 < 28

AchtungNoch einmal: Nenner addiert

So nicht

3/4 + 2/5 = 5/9

So richtig

3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Nur Zähler addieren, Nenner bleibt.

ÜbenJetzt du

○7
Welcher Bruch ist größer: 29 oder 12? Begründe.
So fängst du an:
Gleichnamig machen: 418 und 918
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 418 und 918
2. 29 < 12
Ergebnis:
29 < 12
●8
Welcher Bruch ist größer: 14 oder 12? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 28 und 48
2. 14 < 12
Ergebnis:
14 < 12
★9
Welcher Bruch ist größer: 511 oder 19? Begründe.
Lösung zeigen
1. Als Dezimalzahl: 0,455 und 0,111
2. 511 > 19
Ergebnis:
511 > 19

4Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Warum heißt es Viervierteltakt – und was passiert, wenn eine Note zu viel darin steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Notenwerte eines Taktes ergeben zusammen genau 4/4. Eine halbe, eine viertel und zwei achtel Noten sind ein voller Takt; kommt etwas dazu, klingt die Stelle schief.

MerkenGleichnamige Brüche addieren

Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielGleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Berechne: 24 + 34

Schritt für Schritt

Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
2 + 3 = 5 → 54

Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
2 + 3 = 5 → 54

Ergebnis:

AchtungNenner mitaddiert

So nicht

Berechne: 2/4 + 3/4 → 5/8

So richtig

Berechne: 2/4 + 3/4 → 5/4

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

○10
Berechne: 34 + 34
So fängst du an:
Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
2. 3 + 3 = 6 → 64 = 32
Ergebnis:
32
●11
Berechne: 34 + 14
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
2. 3 + 1 = 4 → 44 = 11
Ergebnis:
11
★12
Berechne: 215 + 215
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 15: nur die Zähler addieren
2. 2 + 2 = 4 → 415
Ergebnis:
415

5Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Wie kann man 1/2 und 1/3 zusammenzählen, wenn die Stücke verschieden groß sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man schneidet beide feiner: Sechstel passen in Halbe und in Drittel. 3/6 und 2/6 sind zusammen 5/6 – erst gleich groß machen, dann zusammenzählen.

MerkenUngleichnamige Brüche addieren

Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Jonas läuft 12 km zum Bus und dann 18 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 12 + 18.

Schritt für Schritt

Hauptnenner 8: 48 + 18
= 58

Hauptnenner 8: 48 + 18
= 58

Ergebnis:

AchtungRechenart im Rechenschritt verwechselt

So nicht

12 Äpfel an 3 Kinder: 12 · 3 = 36

So richtig

12 Äpfel an 3 Kinder: 12 : 3 = 4

Sag in Worten, was in diesem Schritt passiert: dazu, weg, verteilen oder vervielfachen. Wähle dann die Rechenart.

ÜbenJetzt du

○13
Jonas läuft 12 km zum Bus und dann 24 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 12 + 24.
So fängst du an:
Hauptnenner 4: 24 + 24
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 4: 24 + 24
2. = 44 = 11
Ergebnis:
11
●14
Jonas läuft 34 km zum Bus und dann 34 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 34 + 34.
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 4: 34 + 34
2. = 64 = 32
Ergebnis:
32
★15
Berechne: 14 + 35
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 20: 520 + 1220
2. = 1720
Ergebnis:
1720

6Ich multipliziere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie lang ist eine punktierte Viertelnote, wenn der Punkt die Note um die Hälfte ihrer Länge verlängert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Hälfte einer Viertelnote ist 1/2 · 1/4 = 1/8. Zusammen sind das 1/4 + 1/8 = 3/8. Kürzer gerechnet: 3/2 · 1/4 = 3/8. Die punktierte Viertel dauert also drei Achtel.

MerkenBrüche multiplizieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.

BeispielBruch mal Bruch

36 der Klasse fahren mit dem Rad. 12 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das? Rechne 12 · 36.

Schritt für Schritt

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 312
Kürzen mit 3: 14

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 312
Kürzen mit 3: 14

Ergebnis:

AchtungÜber Kreuz multipliziert

So nicht

Berechne: 2/5 · 1/3 → 6/5

So richtig

Berechne: 2/5 · 1/3 → 2/15

Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

ÜbenJetzt du

○16
Berechne: 25 · 13
So fängst du an:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 215
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 215
2. Kürzen mit 1: 215
Ergebnis:
215
●17
47 der Klasse fahren mit dem Rad. 23 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das? Rechne 23 · 47.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 821
2. Kürzen mit 1: 821
Ergebnis:
821
★18
Berechne: 34 · 48
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 1232
2. Kürzen mit 4: 38
Ergebnis:
38

7Ich dividiere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie viele Viertelstunden passen in ein Fußballspiel von 90 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

90 Minuten sind 3/2 Stunden. Man rechnet 3/2 : 1/4 = 3/2 · 4/1 = 12/2 = 6. Es passen also 6 Viertelstunden hinein. Probe: 6 · 15 Minuten = 90 Minuten.

MerkenBrüche dividieren

Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 17 : 47

Schritt für Schritt

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 17 · 74
= 728 = 14

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 17 · 74
= 728 = 14

Ergebnis:

AchtungKehrwert vergessen

So nicht

1/2 : 1/4 = 1/8

So richtig

1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 2

Geteilt durch einen Bruch = mal Kehrwert.

ÜbenJetzt du

○19
Berechne: 17 : 12
So fängst du an:
Mit dem Kehrwert multiplizieren: 17 · 21
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 17 · 21
2. = 27 = 27
Ergebnis:
27
●20
Wie oft passt 12 in 14? Rechne 14 : 12.
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 14 · 21
2. = 24 = 12
Ergebnis:
12
★21
Berechne: 12 : 38
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 83
2. = 86 = 43
Ergebnis:
43

8Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

EntdeckenFrage

Warum zeigt der Taschenrechner bei 1 : 4 einfach 0,25, bei 1 : 3 aber eine endlose Reihe von Dreien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/4 lässt sich auf 25/100 erweitern, weil 4 in 100 aufgeht. Also ist 1/4 = 0,25. Die 3 geht in keine Zahl 10, 100, 1.000 und so weiter auf. Darum bleibt beim Teilen immer ein Rest, und die Drei wiederholt sich ohne Ende.

Ausprobieren: Zahlenstrahl mit Lupe

Einen Punkt setzen, hineinzoomen, hinauszoomen – ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Zahlen.

MerkenBruch und Dezimalzahl

Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

Oder den Nenner auf 10, 100 erweitern. ¼ = 0,25, ⅕ = 0,2, ⅓ = 0,333…

BeispielGemischte Zahlen und unechte Brüche

Schreibe als unechten Bruch: 2 34

Schritt für Schritt

2 = 84
84 + 34 = 114

2 = 84
84 + 34 = 114

Ergebnis:

114

AchtungBruchstrich als Komma gelesen

So nicht

Schreibe als gemischte Zahl: 14/8 → 14,8

So richtig

Schreibe als gemischte Zahl: 14/8 → 1 6/8

Lies den Bruchstrich als geteilt. Rechne Zähler durch Nenner.

ÜbenJetzt du

○22
Schreibe als gemischte Zahl: 148
So fängst du an:
14 : 8 = 1 Rest 6
Lösung zeigen
1. 14 : 8 = 1 Rest 6
2. = 1 68
Ergebnis:
1 68
●23
Schreibe als unechten Bruch: 1 16
Lösung zeigen
1. 1 = 66
2. 66 + 16 = 76
Ergebnis:
76
★24
Schreibe als gemischte Zahl: 175
Lösung zeigen
1. 17 : 5 = 3 Rest 2
2. = 3 25
Ergebnis:
3 25

9Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Um wie viele Zentimeter übertraf der Weitsprung-Weltrekord von 1991 den von 1968?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bob Beamon sprang 1968 in Mexiko-Stadt 8,90 m. Mike Powell sprang 1991 in Tokio 8,95 m. Die Differenz ist 8,95 − 8,90 = 0,05 m. Das sind genau 5 cm.

MerkenDezimalzahlen addieren

Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.

BeispielDezimalzahlen addieren und subtrahieren

Berechne schriftlich: 19,1 + 3,1

Schritt für Schritt

Komma unter Komma: 19,1 und 3,1 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Zehntel: 1 + 1 = 2
Einer: 9 + 3 = 12 → 2, Übertrag 1
Zehner: 1 + 0 + 1 = 2
= 22,2

Komma unter Komma: 19,1 und 3,1 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Zehntel: 1 + 1 = 2
Einer: 9 + 3 = 12 → 2, Übertrag 1
Zehner: 1 + 0 + 1 = 2
= 22,2

Ergebnis:

22,2

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

Berechne schriftlich: 19,1 + 3,1 → 12,2

So richtig

Berechne schriftlich: 19,1 + 3,1 → 22,2

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○25
Berechne schriftlich: 98,4 − 3,1
So fängst du an:
Komma unter Komma: 98,4 und 3,1 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 98,4 und 3,1 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Zehntel: 4 − 1 = 3
3. Einer: 8 − 3 = 5
4. Zehner: 9 − 0 = 9
5. = 95,3
Ergebnis:
95,3
●26
Berechne schriftlich: 63,8 + 8,9
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 63,8 und 8,9 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Zehntel: 8 + 9 = 17 → 7, Übertrag 1
3. Einer: 3 + 8 + 1 = 12 → 2, Übertrag 1
4. Zehner: 6 + 0 + 1 = 7
5. = 72,7
Ergebnis:
72,7
★27
Berechne schriftlich: 3,3 + 57,17
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 3,3 und 57,17 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Hundertstel: 0 + 7 = 7
3. Zehntel: 3 + 1 = 4
4. Einer: 3 + 7 = 10 → 0, Übertrag 1
5. Zehner: 0 + 5 + 1 = 6
6. = 60,47
Ergebnis:
60,47

10Ich multipliziere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 16 Blätter A4 fast genau einen Quadratmeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt misst 0,21 m mal 0,297 m. Seine Fläche ist 0,21 · 0,297 = 0,06237 m². Mal 16 sind das 0,99792 m², also fast 1 m². Der Grund: A0 ist 1 m² groß, und A4 ist A0 viermal halbiert.

MerkenDezimalzahlen multiplizieren

Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.

So viele Stellen, wie beide Faktoren zusammen haben.

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 0,5 · 4

Schritt für Schritt

Kommas weglassen: 5 · 4 = 20
Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
Komma 1 Stelle von rechts: 2

Kommas weglassen: 5 · 4 = 20
Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
Komma 1 Stelle von rechts: 2

Ergebnis:

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht

0,3 · 0,4 = 1,2

So richtig

0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen zählen.

ÜbenJetzt du

○28
Berechne schriftlich: 2,4 · 0,5
So fängst du an:
Kommas weglassen: 24 · 5 = 120
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 24 · 5 = 120
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 1,2
Ergebnis:
1,2
●29
Berechne schriftlich: 2,4 · 4
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 24 · 4 = 96
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 9,6
Ergebnis:
9,6
★30
Berechne schriftlich: 8,65 · 0,6
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 865 · 6 = 5190
2. Nachkommastellen zählen: 2 + 1 = 3
3. Komma 3 Stellen von rechts: 5,19
Ergebnis:
5,19

11Ich dividiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele volle 0,2-Liter-Gläser kann man aus einer 1,5-Liter-Flasche einschenken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man teilt 1,5 : 0,2. Beide Zahlen mal 10 ergibt 15 : 2 = 7,5. Es gibt also 7 volle Gläser. Ein halbes Glas bleibt übrig.

MerkenDezimalzahlen dividieren

Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.

Dann schriftlich dividieren.

BeispielDezimalzahlen dividieren

Berechne: 12,2 : 2

Schritt für Schritt

Erst ohne Komma rechnen: 122 : 2 = 61
Komma: 12,2 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
12,2 : 2 = 6,1

Erst ohne Komma rechnen: 122 : 2 = 61
Komma: 12,2 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
12,2 : 2 = 6,1

Ergebnis:

6,1

AchtungKomma im Ergebnis beim Teilen vergessen oder verschoben

So nicht

Berechne: 12,2 : 2 → 61

So richtig

Berechne: 12,2 : 2 → 6,1

Setz das Komma im Ergebnis, sobald du im Dividenden über das Komma gehst.

ÜbenJetzt du

○31
Berechne: 16,4 : 2
So fängst du an:
Erst ohne Komma rechnen: 164 : 2 = 82
Lösung zeigen
1. Erst ohne Komma rechnen: 164 : 2 = 82
2. Komma: 16,4 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
3. 16,4 : 2 = 8,2
Ergebnis:
8,2
●32
Berechne: 51,6 : 6
Lösung zeigen
1. Erst ohne Komma rechnen: 516 : 6 = 86
2. Komma: 51,6 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
3. 51,6 : 6 = 8,6
Ergebnis:
8,6
★33
Berechne: 82,5 : 2,5
Lösung zeigen
1. Komma im Teiler weg: beide Zahlen mal 10
2. 82,5 : 2,5 = 825 : 25
3. 825 : 25 = 33
Ergebnis:
33

12Ich runde Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum rechnet man in der Schule mit 3,14 für π, obwohl π unendlich viele Stellen nach dem Komma hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

π beginnt mit 3,14159. Auf zwei Stellen gerundet ist die dritte Stelle eine 1, also wird abgerundet: 3,14. Der Fehler ist kleiner als zwei Tausendstel. Für Zeichnungen mit Zirkel und Lineal reicht das völlig.

MerkenRunden

Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

Immer von der Ausgangszahl runden, nie vom gerundeten Zwischenwert: 3,456 ≈ 3,5, nicht 3,46 ≈ 3,5.

BeispielDezimalzahlen runden

Runde 1,824 auf Hundertstel.

Schritt für Schritt

Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 2.
Rechts daneben steht 4: abrunden.
1,824 ≈ 1,82

Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 2.
Rechts daneben steht 4: abrunden.
1,824 ≈ 1,82

Ergebnis:

1,82

AchtungAn der falschen Stelle gerundet

So nicht

92.578 auf Hunderter → 93.000

So richtig

92.578 auf Hunderter → 92.600

Markiere zuerst die Rundungsstelle. Schau dann nur auf die Ziffer rechts daneben.

ÜbenJetzt du

○34
Runde 22,929 auf Hundertstel.
So fängst du an:
Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 2.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 2.
2. Rechts daneben steht 9: aufrunden.
3. 22,929 ≈ 22,93
Ergebnis:
22,93
●35
Runde 30,962 auf Hundertstel.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 6.
2. Rechts daneben steht 2: abrunden.
3. 30,962 ≈ 30,96
Ergebnis:
30,96
★36
Ein Rechner zeigt für den Preis je Stück 7,696 €. Runde auf ganze Cent.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Cent sind Hundertstel, dort steht 9.
2. Rechts daneben steht 6: aufrunden.
3. 7,696 ≈ 7,70
Ergebnis:
7,70 €

13Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie breit muss eine Deutschlandfahne sein, die 1,5 m hoch ist, und wie hoch ist jeder Streifen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Höhe und Länge der Bundesflagge stehen im Verhältnis 3 zu 5. Die Länge ist also 5/3 von 1,5 m, das sind 2,5 m. Jeder der drei Streifen ist ein Drittel hoch: 1,5 : 3 = 0,5 m.

MerkenSachaufgaben

Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.

Antwort mit Einheit.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Ein Aquarium fasst 60 Liter. Es ist zu 14 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?

Schritt für Schritt

Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
14 von 60: 60 : 4 · 1 = 15
Es fehlen 60 − 15 = 45
45 : 2,5 = 18

Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
14 von 60: 60 : 4 · 1 = 15
Es fehlen 60 − 15 = 45
45 : 2,5 = 18

Ergebnis:

18 Eimer

AchtungAnteil umgedreht

So nicht

2/5 von 100 = 250

So richtig

2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

○37
Für einen Vorhang braucht Frau Lang 1 12 m Stoff. 1 m kostet 8,00 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
So fängst du an:
Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
2. 1 12 m sind 1,5 m.
3. 8 · 1,5 = 12
4. 20 − 12 = 8
Ergebnis:
8,00 €
●38
Für 4 Personen braucht man 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 6 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 3,20 €. Was kosten die Kartoffeln?
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Menge für 6 Personen, dann der Preis.
2. 12 kg sind 0,5 kg.
3. 0,5 : 4 · 6 = 0,75
4. 0,75 · 3,2 = 2,4
Ergebnis:
2,40 €
★39
Ein Auto braucht 6,5 l Benzin auf 100 km. Familie Aydin fährt 250 km. 1 l kostet 1,60 €. Was kostet das Benzin für die Fahrt?
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Liter, dann der Preis.
2. 250 km sind 2,5-mal 100 km.
3. 6,5 · 2,5 = 16,25
4. 16,25 · 1,6 = 26
Ergebnis:
26,00 €

14Ich berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Wie viele Minuten reine Spielzeit sind drei Viertel eines Basketballspiels?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Basketballspiel hat vier Viertel zu je 10 Minuten, zusammen 40 Minuten. Drei Viertel davon sind 40 : 4 · 3 = 30 Minuten. Nach drei Vierteln stehen also 30 Minuten auf der Uhr.

MerkenBruchteile von Größen

„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Erst durch den Nenner, dann mal den Zähler.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 23 von 30 kg.

Schritt für Schritt

30 : 3 = 10
10 · 2 = 20

30 : 3 = 10
10 · 2 = 20

Ergebnis:

20 kg

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht

3/4 von 20 = 20 : 3/4

So richtig

3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

○40
Berechne 23 von 30 €.
So fängst du an:
30 : 3 = 10
Lösung zeigen
1. 30 : 3 = 10
2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 €
●41
Berechne 23 von 15 l.
Lösung zeigen
1. 15 : 3 = 5
2. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10 l
★42
Berechne 23 von 21 €.
Lösung zeigen
1. 21 : 3 = 7
2. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●43
Berechne: 48 + 68
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 48 + 68
2. = 108 = 54
Ergebnis:
54
●44
Berechne: 13 · 26
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 218
2. Kürzen mit 2: 19
Ergebnis:
19
●45
Berechne 25 von 50 €.
Lösung zeigen
1. 50 : 5 = 10
2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 €
●46
Berechne schriftlich: 1,5 · 0,5
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 15 · 5 = 75
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,75
Ergebnis:
0,75
●47
Berechne: 46 + 36
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
2. 4 + 3 = 7 → 76
Ergebnis:
76
●48
Welcher Bruch ist größer: 45 oder 36? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 2430 und 1530
2. 45 > 36
Ergebnis:
45 > 36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch als Anteil: Nenner: in wie viele gleiche Teile.
Erweitern und Kürzen: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).
Brüche vergleichen: Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.
Gleichnamige Brüche addieren: Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.
Ungleichnamige Brüche addieren: Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.
Brüche dividieren: Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.
Bruch und Dezimalzahl: Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.
Dezimalzahlen addieren: Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.
Dezimalzahlen multiplizieren: Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.
Dezimalzahlen dividieren: Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.
Runden: Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.
Sachaufgaben: Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.
Bruchteile von Größen: „von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.
49
Welcher Bruch ist größer: 37 oder 35? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
37 < 35
Ich erweitere und kürze Brüche.
50
Erweitere 16 mit 6.
Lösung zeigen
Ergebnis:
636
Ich vergleiche und ordne Brüche.
51
Welcher Bruch ist größer: 49 oder 47? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
49 < 47
Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.
52
Berechne: 910 + 210
Lösung zeigen
Ergebnis:
1110
Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.
53
Berechne: 12 + 34
Lösung zeigen
Ergebnis:
54
Ich multipliziere Brüche.
54
Berechne: 36 · 24
Lösung zeigen
Ergebnis:
14
Ich dividiere Brüche.
55
Berechne: 46 : 27
Lösung zeigen
Ergebnis:
73
Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.
56
Schreibe als gemischte Zahl: 388
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 68
Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.
57
Berechne schriftlich: 61,2 − 3,1
Lösung zeigen
Ergebnis:
58,1
Ich multipliziere Dezimalzahlen.
58
Berechne schriftlich: 0,5 · 6
Lösung zeigen
Ergebnis:
3
Ich dividiere Dezimalzahlen.
59
Berechne: 3,3 : 3
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,1
Ich runde Dezimalzahlen.
60
Runde 20,675 auf Hundertstel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
20,68
Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.
61
Mia hat 12,00 € gespart. Sie gibt 12 davon für ein Buch aus und danach 3,00 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3,00 €
Ich berechne Bruchteile von Größen.
62
Berechne 35 von 25 €.
Lösung zeigen
Ergebnis:
15 €
Ich wiederhole das Kapitel spielerisch.
63
Berechne: 14 + 18
Lösung zeigen
Ergebnis:
38

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erweitern und Kürzen: Brüche vergleichbar machen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Pizza teilen, Tank halb voll, Dreiviertelstunde. Beruf: Handwerk (Zoll-Maße), Musik (Notenwerte), Küche.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Gleichnamig: gleicher Nenner – gleich große Teile
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche als Anteile, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Anteile und Verhältnisse, Daten vergleichen und Zufall untersuchen, Gleichungen und Formeln, Dezimalzahlen, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen, Zuordnungen, Prozentrechnung, Rationale Zahlen, Wahrscheinlichkeit, Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit

Lösungen

35 < 34
29 < 57
58 < 45
510
2454
7
29 < 12
14 < 12
511 > 19
32
11
415
11
32
1720
215
821
38
27
12
43
1 68
76
3 25
95,3
72,7
60,47
1,2
9,6
5,19
8,2
8,6
33
22,93
30,96
7,70 €
8,00 €
2,40 €
26,00 €
20 €
10 l
14 €
54
19
20 €
0,75
76
45 > 36
37 < 35
636
49 < 47
1110
54
14
73
4 68
58,1
3
1,1
20,68
3,00 €
15 €
38
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
nein