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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Zeichnungen sind zu ungenau, Zähler-Vergleich und Nenner-Vergleich widersprechen sich. Die Klasse kann sich nicht einigen. Bringt man beide auf denselben Nenner, 24/40 und 25/40, ist der Vergleich eine Sache von einem Blick. Das ist Erweitern.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch wird durch einen gemeinsamen Teiler gekürzt – Teiler und Vielfache muss man sehen.

  1. ●64
    Bestimme alle Teiler von 12.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 12
  2. ●65
    Ist 499 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 22 durch 3 teilbar?
    2. 499 prüfen: Quersumme 22, 22 : 3 = 7 Rest 1
    3. Probe: 499 : 3 = 166 Rest 1
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAnteil · Operator · Verhältnis

Ein Bruch ist dreierlei: ein Anteil an einem Ganzen (¾ der Pizza), eine Rechenanweisung (¾ von 20 €) und ein Vergleich (3 zu 4). Jede Aufgabe verlangt eine dieser drei Sichtweisen.

Ein Bruch dreimal: drei Viertel einer Pizza, drei Viertel von 20 Euro sind 15 Euro, drei zu vierAnteil3/4 der Pizza5 €5 €5 €5 €Operator3/4 von 20 € = 15 €Verhältnis3 zu 4

WeiterdenkenDenk nach

Ist ¾ immer mehr als ½? Und ¾ einer Pizza gegen ½ eines Kuchenblechs?

1Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

EntdeckenFrage

Warum scheiterte ein Burger, nur weil er ein Drittel Pfund wog?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

A&W verkaufte 1980 in den USA den Drittelpfünder billiger als den Viertelpfünder – und verlor, weil viele 1/3 für kleiner hielten als 1/4. Der Nenner sagt, in wie viele Teile geteilt wird.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenBruch als Anteil

Nenner: in wie viele gleiche Teile.

Zähler: wie viele davon. ¾ einer Pizza: in 4 Stücke geteilt, 3 gegessen.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 38 oder 58? Begründe.
3/8?5/8
Schritt für Schritt
  1. Gleichnamig machen: 2464 und 4064
  2. 38 < 58
  1. Gleichnamig machen: 2464 und 4064
  2. 38 < 58
Ergebnis:
38 < 58

AchtungNenner addiert

So nicht
3/4 + 2/5 = 5/9
So richtig
3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Nur Zähler addieren, Nenner bleibt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Bruch ist größer: 29 oder 24? Begründe.
    So fängst du an:
    Gleichnamig machen: 836 und 1836
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 836 und 1836
    2. 29 < 24
    Ergebnis:
    29 < 24
  2. ●2
    Welcher Bruch ist größer: 46 oder 59? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 3654 und 3054
    2. 46 > 59
    Ergebnis:
    46 > 59
  3. ★3
    Welcher Bruch ist größer: 79 oder 710? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Als Dezimalzahl: 0,778 und 0,7
    2. 79 > 710
    Ergebnis:
    79 > 710

2Ich erweitere und kürze Brüche.

EntdeckenFrage

Wie teilten die Ägypter drei Brote unter fünf Leuten – ohne Bruchstriche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur mit Stammbrüchen: 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15. Jeder bekam ein Drittel, ein Fünftel und ein Fünfzehntel eines Brotes – und alle gleich viel.

MerkenErweitern und Kürzen

Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).

Der Wert bleibt gleich.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielBrüche erweitern und kürzen

Erweitere 18 mit 3.
1/8
Schritt für Schritt
  1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
  2. Zähler: 1 · 3 = 3
  3. Nenner: 8 · 3 = 24
  1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
  2. Zähler: 1 · 3 = 3
  3. Nenner: 8 · 3 = 24
Ergebnis:
324

AchtungNenner erweitert, Zähler nicht

So nicht
1/4 + 3/8 = 1/8 + 3/8 = 4/8
So richtig
1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8

Nimm Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Kürze 68 durch 2.
    6/8
    So fängst du an:
    Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
    2. Zähler: 6 : 2 = 3
    3. Nenner: 8 : 2 = 4
    Ergebnis:
    34
  2. ●5
    Erweitere 45 mit 6.
    4/5
    Lösung zeigen
    1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
    2. Zähler: 4 · 6 = 24
    3. Nenner: 5 · 6 = 30
    Ergebnis:
    2430
  3. ★6
    Ergänze die fehlende Zahl: 57 = □/14
    5/7
    Lösung zeigen
    1. Nenner: 7 · 2 = 14, also erweitert mit 2
    2. Zähler: 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

3Ich vergleiche und ordne Brüche.

EntdeckenFrage

Was ist mehr: 5/8 einer Pizza oder 2/3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

2/3, aber knapp. Auf denselben Nenner gebracht heißt es 15/24 gegen 16/24 – erst dann kann man zwei Brüche überhaupt vergleichen.

MerkenBrüche vergleichen

Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.

Sonst gleichnamig machen oder mit ½ und 1 vergleichen.

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 46 oder 48? Begründe.
4/6?4/8
Schritt für Schritt
  1. Gleichnamig machen: 3248 und 2448
  2. 46 > 48
  1. Gleichnamig machen: 3248 und 2448
  2. 46 > 48
Ergebnis:
46 > 48

AchtungGrößerer Nenner, größerer Bruch

So nicht
3/8 > 3/4, weil 8 größer ist als 4
So richtig
3/8 < 3/4: Achtel sind kleiner als Viertel

Stell dir eine Pizza vor: Teilst du sie in mehr Stücke, wird jedes Stück kleiner. Vergleiche dann die Stücke.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welcher Bruch ist größer: 39 oder 29? Begründe.
    So fängst du an:
    Gleichnamig machen: 2781 und 1881
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 2781 und 1881
    2. 39 > 29
    Ergebnis:
    39 > 29
  2. ●8
    Welcher Bruch ist größer: 49 oder 16? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 2454 und 954
    2. 49 > 16
    Ergebnis:
    49 > 16
  3. ★9
    Welcher Bruch ist größer: 1012 oder 815? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Als Dezimalzahl: 0,833 und 0,533
    2. 1012 > 815
    Ergebnis:
    1012 > 815

4Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Warum heißt es Viervierteltakt – und was passiert, wenn eine Note zu viel darin steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Notenwerte eines Taktes ergeben zusammen genau 4/4. Eine halbe, eine viertel und zwei achtel Noten sind ein voller Takt; kommt etwas dazu, klingt die Stelle schief.

MerkenGleichnamige Brüche addieren

Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielGleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Berechne: 410 + 910
4/10+9/10
Schritt für Schritt
  1. Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
  2. 4 + 9 = 13 → 1310
  1. Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
  2. 4 + 9 = 13 → 1310
Ergebnis:
1310

AchtungNenner mitaddiert

So nicht
Berechne: 4/10 + 9/10 → 13/20
So richtig
Berechne: 4/10 + 9/10 → 13/10

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Berechne: 110 + 410
    So fängst du an:
    Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
    2. 1 + 4 = 5 → 510 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●11
    Berechne: 14 + 24
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
    2. 1 + 2 = 3 → 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Berechne: 712 + 912
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 12: nur die Zähler addieren
    2. 7 + 9 = 16 → 1612 = 43
    Ergebnis:
    43

5Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Wie kann man 1/2 und 1/3 zusammenzählen, wenn die Stücke verschieden groß sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man schneidet beide feiner: Sechstel passen in Halbe und in Drittel. 3/6 und 2/6 sind zusammen 5/6 – erst gleich groß machen, dann zusammenzählen.

MerkenUngleichnamige Brüche addieren

Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Berechne: 34 + 34
3/4+3/4
Schritt für Schritt
  1. Hauptnenner 4: 34 + 34
  2. = 64 = 32
  1. Hauptnenner 4: 34 + 34
  2. = 64 = 32
Ergebnis:
32

AchtungRechenart im Rechenschritt verwechselt

So nicht
Berechne: 3/4 + 3/4 → 9/16
So richtig
Berechne: 3/4 + 3/4 → 3/2

Sag in Worten, was in diesem Schritt passiert: dazu, weg, verteilen oder vervielfachen. Wähle dann die Rechenart.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Jonas läuft 14 km zum Bus und dann 18 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 14 + 18.
    So fängst du an:
    Hauptnenner 8: 28 + 18
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 28 + 18
    2. = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●14
    Jonas läuft 48 km zum Bus und dann 68 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 48 + 68.
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 48 + 68
    2. = 108 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Berechne: 24 + 49
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 36: 1836 + 1636
    2. = 3436 = 1718
    Ergebnis:
    1718

6Ich multipliziere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie lang ist eine punktierte Viertelnote, wenn der Punkt die Note um die Hälfte ihrer Länge verlängert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Hälfte einer Viertelnote ist 1/2 · 1/4 = 1/8. Zusammen sind das 1/4 + 1/8 = 3/8. Kürzer gerechnet: 3/2 · 1/4 = 3/8. Die punktierte Viertel dauert also drei Achtel.

MerkenBrüche multiplizieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.

BeispielBruch mal Bruch

23 der Klasse fahren mit dem Rad. 14 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das? Rechne 14 · 23.
2/3·1/4
Schritt für Schritt
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 212
  2. Kürzen mit 2: 16
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 212
  2. Kürzen mit 2: 16
Ergebnis:
16

AchtungÜber Kreuz multipliziert

So nicht
Berechne: 3/4 · 4/8 → 24/16
So richtig
Berechne: 3/4 · 4/8 → 3/8

Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Berechne: 34 · 48
    So fängst du an:
    Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 1232
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 1232
    2. Kürzen mit 4: 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●17
    Berechne: 15 · 12
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 110
    2. Kürzen mit 1: 110
    Ergebnis:
    110
  3. ★18
    Berechne: 46 · 25
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 830
    2. Kürzen mit 2: 415
    Ergebnis:
    415

7Ich dividiere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie viele Viertelstunden passen in ein Fußballspiel von 90 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

90 Minuten sind 3/2 Stunden. Man rechnet 3/2 : 1/4 = 3/2 · 4/1 = 12/2 = 6. Es passen also 6 Viertelstunden hinein. Probe: 6 · 15 Minuten = 90 Minuten.

MerkenBrüche dividieren

Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 27 : 57
2/7:5/7
Schritt für Schritt
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 27 · 75
  2. = 1435 = 25
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 27 · 75
  2. = 1435 = 25
Ergebnis:
25

AchtungKehrwert vergessen

So nicht
1/2 : 1/4 = 1/8
So richtig
1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 2

Geteilt durch einen Bruch = mal Kehrwert.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Berechne: 27 : 12
    So fängst du an:
    Mit dem Kehrwert multiplizieren: 27 · 21
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 27 · 21
    2. = 47 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●20
    Berechne: 12 : 23
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 32
    2. = 34 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★21
    Wie oft passt 47 in 47? Rechne 47 : 47.
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 47 · 74
    2. = 2828 = 1
    Ergebnis:
    1

8Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

EntdeckenFrage

Warum zeigt der Taschenrechner bei 1 : 4 einfach 0,25, bei 1 : 3 aber eine endlose Reihe von Dreien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/4 lässt sich auf 25/100 erweitern, weil 4 in 100 aufgeht. Also ist 1/4 = 0,25. Die 3 geht in keine Zahl 10, 100, 1.000 und so weiter auf. Darum bleibt beim Teilen immer ein Rest, und die Drei wiederholt sich ohne Ende.

Ausprobieren: Zahlenstrahl mit Lupe

Einen Punkt setzen, hineinzoomen, hinauszoomen – ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Zahlen.

MerkenBruch und Dezimalzahl

Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

Oder den Nenner auf 10, 100 erweitern. ¼ = 0,25, ⅕ = 0,2, ⅓ = 0,333…

BeispielGemischte Zahlen und unechte Brüche

Schreibe als unechten Bruch: 1 68
6/8
Schritt für Schritt
  1. 1 = 88
  2. 88 + 68 = 148
  1. 1 = 88
  2. 88 + 68 = 148
Ergebnis:
148

AchtungBruchstrich als Komma gelesen

So nicht
Schreibe als gemischte Zahl: 30/7 → 30,7
So richtig
Schreibe als gemischte Zahl: 30/7 → 4 2/7

Lies den Bruchstrich als geteilt. Rechne Zähler durch Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schreibe als gemischte Zahl: 307
    So fängst du an:
    30 : 7 = 4 Rest 2
    Lösung zeigen
    1. 30 : 7 = 4 Rest 2
    2. = 4 27
    Ergebnis:
    4 27
  2. ●23
    Schreibe als gemischte Zahl: 298
    Lösung zeigen
    1. 29 : 8 = 3 Rest 5
    2. = 3 58
    Ergebnis:
    3 58
  3. ★24
    Schreibe als gemischte Zahl: 409
    Lösung zeigen
    1. 40 : 9 = 4 Rest 4
    2. = 4 49
    Ergebnis:
    4 49

9Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Um wie viele Zentimeter übertraf der Weitsprung-Weltrekord von 1991 den von 1968?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bob Beamon sprang 1968 in Mexiko-Stadt 8,90 m. Mike Powell sprang 1991 in Tokio 8,95 m. Die Differenz ist 8,95 − 8,90 = 0,05 m. Das sind genau 5 cm.

MerkenDezimalzahlen addieren

Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.

BeispielDezimalzahlen addieren und subtrahieren

Berechne schriftlich: 38,8 − 4,5
0510152025303540−4,5?38,8
Schritt für Schritt
  1. Komma unter Komma: 38,8 und 4,5 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
  2. Zehntel: 8 − 5 = 3
  3. Einer: 8 − 4 = 4
  4. Zehner: 3 − 0 = 3
  5. = 34,3
  1. Komma unter Komma: 38,8 und 4,5 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
  2. Zehntel: 8 − 5 = 3
  3. Einer: 8 − 4 = 4
  4. Zehner: 3 − 0 = 3
  5. = 34,3
Ergebnis:
34,3

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht
Berechne schriftlich: 72,5 + 9,3 → 71,8
So richtig
Berechne schriftlich: 72,5 + 9,3 → 81,8

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Berechne schriftlich: 72,5 + 9,3
    So fängst du an:
    Komma unter Komma: 72,5 und 9,3 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 72,5 und 9,3 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Zehntel: 5 + 3 = 8
    3. Einer: 2 + 9 = 11 → 1, Übertrag 1
    4. Zehner: 7 + 0 + 1 = 8
    5. = 81,8
    Ergebnis:
    81,8
  2. ●26
    Berechne schriftlich: 67,5 − 9,6
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 67,5 und 9,6 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Zehntel: 5 − 6 geht nicht → 15 − 6 = 9, Übertrag 1
    3. Einer: 7 − 1 (Übertrag) − 9 geht nicht → 16 − 9 = 7, Übertrag 1
    4. Zehner: 6 − 1 (Übertrag) − 0 = 5
    5. = 57,9
    Ergebnis:
    57,9
  3. ★27
    Berechne schriftlich: 48,06 − 32,7
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 48,06 und 32,7 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Hundertstel: 6 − 0 = 6
    3. Zehntel: 0 − 7 geht nicht → 10 − 7 = 3, Übertrag 1
    4. Einer: 8 − 1 (Übertrag) − 2 = 5
    5. Zehner: 4 − 3 = 1
    6. = 15,36
    Ergebnis:
    15,36

10Ich multipliziere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 16 Blätter A4 fast genau einen Quadratmeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt misst 0,21 m mal 0,297 m. Seine Fläche ist 0,21 · 0,297 = 0,06237 m². Mal 16 sind das 0,99792 m², also fast 1 m². Der Grund: A0 ist 1 m² groß, und A4 ist A0 viermal halbiert.

MerkenDezimalzahlen multiplizieren

Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.

So viele Stellen, wie beide Faktoren zusammen haben.

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 2,4 · 0,5
Schritt für Schritt
  1. Kommas weglassen: 24 · 5 = 120
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
  3. Komma 2 Stellen von rechts: 1,2
  1. Kommas weglassen: 24 · 5 = 120
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
  3. Komma 2 Stellen von rechts: 1,2
Ergebnis:
1,2

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht
0,3 · 0,4 = 1,2
So richtig
0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Berechne schriftlich: 0,5 · 4
    So fängst du an:
    Kommas weglassen: 5 · 4 = 20
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 5 · 4 = 20
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
    3. Komma 1 Stelle von rechts: 2
    Ergebnis:
    2
  2. ●29
    Berechne schriftlich: 0,5 · 0,5
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 5 · 5 = 25
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,25
    Ergebnis:
    0,25
  3. ★30
    Berechne schriftlich: 3,4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 34 · 7 = 238
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
    3. Komma 1 Stelle von rechts: 23,8
    Ergebnis:
    23,8

11Ich dividiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele volle 0,2-Liter-Gläser kann man aus einer 1,5-Liter-Flasche einschenken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man teilt 1,5 : 0,2. Beide Zahlen mal 10 ergibt 15 : 2 = 7,5. Es gibt also 7 volle Gläser. Ein halbes Glas bleibt übrig.

MerkenDezimalzahlen dividieren

Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.

Dann schriftlich dividieren.

BeispielDezimalzahlen dividieren

Berechne: 12,57 : 3
Schritt für Schritt
  1. Erst ohne Komma rechnen: 1257 : 3 = 419
  2. Komma: 12,57 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
  3. 12,57 : 3 = 4,19
  1. Erst ohne Komma rechnen: 1257 : 3 = 419
  2. Komma: 12,57 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
  3. 12,57 : 3 = 4,19
Ergebnis:
4,19

AchtungKomma im Ergebnis beim Teilen vergessen oder verschoben

So nicht
Berechne: 12,57 : 3 → 419
So richtig
Berechne: 12,57 : 3 → 4,19

Setz das Komma im Ergebnis, sobald du im Dividenden über das Komma gehst.

ÜbenJetzt du

  1. ○31
    Berechne: 22,5 : 3
    So fängst du an:
    Erst ohne Komma rechnen: 225 : 3 = 75
    Lösung zeigen
    1. Erst ohne Komma rechnen: 225 : 3 = 75
    2. Komma: 22,5 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
    3. 22,5 : 3 = 7,5
    Ergebnis:
    7,5
  2. ●32
    Berechne: 21,84 : 7
    Lösung zeigen
    1. Erst ohne Komma rechnen: 2184 : 7 = 312
    2. Komma: 21,84 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
    3. 21,84 : 7 = 3,12
    Ergebnis:
    3,12
  3. ★33
    Berechne: 22,5 : 2,5
    Lösung zeigen
    1. Komma im Teiler weg: beide Zahlen mal 10
    2. 22,5 : 2,5 = 225 : 25
    3. 225 : 25 = 9
    Ergebnis:
    9

12Ich runde Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum rechnet man in der Schule mit 3,14 für π, obwohl π unendlich viele Stellen nach dem Komma hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

π beginnt mit 3,14159. Auf zwei Stellen gerundet ist die dritte Stelle eine 1, also wird abgerundet: 3,14. Der Fehler ist kleiner als zwei Tausendstel. Für Zeichnungen mit Zirkel und Lineal reicht das völlig.

MerkenRunden

Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

Immer von der Ausgangszahl runden, nie vom gerundeten Zwischenwert: 3,456 ≈ 3,5, nicht 3,46 ≈ 3,5.

BeispielDezimalzahlen runden

Runde 17,578 auf Hundertstel.
17,578
Schritt für Schritt
  1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 7.
  2. Rechts daneben steht 8: aufrunden.
  3. 17,578 ≈ 17,58
  1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 7.
  2. Rechts daneben steht 8: aufrunden.
  3. 17,578 ≈ 17,58
Ergebnis:
17,58

AchtungAbgeschnitten statt gerundet

So nicht
3.470 auf Hunderter → 3.400
So richtig
3.470 auf Hunderter → 3.500

Schau auf die Ziffer rechts von der Rundungsstelle. Ab 5 rundest du auf.

ÜbenJetzt du

  1. ○34
    Runde 20,606 auf Zehntel.
    20,606
    So fängst du an:
    Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 6.
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 6.
    2. Rechts daneben steht 0: abrunden.
    3. 20,606 ≈ 20,6
    Ergebnis:
    20,6
  2. ●35
    Runde 12,975 auf Zehntel.
    1312,975
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 9.
    2. Rechts daneben steht 7: aufrunden.
    3. 12,975 ≈ 13,0
    Ergebnis:
    13,0
  3. ★36
    Runde 15,973 auf Zehntel.
    1615,973
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 9.
    2. Rechts daneben steht 7: aufrunden.
    3. 15,973 ≈ 16,0
    Ergebnis:
    16,0

13Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie breit muss eine Deutschlandfahne sein, die 1,5 m hoch ist, und wie hoch ist jeder Streifen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Höhe und Länge der Bundesflagge stehen im Verhältnis 3 zu 5. Die Länge ist also 5/3 von 1,5 m, das sind 2,5 m. Jeder der drei Streifen ist ein Drittel hoch: 1,5 : 3 = 0,5 m.

MerkenSachaufgaben

Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.

Antwort mit Einheit.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Mia hat 12,00 € gespart. Sie gibt 14 davon für ein Buch aus und danach 2,00 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
  2. Buch: 12 : 4 · 1 = 3
  3. 12 − 3 = 9
  4. 9 − 2 = 7
  1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
  2. Buch: 12 : 4 · 1 = 3
  3. 12 − 3 = 9
  4. 9 − 2 = 7
Ergebnis:
7,00 €

AchtungAnteil umgedreht

So nicht
2/5 von 100 = 250
So richtig
2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○37
    Ein Aquarium fasst 80 Liter. Es ist zu 14 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    So fängst du an:
    Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    2. 14 von 80: 80 : 4 · 1 = 20
    3. Es fehlen 80 − 20 = 60
    4. 60 : 2 = 30
    Ergebnis:
    30 Eimer
  2. ●38
    Für einen Vorhang braucht Frau Lang 2 12 m Stoff. 1 m kostet 7,00 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
    2. 2 12 m sind 2,5 m.
    3. 7 · 2,5 = 17,5
    4. 20 − 17,5 = 2,5
    Ergebnis:
    2,50 €
  3. ★39
    Ein Aquarium fasst 80 Liter. Es ist zu 25 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 4 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    2. 25 von 80: 80 : 5 · 2 = 32
    3. Es fehlen 80 − 32 = 48
    4. 48 : 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Eimer

14Ich berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Wie viele Minuten reine Spielzeit sind drei Viertel eines Basketballspiels?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Basketballspiel hat vier Viertel zu je 10 Minuten, zusammen 40 Minuten. Drei Viertel davon sind 40 : 4 · 3 = 30 Minuten. Nach drei Vierteln stehen also 30 Minuten auf der Uhr.

MerkenBruchteile von Größen

„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Erst durch den Nenner, dann mal den Zähler.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 25 von 100 min.
2/5Ganzes: 100 min2/5 = ?
Schritt für Schritt
  1. 100 : 5 = 20
  2. 20 · 2 = 40
  1. 100 : 5 = 20
  2. 20 · 2 = 40
Ergebnis:
40 min

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht
3/4 von 20 = 20 : 3/4
So richtig
3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○40
    Berechne 34 von 80 kg.
    So fängst du an:
    80 : 4 = 20
    Lösung zeigen
    1. 80 : 4 = 20
    2. 20 · 3 = 60
    Ergebnis:
    60 kg
  2. ●41
    Berechne 25 von 25 €.
    Lösung zeigen
    1. 25 : 5 = 5
    2. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10 €
  3. ★42
    Berechne 25 von 60 min.
    Lösung zeigen
    1. 60 : 5 = 12
    2. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24 min

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●43
    Berechne: 78 + 68
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 78 + 68
    2. = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●44
    Berechne: 34 · 12
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 38
    2. Kürzen mit 1: 38
    Ergebnis:
    38
  3. ●45
    Berechne 34 von 40 min.
    Lösung zeigen
    1. 40 : 4 = 10
    2. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30 min
  4. ●46
    Berechne schriftlich: 2,4 · 0,2
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 24 · 2 = 48
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,48
    Ergebnis:
    0,48
  5. ●47
    Berechne: 810 + 710
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
    2. 8 + 7 = 15 → 1510 = 32
    Ergebnis:
    32
  6. ●48
    Welcher Bruch ist größer: 48 oder 46? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 2448 und 3248
    2. 48 < 46
    Ergebnis:
    48 < 46

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch als Anteil
Nenner: in wie viele gleiche Teile.
Erweitern und Kürzen
Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).
Brüche vergleichen
Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.
Gleichnamige Brüche addieren
Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.
Ungleichnamige Brüche addieren
Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche multiplizieren
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.
Brüche dividieren
Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.
Bruch und Dezimalzahl
Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.
Dezimalzahlen addieren
Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.
Dezimalzahlen multiplizieren
Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.
Dezimalzahlen dividieren
Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.
Runden
Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.
Sachaufgaben
Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.
Bruchteile von Größen
„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

    49
    Welcher Bruch ist größer: 34 oder 25? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34 > 25

  2. Ich erweitere und kürze Brüche.

    50
    Kürze 36 durch 3.
    3/6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  3. Ich vergleiche und ordne Brüche.

    51
    Welcher Bruch ist größer: 28 oder 18? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 > 18

  4. Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

    52
    Berechne: 24 + 14
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  5. Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

    53
    Berechne: 14 + 48
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  6. Ich multipliziere Brüche.

    54
    Berechne: 23 · 12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  7. Ich dividiere Brüche.

    55
    Wie oft passt 12 in 58? Rechne 58 : 12.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  8. Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

    56
    Schreibe als unechten Bruch: 4 56
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    296

  9. Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

    57
    Berechne schriftlich: 47,2 − 6,5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40,7

  10. Ich multipliziere Dezimalzahlen.

    58
    Berechne schriftlich: 1,5 · 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  11. Ich dividiere Dezimalzahlen.

    59
    Berechne: 6,8 : 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,4

  12. Ich runde Dezimalzahlen.

    60
    Runde 9,583 auf Hundertstel.
    9,583
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9,58

  13. Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    61
    Ein Aquarium fasst 60 Liter. Es ist zu 12 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 7,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Eimer

  14. Ich berechne Bruchteile von Größen.

    62
    Berechne 58 von 40 l.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 l

  15. Ich wiederhole das Kapitel spielerisch.

    63
    Berechne: 12 + 34
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erweitern und Kürzen: Brüche vergleichbar machen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Pizza teilen, Tank halb voll, Dreiviertelstunde. Beruf: Handwerk (Zoll-Maße), Musik (Notenwerte), Küche.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Erweitern
Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche als Anteile, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Anteile und Verhältnisse, Daten vergleichen und Zufall untersuchen, Gleichungen und Formeln, Dezimalzahlen, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen, Zuordnungen, Prozentrechnung, Rationale Zahlen, Wahrscheinlichkeit, Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit

Lösungen

  1. 29 < 24
  2. 46 > 59
  3. 79 > 710
  4. 34
  5. 2430
  6. 10
  7. 39 > 29
  8. 49 > 16
  9. 1012 > 815
  10. 12
  11. 34
  12. 43
  13. 38
  14. 54
  15. 1718
  16. 38
  17. 110
  18. 415
  19. 47
  20. 34
  21. 1
  22. 4 27
  23. 3 58
  24. 4 49
  25. 81,8
  26. 57,9
  27. 15,36
  28. 2
  29. 0,25
  30. 23,8
  31. 7,5
  32. 3,12
  33. 9
  34. 20,6
  35. 13,0
  36. 16,0
  37. 30 Eimer
  38. 2,50 €
  39. 12 Eimer
  40. 60 kg
  41. 10 €
  42. 24 min
  43. 138
  44. 38
  45. 30 min
  46. 0,48
  47. 32
  48. 48 < 46
  49. 34 > 25
  50. 12
  51. 28 > 18
  52. 34
  53. 34
  54. 13
  55. 54
  56. 296
  57. 40,7
  58. 9
  59. 3,4
  60. 9,58
  61. 4 Eimer
  62. 25 l
  63. 54
  64. 1, 2, 3, 4, 6, 12
  65. nein