Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Zeichnungen sind zu ungenau, Zähler-Vergleich und Nenner-Vergleich widersprechen sich. Die Klasse kann sich nicht einigen. Bringt man beide auf denselben Nenner, 24/40 und 25/40, ist der Vergleich eine Sache von einem Blick. Das ist Erweitern.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch wird durch einen gemeinsamen Teiler gekürzt – Teiler und Vielfache muss man sehen.

●64
Bestimme alle Teiler von 12.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 12
●65
Ist 454 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
2. 454 prüfen: letzte Ziffern 54
3. Probe: 454 : 10 = 45 Rest 4
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAnteil · Operator · Verhältnis

Ein Bruch ist dreierlei: ein Anteil an einem Ganzen (¾ der Pizza), eine Rechenanweisung (¾ von 20 €) und ein Vergleich (3 zu 4). Jede Aufgabe verlangt eine dieser drei Sichtweisen.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ¾ immer mehr als ½? Und ¾ einer Pizza gegen ½ eines Kuchenblechs?

1Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

EntdeckenFrage

Warum scheiterte ein Burger, nur weil er ein Drittel Pfund wog?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

A&W verkaufte 1980 in den USA den Drittelpfünder billiger als den Viertelpfünder – und verlor, weil viele 1/3 für kleiner hielten als 1/4. Der Nenner sagt, in wie viele Teile geteilt wird.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenBruch als Anteil

Nenner: in wie viele gleiche Teile.

Zähler: wie viele davon. ¾ einer Pizza: in 4 Stücke geteilt, 3 gegessen.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 49 oder 25? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichnamig machen: 2045 und 1845
49 > 25

Gleichnamig machen: 2045 und 1845
49 > 25

Ergebnis:

49 > 25

AchtungNenner addiert

So nicht

3/4 + 2/5 = 5/9

So richtig

3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Nur Zähler addieren, Nenner bleibt.

ÜbenJetzt du

○1
Welcher Bruch ist größer: 36 oder 26? Begründe.
So fängst du an:
Gleichnamig machen: 1836 und 1236
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 1836 und 1236
2. 36 > 26
Ergebnis:
36 > 26
●2
Welcher Bruch ist größer: 13 oder 59? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 927 und 1527
2. 13 < 59
Ergebnis:
13 < 59
★3
Welcher Bruch ist größer: 913 oder 210? Begründe.
Lösung zeigen
1. Als Dezimalzahl: 0,692 und 0,2
2. 913 > 210
Ergebnis:
913 > 210

2Ich erweitere und kürze Brüche.

EntdeckenFrage

Wie teilten die Ägypter drei Brote unter fünf Leuten – ohne Bruchstriche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur mit Stammbrüchen: 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15. Jeder bekam ein Drittel, ein Fünftel und ein Fünfzehntel eines Brotes – und alle gleich viel.

MerkenErweitern und Kürzen

Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).

Der Wert bleibt gleich.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielBrüche erweitern und kürzen

Kürze 68 durch 2.

Schritt für Schritt

Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Zähler: 6 : 2 = 3
Nenner: 8 : 2 = 4

Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Zähler: 6 : 2 = 3
Nenner: 8 : 2 = 4

Ergebnis:

AchtungBeim Erweitern oder Kürzen addiert statt malgenommen

So nicht

1/7 = (1 + 14)/21 = 15/21

So richtig

1/7 = (1 · 3)/(7 · 3) = 3/21

Frag dich: Mit welcher Zahl wurde der Nenner malgenommen? Nimm den Zähler genauso mal.

ÜbenJetzt du

○4
Erweitere 34 mit 4.
So fängst du an:
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Lösung zeigen
1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
2. Zähler: 3 · 4 = 12
3. Nenner: 4 · 4 = 16
Ergebnis:
1216
●5
Erweitere 23 mit 5.
Lösung zeigen
1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
2. Zähler: 2 · 5 = 10
3. Nenner: 3 · 5 = 15
Ergebnis:
1015
★6
Ergänze die fehlende Zahl: 89 = □/54
Lösung zeigen
1. Nenner: 9 · 6 = 54, also erweitert mit 6
2. Zähler: 8 · 6 = 48
Ergebnis:
48

3Ich vergleiche und ordne Brüche.

EntdeckenFrage

Was ist mehr: 5/8 einer Pizza oder 2/3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

2/3, aber knapp. Auf denselben Nenner gebracht heißt es 15/24 gegen 16/24 – erst dann kann man zwei Brüche überhaupt vergleichen.

MerkenBrüche vergleichen

Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.

Sonst gleichnamig machen oder mit ½ und 1 vergleichen.

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 26 oder 27? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichnamig machen: 1442 und 1242
26 > 27

Gleichnamig machen: 1442 und 1242
26 > 27

Ergebnis:

26 > 27

AchtungGrößerer Nenner, größerer Bruch

So nicht

3/8 > 3/4, weil 8 größer ist als 4

So richtig

3/8 < 3/4: Achtel sind kleiner als Viertel

Stell dir eine Pizza vor: Teilst du sie in mehr Stücke, wird jedes Stück kleiner. Vergleiche dann die Stücke.

ÜbenJetzt du

○7
Welcher Bruch ist größer: 23 oder 28? Begründe.
So fängst du an:
Gleichnamig machen: 1624 und 624
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 1624 und 624
2. 23 > 28
Ergebnis:
23 > 28
●8
Welcher Bruch ist größer: 25 oder 27? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 1435 und 1035
2. 25 > 27
Ergebnis:
25 > 27
★9
Welcher Bruch ist größer: 1113 oder 1114? Begründe.
Lösung zeigen
1. Als Dezimalzahl: 0,846 und 0,786
2. 1113 > 1114
Ergebnis:
1113 > 1114

4Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Warum heißt es Viervierteltakt – und was passiert, wenn eine Note zu viel darin steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Notenwerte eines Taktes ergeben zusammen genau 4/4. Eine halbe, eine viertel und zwei achtel Noten sind ein voller Takt; kommt etwas dazu, klingt die Stelle schief.

MerkenGleichnamige Brüche addieren

Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielGleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Berechne: 410 + 910

Schritt für Schritt

Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
4 + 9 = 13 → 1310

Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
4 + 9 = 13 → 1310

Ergebnis:

1310

AchtungNenner mitaddiert

So nicht

Berechne: 4/10 + 9/10 → 13/20

So richtig

Berechne: 4/10 + 9/10 → 13/10

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

○10
Berechne: 14 + 14
So fängst du an:
Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
2. 1 + 1 = 2 → 24 = 12
Ergebnis:
12
●11
Berechne: 58 + 48
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
2. 5 + 4 = 9 → 98
Ergebnis:
98
★12
Berechne: 47 + 47
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 7: nur die Zähler addieren
2. 4 + 4 = 8 → 87
Ergebnis:
87

5Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Wie kann man 1/2 und 1/3 zusammenzählen, wenn die Stücke verschieden groß sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man schneidet beide feiner: Sechstel passen in Halbe und in Drittel. 3/6 und 2/6 sind zusammen 5/6 – erst gleich groß machen, dann zusammenzählen.

MerkenUngleichnamige Brüche addieren

Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Berechne: 34 + 28

Schritt für Schritt

Hauptnenner 8: 68 + 28
= 88 = 11

Hauptnenner 8: 68 + 28
= 88 = 11

Ergebnis:

AchtungNenner erweitert, Zähler nicht

So nicht

Berechne: 3/4 + 2/8 → 5/8

So richtig

Berechne: 3/4 + 2/8 → 1/1

Nimm Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne: 12 + 38
So fängst du an:
Hauptnenner 8: 48 + 38
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 48 + 38
2. = 78
Ergebnis:
78
●14
Berechne: 12 + 28
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 48 + 28
2. = 68 = 34
Ergebnis:
34
★15
Berechne: 24 + 59
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 36: 1836 + 2036
2. = 3836 = 1918
Ergebnis:
1918

6Ich multipliziere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie lang ist eine punktierte Viertelnote, wenn der Punkt die Note um die Hälfte ihrer Länge verlängert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Hälfte einer Viertelnote ist 1/2 · 1/4 = 1/8. Zusammen sind das 1/4 + 1/8 = 3/8. Kürzer gerechnet: 3/2 · 1/4 = 3/8. Die punktierte Viertel dauert also drei Achtel.

MerkenBrüche multiplizieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.

BeispielBruch mal Bruch

Berechne: 26 · 56

Schritt für Schritt

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 1036
Kürzen mit 2: 518

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 1036
Kürzen mit 2: 518

Ergebnis:

518

AchtungÜber Kreuz multipliziert

So nicht

Berechne: 2/6 · 5/6 → 12/30

So richtig

Berechne: 2/6 · 5/6 → 5/18

Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

ÜbenJetzt du

○16
Von 13 einer Pizza isst Lea 1/4. Welcher Anteil der ganzen Pizza ist das? Rechne 14 · 13.
So fängst du an:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 112
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 112
2. Kürzen mit 1: 112
Ergebnis:
112
●17
Berechne: 13 · 36
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 318
2. Kürzen mit 3: 16
Ergebnis:
16
★18
Ein Beet nimmt 18 des Gartens ein. 13 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 13 · 18.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 124
2. Kürzen mit 1: 124
Ergebnis:
124

7Ich dividiere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie viele Viertelstunden passen in ein Fußballspiel von 90 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

90 Minuten sind 3/2 Stunden. Man rechnet 3/2 : 1/4 = 3/2 · 4/1 = 12/2 = 6. Es passen also 6 Viertelstunden hinein. Probe: 6 · 15 Minuten = 90 Minuten.

MerkenBrüche dividieren

Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 12 : 35

Schritt für Schritt

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 53
= 56 = 56

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 53
= 56 = 56

Ergebnis:

AchtungKehrwert vergessen

So nicht

1/2 : 1/4 = 1/8

So richtig

1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 2

Geteilt durch einen Bruch = mal Kehrwert.

ÜbenJetzt du

○19
Berechne: 14 : 34
So fängst du an:
Mit dem Kehrwert multiplizieren: 14 · 43
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 14 · 43
2. = 412 = 13
Ergebnis:
13
●20
Berechne: 34 : 12
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 34 · 21
2. = 64 = 32
Ergebnis:
32
★21
Berechne: 48 : 45
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 48 · 54
2. = 2032 = 58
Ergebnis:
58

8Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

EntdeckenFrage

Warum zeigt der Taschenrechner bei 1 : 4 einfach 0,25, bei 1 : 3 aber eine endlose Reihe von Dreien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/4 lässt sich auf 25/100 erweitern, weil 4 in 100 aufgeht. Also ist 1/4 = 0,25. Die 3 geht in keine Zahl 10, 100, 1.000 und so weiter auf. Darum bleibt beim Teilen immer ein Rest, und die Drei wiederholt sich ohne Ende.

Ausprobieren: Zahlenstrahl mit Lupe

Einen Punkt setzen, hineinzoomen, hinauszoomen – ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Zahlen.

MerkenBruch und Dezimalzahl

Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

Oder den Nenner auf 10, 100 erweitern. ¼ = 0,25, ⅕ = 0,2, ⅓ = 0,333…

BeispielGemischte Zahlen und unechte Brüche

Schreibe als unechten Bruch: 4 27

Schritt für Schritt

4 = 287
287 + 27 = 307

4 = 287
287 + 27 = 307

Ergebnis:

307

AchtungBruchstrich als Komma gelesen

So nicht

Schreibe als gemischte Zahl: 41/9 → 41,9

So richtig

Schreibe als gemischte Zahl: 41/9 → 4 5/9

Lies den Bruchstrich als geteilt. Rechne Zähler durch Nenner.

ÜbenJetzt du

○22
Schreibe als unechten Bruch: 1 68
So fängst du an:
1 = 88
Lösung zeigen
1. 1 = 88
2. 88 + 68 = 148
Ergebnis:
148
●23
Schreibe als gemischte Zahl: 419
Lösung zeigen
1. 41 : 9 = 4 Rest 5
2. = 4 59
Ergebnis:
4 59
★24
Schreibe als unechten Bruch: 3 47
Lösung zeigen
1. 3 = 217
2. 217 + 47 = 257
Ergebnis:
257

9Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Um wie viele Zentimeter übertraf der Weitsprung-Weltrekord von 1991 den von 1968?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bob Beamon sprang 1968 in Mexiko-Stadt 8,90 m. Mike Powell sprang 1991 in Tokio 8,95 m. Die Differenz ist 8,95 − 8,90 = 0,05 m. Das sind genau 5 cm.

MerkenDezimalzahlen addieren

Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.

BeispielDezimalzahlen addieren und subtrahieren

Berechne schriftlich: 76,1 − 2,3

Schritt für Schritt

Komma unter Komma: 76,1 und 2,3 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Zehntel: 1 − 3 geht nicht → 11 − 3 = 8, Übertrag 1
Einer: 6 − 1 (Übertrag) − 2 = 3
Zehner: 7 − 0 = 7
= 73,8

Komma unter Komma: 76,1 und 2,3 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Zehntel: 1 − 3 geht nicht → 11 − 3 = 8, Übertrag 1
Einer: 6 − 1 (Übertrag) − 2 = 3
Zehner: 7 − 0 = 7
= 73,8

Ergebnis:

73,8

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht

Berechne schriftlich: 76,1 − 2,3 → 74,2

So richtig

Berechne schriftlich: 76,1 − 2,3 → 73,8

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

○25
Berechne schriftlich: 34 + 7,6
So fängst du an:
Komma unter Komma: 34 und 7,6 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 34 und 7,6 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Zehntel: 0 + 6 = 6
3. Einer: 4 + 7 = 11 → 1, Übertrag 1
4. Zehner: 3 + 0 + 1 = 4
5. = 41,6
Ergebnis:
41,6
●26
Berechne schriftlich: 66,1 + 2,1
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 66,1 und 2,1 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Zehntel: 1 + 1 = 2
3. Einer: 6 + 2 = 8
4. Zehner: 6 + 0 = 6
5. = 68,2
Ergebnis:
68,2
★27
Berechne schriftlich: 84,2 + 6,71
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 84,2 und 6,71 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Hundertstel: 0 + 1 = 1
3. Zehntel: 2 + 7 = 9
4. Einer: 4 + 6 = 10 → 0, Übertrag 1
5. Zehner: 8 + 0 + 1 = 9
6. = 90,91
Ergebnis:
90,91

10Ich multipliziere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 16 Blätter A4 fast genau einen Quadratmeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt misst 0,21 m mal 0,297 m. Seine Fläche ist 0,21 · 0,297 = 0,06237 m². Mal 16 sind das 0,99792 m², also fast 1 m². Der Grund: A0 ist 1 m² groß, und A4 ist A0 viermal halbiert.

MerkenDezimalzahlen multiplizieren

Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.

So viele Stellen, wie beide Faktoren zusammen haben.

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 0,3 · 0,5

Schritt für Schritt

Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
Komma 2 Stellen von rechts: 0,15

Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
Komma 2 Stellen von rechts: 0,15

Ergebnis:

0,15

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht

0,3 · 0,4 = 1,2

So richtig

0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen zählen.

ÜbenJetzt du

○28
Berechne schriftlich: 0,5 · 0,2
So fängst du an:
Kommas weglassen: 5 · 2 = 10
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 5 · 2 = 10
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,1
Ergebnis:
0,1
●29
Berechne schriftlich: 0,3 · 0,2
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 3 · 2 = 6
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,06
Ergebnis:
0,06
★30
Berechne schriftlich: 1,25 · 0,6
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 125 · 6 = 750
2. Nachkommastellen zählen: 2 + 1 = 3
3. Komma 3 Stellen von rechts: 0,75
Ergebnis:
0,75

11Ich dividiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele volle 0,2-Liter-Gläser kann man aus einer 1,5-Liter-Flasche einschenken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man teilt 1,5 : 0,2. Beide Zahlen mal 10 ergibt 15 : 2 = 7,5. Es gibt also 7 volle Gläser. Ein halbes Glas bleibt übrig.

MerkenDezimalzahlen dividieren

Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.

Dann schriftlich dividieren.

BeispielDezimalzahlen dividieren

Berechne: 11,6 : 2

Schritt für Schritt

Erst ohne Komma rechnen: 116 : 2 = 58
Komma: 11,6 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
11,6 : 2 = 5,8

Erst ohne Komma rechnen: 116 : 2 = 58
Komma: 11,6 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
11,6 : 2 = 5,8

Ergebnis:

5,8

AchtungKomma im Ergebnis beim Teilen vergessen oder verschoben

So nicht

Berechne: 11,6 : 2 → 58

So richtig

Berechne: 11,6 : 2 → 5,8

Setz das Komma im Ergebnis, sobald du im Dividenden über das Komma gehst.

ÜbenJetzt du

○31
Berechne: 14,1 : 3
So fängst du an:
Erst ohne Komma rechnen: 141 : 3 = 47
Lösung zeigen
1. Erst ohne Komma rechnen: 141 : 3 = 47
2. Komma: 14,1 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
3. 14,1 : 3 = 4,7
Ergebnis:
4,7
●32
Berechne: 11,1 : 3
Lösung zeigen
1. Erst ohne Komma rechnen: 111 : 3 = 37
2. Komma: 11,1 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
3. 11,1 : 3 = 3,7
Ergebnis:
3,7
★33
Berechne: 6 : 0,25
Lösung zeigen
1. Komma im Teiler weg: beide Zahlen mal 100
2. 6 : 0,25 = 600 : 25
3. 600 : 25 = 24
Ergebnis:
24

12Ich runde Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum rechnet man in der Schule mit 3,14 für π, obwohl π unendlich viele Stellen nach dem Komma hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

π beginnt mit 3,14159. Auf zwei Stellen gerundet ist die dritte Stelle eine 1, also wird abgerundet: 3,14. Der Fehler ist kleiner als zwei Tausendstel. Für Zeichnungen mit Zirkel und Lineal reicht das völlig.

MerkenRunden

Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

Immer von der Ausgangszahl runden, nie vom gerundeten Zwischenwert: 3,456 ≈ 3,5, nicht 3,46 ≈ 3,5.

BeispielDezimalzahlen runden

Runde 21,176 auf Hundertstel.

Schritt für Schritt

Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 7.
Rechts daneben steht 6: aufrunden.
21,176 ≈ 21,18

Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 7.
Rechts daneben steht 6: aufrunden.
21,176 ≈ 21,18

Ergebnis:

21,18

AchtungAbgeschnitten statt gerundet

So nicht

3.470 auf Hunderter → 3.400

So richtig

3.470 auf Hunderter → 3.500

Schau auf die Ziffer rechts von der Rundungsstelle. Ab 5 rundest du auf.

ÜbenJetzt du

○34
Runde 17,493 auf Zehntel.
So fängst du an:
Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 4.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 4.
2. Rechts daneben steht 9: aufrunden.
3. 17,493 ≈ 17,5
Ergebnis:
17,5
●35
Runde 15,309 auf Zehntel.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 3.
2. Rechts daneben steht 0: abrunden.
3. 15,309 ≈ 15,3
Ergebnis:
15,3
★36
Runde 17,994 auf Zehntel.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 9.
2. Rechts daneben steht 9: aufrunden.
3. 17,994 ≈ 18,0
Ergebnis:
18,0

13Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie breit muss eine Deutschlandfahne sein, die 1,5 m hoch ist, und wie hoch ist jeder Streifen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Höhe und Länge der Bundesflagge stehen im Verhältnis 3 zu 5. Die Länge ist also 5/3 von 1,5 m, das sind 2,5 m. Jeder der drei Streifen ist ein Drittel hoch: 1,5 : 3 = 0,5 m.

MerkenSachaufgaben

Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.

Antwort mit Einheit.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Für einen Vorhang braucht Frau Lang 3 14 m Stoff. 1 m kostet 8,00 €. Sie bezahlt mit einem 50-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
3 14 m sind 3,25 m.
8 · 3,25 = 26
50 − 26 = 24

Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
3 14 m sind 3,25 m.
8 · 3,25 = 26
50 − 26 = 24

Ergebnis:

24,00 €

AchtungAnteil umgedreht

So nicht

2/5 von 100 = 250

So richtig

2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

○37
Für 4 Personen braucht man 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 8 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 2,00 €. Was kosten die Kartoffeln?
So fängst du an:
Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
2. 12 kg sind 0,5 kg.
3. 0,5 : 4 · 8 = 1
4. 1 · 2 = 2
Ergebnis:
2,00 €
●38
Für 4 Personen braucht man 1 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 2 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 3,20 €. Was kosten die Kartoffeln?
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Menge für 2 Personen, dann der Preis.
2. 1 12 kg sind 1,5 kg.
3. 1,5 : 4 · 2 = 0,75
4. 0,75 · 3,2 = 2,4
Ergebnis:
2,40 €
★39
Für einen Vorhang braucht Frau Lang 1 12 m Stoff. 1 m kostet 3,40 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
2. 1 12 m sind 1,5 m.
3. 3,4 · 1,5 = 5,1
4. 20 − 5,1 = 14,9
Ergebnis:
14,90 €

14Ich berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Wie viele Minuten reine Spielzeit sind drei Viertel eines Basketballspiels?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Basketballspiel hat vier Viertel zu je 10 Minuten, zusammen 40 Minuten. Drei Viertel davon sind 40 : 4 · 3 = 30 Minuten. Nach drei Vierteln stehen also 30 Minuten auf der Uhr.

MerkenBruchteile von Größen

„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Erst durch den Nenner, dann mal den Zähler.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 23 von 60 kg.

Schritt für Schritt

60 : 3 = 20
20 · 2 = 40

60 : 3 = 20
20 · 2 = 40

Ergebnis:

40 kg

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht

3/4 von 20 = 20 : 3/4

So richtig

3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

○40
Berechne 25 von 25 €.
So fängst du an:
25 : 5 = 5
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5
2. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10 €
●41
Berechne 23 von 15 €.
Lösung zeigen
1. 15 : 3 = 5
2. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10 €
★42
Berechne 23 von 36 min.
Lösung zeigen
1. 36 : 3 = 12
2. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24 min

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●43
Berechne: 24 + 38
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 48 + 38
2. = 78
Ergebnis:
78
●44
Berechne: 34 · 17
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 328
2. Kürzen mit 1: 328
Ergebnis:
328
●45
Berechne 25 von 100 l.
Lösung zeigen
1. 100 : 5 = 20
2. 20 · 2 = 40
Ergebnis:
40 l
●46
Berechne: 46 + 26
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
2. 4 + 2 = 6 → 66 = 11
Ergebnis:
11
●47
Welcher Bruch ist größer: 47 oder 49? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 3663 und 2863
2. 47 > 49
Ergebnis:
47 > 49
●48
Berechne: 12 : 37
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 73
2. = 76 = 76
Ergebnis:
76

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch als Anteil: Nenner: in wie viele gleiche Teile.
Erweitern und Kürzen: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).
Brüche vergleichen: Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.
Gleichnamige Brüche addieren: Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.
Ungleichnamige Brüche addieren: Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.
Brüche dividieren: Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.
Bruch und Dezimalzahl: Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.
Dezimalzahlen addieren: Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.
Dezimalzahlen multiplizieren: Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.
Dezimalzahlen dividieren: Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.
Runden: Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.
Sachaufgaben: Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.
Bruchteile von Größen: „von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.
49
Welcher Bruch ist größer: 25 oder 28? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 > 28
Ich erweitere und kürze Brüche.
50
Erweitere 27 mit 5.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1035
Ich vergleiche und ordne Brüche.
51
Welcher Bruch ist größer: 16 oder 57? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
16 < 57
Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.
52
Berechne: 810 + 910
Lösung zeigen
Ergebnis:
1710
Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.
53
Berechne: 48 + 14
Lösung zeigen
Ergebnis:
34
Ich multipliziere Brüche.
54
Berechne: 13 · 23
Lösung zeigen
Ergebnis:
29
Ich dividiere Brüche.
55
Berechne: 57 : 14
Lösung zeigen
Ergebnis:
207
Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.
56
Schreibe als unechten Bruch: 1 37
Lösung zeigen
Ergebnis:
107
Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.
57
Berechne schriftlich: 89,4 − 4,9
Lösung zeigen
Ergebnis:
84,5
Ich multipliziere Dezimalzahlen.
58
Berechne schriftlich: 1,5 · 6
Lösung zeigen
Ergebnis:
9
Ich dividiere Dezimalzahlen.
59
Berechne: 26 : 4
Lösung zeigen
Ergebnis:
6,5
Ich runde Dezimalzahlen.
60
Runde 5,843 auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5,8
Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.
61
Ein Aquarium fasst 40 Liter. Es ist zu 12 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 4 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Eimer
Ich berechne Bruchteile von Größen.
62
Berechne 58 von 40 min.
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 min
Ich wiederhole das Kapitel spielerisch.
63
Berechne: 34 + 14
Lösung zeigen
Ergebnis:
11

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erweitern und Kürzen: Brüche vergleichbar machen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Pizza teilen, Tank halb voll, Dreiviertelstunde. Beruf: Handwerk (Zoll-Maße), Musik (Notenwerte), Küche.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Gleichnamig: gleicher Nenner – gleich große Teile
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche als Anteile, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Anteile und Verhältnisse, Daten vergleichen und Zufall untersuchen, Gleichungen und Formeln, Dezimalzahlen, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen, Zuordnungen, Prozentrechnung, Rationale Zahlen, Wahrscheinlichkeit, Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit

Lösungen

36 > 26
13 < 59
913 > 210
1216
1015
48
23 > 28
25 > 27
1113 > 1114
12
98
87
78
34
1918
112
16
124
13
32
58
148
4 59
257
41,6
68,2
90,91
0,1
0,06
0,75
4,7
3,7
24
17,5
15,3
18,0
2,00 €
2,40 €
14,90 €
10 €
10 €
24 min
78
328
40 l
11
47 > 49
76
25 > 28
1035
16 < 57
1710
34
29
207
107
84,5
9
6,5
5,8
5 Eimer
25 min
11
1, 2, 3, 4, 6, 12
nein