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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Zeichnungen sind zu ungenau, Zähler-Vergleich und Nenner-Vergleich widersprechen sich. Die Klasse kann sich nicht einigen. Bringt man beide auf denselben Nenner, 24/40 und 25/40, ist der Vergleich eine Sache von einem Blick. Das ist Erweitern.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch wird durch einen gemeinsamen Teiler gekürzt – Teiler und Vielfache muss man sehen.

  1. ●64
    Bestimme alle Teiler von 48.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  2. ●65
    Ist 549 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 18 durch 9 teilbar?
    2. 549 prüfen: Quersumme 18, 18 : 9 = 2
    3. Probe: 549 : 9 = 61
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAnteil · Operator · Verhältnis

Ein Bruch ist dreierlei: ein Anteil an einem Ganzen (¾ der Pizza), eine Rechenanweisung (¾ von 20 €) und ein Vergleich (3 zu 4). Jede Aufgabe verlangt eine dieser drei Sichtweisen.

Ein Bruch dreimal: drei Viertel einer Pizza, drei Viertel von 20 Euro sind 15 Euro, drei zu vierAnteil3/4 der Pizza5 €5 €5 €5 €Operator3/4 von 20 € = 15 €Verhältnis3 zu 4

WeiterdenkenDenk nach

Ist ¾ immer mehr als ½? Und ¾ einer Pizza gegen ½ eines Kuchenblechs?

1Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

EntdeckenFrage

Warum scheiterte ein Burger, nur weil er ein Drittel Pfund wog?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

A&W verkaufte 1980 in den USA den Drittelpfünder billiger als den Viertelpfünder – und verlor, weil viele 1/3 für kleiner hielten als 1/4. Der Nenner sagt, in wie viele Teile geteilt wird.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenBruch als Anteil

Nenner: in wie viele gleiche Teile.

Zähler: wie viele davon. ¾ einer Pizza: in 4 Stücke geteilt, 3 gegessen.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 24 oder 16? Begründe.
2/4?1/6
Schritt für Schritt
  1. Gleichnamig machen: 1224 und 424
  2. 24 > 16
  1. Gleichnamig machen: 1224 und 424
  2. 24 > 16
Ergebnis:
24 > 16

AchtungNenner addiert

So nicht
3/4 + 2/5 = 5/9
So richtig
3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Nur Zähler addieren, Nenner bleibt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Bruch ist größer: 27 oder 39? Begründe.
    So fängst du an:
    Gleichnamig machen: 1863 und 2163
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 1863 und 2163
    2. 27 < 39
    Ergebnis:
    27 < 39
  2. ●2
    Welcher Bruch ist größer: 27 oder 12? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 414 und 714
    2. 27 < 12
    Ergebnis:
    27 < 12
  3. ★3
    Welcher Bruch ist größer: 613 oder 312? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Als Dezimalzahl: 0,462 und 0,25
    2. 613 > 312
    Ergebnis:
    613 > 312

2Ich erweitere und kürze Brüche.

EntdeckenFrage

Wie teilten die Ägypter drei Brote unter fünf Leuten – ohne Bruchstriche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur mit Stammbrüchen: 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15. Jeder bekam ein Drittel, ein Fünftel und ein Fünfzehntel eines Brotes – und alle gleich viel.

MerkenErweitern und Kürzen

Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).

Der Wert bleibt gleich.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielBrüche erweitern und kürzen

Kürze 1824 durch 6.
18/24
Schritt für Schritt
  1. Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
  2. Zähler: 18 : 6 = 3
  3. Nenner: 24 : 6 = 4
  1. Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
  2. Zähler: 18 : 6 = 3
  3. Nenner: 24 : 6 = 4
Ergebnis:
34

AchtungBeim Erweitern oder Kürzen addiert statt malgenommen

So nicht
1/7 = (1 + 14)/21 = 15/21
So richtig
1/7 = (1 · 3)/(7 · 3) = 3/21

Frag dich: Mit welcher Zahl wurde der Nenner malgenommen? Nimm den Zähler genauso mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Erweitere 13 mit 6.
    1/3
    So fängst du an:
    Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
    Lösung zeigen
    1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
    2. Zähler: 1 · 6 = 6
    3. Nenner: 3 · 6 = 18
    Ergebnis:
    618
  2. ●5
    Kürze 612 durch 6.
    6/12
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
    2. Zähler: 6 : 6 = 1
    3. Nenner: 12 : 6 = 2
    Ergebnis:
    12
  3. ★6
    Ergänze die fehlende Zahl: 56 = □/42
    5/6
    Lösung zeigen
    1. Nenner: 6 · 7 = 42, also erweitert mit 7
    2. Zähler: 5 · 7 = 35
    Ergebnis:
    35

3Ich vergleiche und ordne Brüche.

EntdeckenFrage

Was ist mehr: 5/8 einer Pizza oder 2/3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

2/3, aber knapp. Auf denselben Nenner gebracht heißt es 15/24 gegen 16/24 – erst dann kann man zwei Brüche überhaupt vergleichen.

MerkenBrüche vergleichen

Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.

Sonst gleichnamig machen oder mit ½ und 1 vergleichen.

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 46 oder 37? Begründe.
4/6?3/7
Schritt für Schritt
  1. Gleichnamig machen: 2842 und 1842
  2. 46 > 37
  1. Gleichnamig machen: 2842 und 1842
  2. 46 > 37
Ergebnis:
46 > 37

AchtungGrößerer Nenner, größerer Bruch

So nicht
3/8 > 3/4, weil 8 größer ist als 4
So richtig
3/8 < 3/4: Achtel sind kleiner als Viertel

Stell dir eine Pizza vor: Teilst du sie in mehr Stücke, wird jedes Stück kleiner. Vergleiche dann die Stücke.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welcher Bruch ist größer: 28 oder 24? Begründe.
    So fängst du an:
    Gleichnamig machen: 832 und 1632
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 832 und 1632
    2. 28 < 24
    Ergebnis:
    28 < 24
  2. ●8
    Welcher Bruch ist größer: 28 oder 57? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 1456 und 4056
    2. 28 < 57
    Ergebnis:
    28 < 57
  3. ★9
    Welcher Bruch ist größer: 17 oder 812? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Als Dezimalzahl: 0,143 und 0,667
    2. 17 < 812
    Ergebnis:
    17 < 812

4Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Warum heißt es Viervierteltakt – und was passiert, wenn eine Note zu viel darin steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Notenwerte eines Taktes ergeben zusammen genau 4/4. Eine halbe, eine viertel und zwei achtel Noten sind ein voller Takt; kommt etwas dazu, klingt die Stelle schief.

MerkenGleichnamige Brüche addieren

Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielGleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Berechne: 56 + 56
5/6+5/6
Schritt für Schritt
  1. Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
  2. 5 + 5 = 10 → 106 = 53
  1. Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
  2. 5 + 5 = 10 → 106 = 53
Ergebnis:
53

AchtungNenner mitaddiert

So nicht
Berechne: 5/6 + 5/6 → 10/12
So richtig
Berechne: 5/6 + 5/6 → 5/3

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Berechne: 310 + 910
    So fängst du an:
    Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
    2. 3 + 9 = 12 → 1210 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●11
    Berechne: 28 + 38
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
    2. 2 + 3 = 5 → 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★12
    Berechne: 49 − 19
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 9: nur die Zähler subtrahieren
    2. 4 − 1 = 3 → 39 = 13
    Ergebnis:
    13

5Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Wie kann man 1/2 und 1/3 zusammenzählen, wenn die Stücke verschieden groß sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man schneidet beide feiner: Sechstel passen in Halbe und in Drittel. 3/6 und 2/6 sind zusammen 5/6 – erst gleich groß machen, dann zusammenzählen.

MerkenUngleichnamige Brüche addieren

Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Für einen Kuchen braucht man 12 kg Mehl und 38 kg Zucker. Wie viel Kilogramm sind das zusammen? Rechne 12 + 38.
1/2+3/8
Schritt für Schritt
  1. Hauptnenner 8: 48 + 38
  2. = 78
  1. Hauptnenner 8: 48 + 38
  2. = 78
Ergebnis:
78

AchtungRechenart im Rechenschritt verwechselt

So nicht
Berechne: 3/8 + 6/8 → 18/64
So richtig
Berechne: 3/8 + 6/8 → 9/8

Sag in Worten, was in diesem Schritt passiert: dazu, weg, verteilen oder vervielfachen. Wähle dann die Rechenart.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne: 38 + 68
    So fängst du an:
    Hauptnenner 8: 38 + 68
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 38 + 68
    2. = 98
    Ergebnis:
    98
  2. ●14
    Tom trinkt 24 Liter Saft, Mia 34 Liter. Wie viel Liter sind das zusammen? Rechne 24 + 34.
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 4: 24 + 34
    2. = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Für einen Kuchen braucht man 13 kg Mehl und 58 kg Zucker. Wie viel Kilogramm sind das zusammen? Rechne 13 + 58.
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 24: 824 + 1524
    2. = 2324
    Ergebnis:
    2324

6Ich multipliziere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie lang ist eine punktierte Viertelnote, wenn der Punkt die Note um die Hälfte ihrer Länge verlängert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Hälfte einer Viertelnote ist 1/2 · 1/4 = 1/8. Zusammen sind das 1/4 + 1/8 = 3/8. Kürzer gerechnet: 3/2 · 1/4 = 3/8. Die punktierte Viertel dauert also drei Achtel.

MerkenBrüche multiplizieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.

BeispielBruch mal Bruch

Ein Beet nimmt 28 des Gartens ein. 36 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 36 · 28.
2/8·3/6
Schritt für Schritt
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 648
  2. Kürzen mit 6: 18
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 648
  2. Kürzen mit 6: 18
Ergebnis:
18

AchtungÜber Kreuz multipliziert

So nicht
Berechne: 1/3 · 4/6 → 6/12
So richtig
Berechne: 1/3 · 4/6 → 2/9

Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Beet nimmt 25 des Gartens ein. 36 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 36 · 25.
    So fängst du an:
    Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 630
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 630
    2. Kürzen mit 6: 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●17
    Berechne: 13 · 46
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 418
    2. Kürzen mit 2: 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★18
    Ein Beet nimmt 46 des Gartens ein. 45 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 45 · 46.
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 1630
    2. Kürzen mit 2: 815
    Ergebnis:
    815

7Ich dividiere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie viele Viertelstunden passen in ein Fußballspiel von 90 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

90 Minuten sind 3/2 Stunden. Man rechnet 3/2 : 1/4 = 3/2 · 4/1 = 12/2 = 6. Es passen also 6 Viertelstunden hinein. Probe: 6 · 15 Minuten = 90 Minuten.

MerkenBrüche dividieren

Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 23 : 12
2/3:1/2
Schritt für Schritt
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 23 · 21
  2. = 43 = 43
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 23 · 21
  2. = 43 = 43
Ergebnis:
43

AchtungKehrwert vergessen

So nicht
1/2 : 1/4 = 1/8
So richtig
1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 2

Geteilt durch einen Bruch = mal Kehrwert.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie oft passt 24 in 45? Rechne 45 : 24.
    So fängst du an:
    Mit dem Kehrwert multiplizieren: 45 · 42
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 45 · 42
    2. = 1610 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●20
    Berechne: 35 : 15
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 35 · 51
    2. = 155 = 3
    Ergebnis:
    3
  3. ★21
    Berechne: 38 : 13
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 38 · 31
    2. = 98 = 98
    Ergebnis:
    98

8Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

EntdeckenFrage

Warum zeigt der Taschenrechner bei 1 : 4 einfach 0,25, bei 1 : 3 aber eine endlose Reihe von Dreien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/4 lässt sich auf 25/100 erweitern, weil 4 in 100 aufgeht. Also ist 1/4 = 0,25. Die 3 geht in keine Zahl 10, 100, 1.000 und so weiter auf. Darum bleibt beim Teilen immer ein Rest, und die Drei wiederholt sich ohne Ende.

Ausprobieren: Zahlenstrahl mit Lupe

Einen Punkt setzen, hineinzoomen, hinauszoomen – ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Zahlen.

MerkenBruch und Dezimalzahl

Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

Oder den Nenner auf 10, 100 erweitern. ¼ = 0,25, ⅕ = 0,2, ⅓ = 0,333…

BeispielGemischte Zahlen und unechte Brüche

Schreibe als unechten Bruch: 5 34
3/4
Schritt für Schritt
  1. 5 = 204
  2. 204 + 34 = 234
  1. 5 = 204
  2. 204 + 34 = 234
Ergebnis:
234

AchtungBruchstrich als Komma gelesen

So nicht
3/5 = 3,5
So richtig
3/5 = 3 : 5 = 0,6

Lies den Bruchstrich als geteilt. Rechne Zähler durch Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schreibe als unechten Bruch: 1 35
    So fängst du an:
    1 = 55
    Lösung zeigen
    1. 1 = 55
    2. 55 + 35 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●23
    Schreibe als unechten Bruch: 3 27
    Lösung zeigen
    1. 3 = 217
    2. 217 + 27 = 237
    Ergebnis:
    237
  3. ★24
    Schreibe als unechten Bruch: 3 67
    Lösung zeigen
    1. 3 = 217
    2. 217 + 67 = 277
    Ergebnis:
    277

9Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Um wie viele Zentimeter übertraf der Weitsprung-Weltrekord von 1991 den von 1968?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bob Beamon sprang 1968 in Mexiko-Stadt 8,90 m. Mike Powell sprang 1991 in Tokio 8,95 m. Die Differenz ist 8,95 − 8,90 = 0,05 m. Das sind genau 5 cm.

MerkenDezimalzahlen addieren

Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.

BeispielDezimalzahlen addieren und subtrahieren

Berechne schriftlich: 63,2 − 1,6
0102030405060−1,6?63,2
Schritt für Schritt
  1. Komma unter Komma: 63,2 und 1,6 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
  2. Zehntel: 2 − 6 geht nicht → 12 − 6 = 6, Übertrag 1
  3. Einer: 3 − 1 (Übertrag) − 1 = 1
  4. Zehner: 6 − 0 = 6
  5. = 61,6
  1. Komma unter Komma: 63,2 und 1,6 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
  2. Zehntel: 2 − 6 geht nicht → 12 − 6 = 6, Übertrag 1
  3. Einer: 3 − 1 (Übertrag) − 1 = 1
  4. Zehner: 6 − 0 = 6
  5. = 61,6
Ergebnis:
61,6

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht
Berechne schriftlich: 63,2 − 1,6 → 62,4
So richtig
Berechne schriftlich: 63,2 − 1,6 → 61,6

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Berechne schriftlich: 25 + 2,2
    So fängst du an:
    Komma unter Komma: 25 und 2,2 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 25 und 2,2 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Zehntel: 0 + 2 = 2
    3. Einer: 5 + 2 = 7
    4. Zehner: 2 + 0 = 2
    5. = 27,2
    Ergebnis:
    27,2
  2. ●26
    Berechne schriftlich: 94,6 − 6,4
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 94,6 und 6,4 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Zehntel: 6 − 4 = 2
    3. Einer: 4 − 6 geht nicht → 14 − 6 = 8, Übertrag 1
    4. Zehner: 9 − 1 (Übertrag) − 0 = 8
    5. = 88,2
    Ergebnis:
    88,2
  3. ★27
    Berechne schriftlich: 51,1 − 7,32
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 51,1 und 7,32 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Hundertstel: 0 − 2 geht nicht → 10 − 2 = 8, Übertrag 1
    3. Zehntel: 1 − 1 (Übertrag) − 3 geht nicht → 10 − 3 = 7, Übertrag 1
    4. Einer: 1 − 1 (Übertrag) − 7 geht nicht → 10 − 7 = 3, Übertrag 1
    5. Zehner: 5 − 1 (Übertrag) − 0 = 4
    6. = 43,78
    Ergebnis:
    43,78

10Ich multipliziere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 16 Blätter A4 fast genau einen Quadratmeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt misst 0,21 m mal 0,297 m. Seine Fläche ist 0,21 · 0,297 = 0,06237 m². Mal 16 sind das 0,99792 m², also fast 1 m². Der Grund: A0 ist 1 m² groß, und A4 ist A0 viermal halbiert.

MerkenDezimalzahlen multiplizieren

Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.

So viele Stellen, wie beide Faktoren zusammen haben.

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 2,4 · 0,5
Schritt für Schritt
  1. Kommas weglassen: 24 · 5 = 120
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
  3. Komma 2 Stellen von rechts: 1,2
  1. Kommas weglassen: 24 · 5 = 120
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
  3. Komma 2 Stellen von rechts: 1,2
Ergebnis:
1,2

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht
0,3 · 0,4 = 1,2
So richtig
0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Berechne schriftlich: 1,5 · 6
    So fängst du an:
    Kommas weglassen: 15 · 6 = 90
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 15 · 6 = 90
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
    3. Komma 1 Stelle von rechts: 9
    Ergebnis:
    9
  2. ●29
    Berechne schriftlich: 0,5 · 0,2
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 5 · 2 = 10
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,1
    Ergebnis:
    0,1
  3. ★30
    Berechne schriftlich: 8,65 · 0,6
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 865 · 6 = 5190
    2. Nachkommastellen zählen: 2 + 1 = 3
    3. Komma 3 Stellen von rechts: 5,19
    Ergebnis:
    5,19

11Ich dividiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele volle 0,2-Liter-Gläser kann man aus einer 1,5-Liter-Flasche einschenken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man teilt 1,5 : 0,2. Beide Zahlen mal 10 ergibt 15 : 2 = 7,5. Es gibt also 7 volle Gläser. Ein halbes Glas bleibt übrig.

MerkenDezimalzahlen dividieren

Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.

Dann schriftlich dividieren.

BeispielDezimalzahlen dividieren

Berechne: 16,74 : 9
Schritt für Schritt
  1. Erst ohne Komma rechnen: 1674 : 9 = 186
  2. Komma: 16,74 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
  3. 16,74 : 9 = 1,86
  1. Erst ohne Komma rechnen: 1674 : 9 = 186
  2. Komma: 16,74 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
  3. 16,74 : 9 = 1,86
Ergebnis:
1,86

AchtungKomma im Ergebnis beim Teilen vergessen oder verschoben

So nicht
Berechne: 16,74 : 9 → 186
So richtig
Berechne: 16,74 : 9 → 1,86

Setz das Komma im Ergebnis, sobald du im Dividenden über das Komma gehst.

ÜbenJetzt du

  1. ○31
    Berechne: 13,2 : 4
    So fängst du an:
    Erst ohne Komma rechnen: 132 : 4 = 33
    Lösung zeigen
    1. Erst ohne Komma rechnen: 132 : 4 = 33
    2. Komma: 13,2 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
    3. 13,2 : 4 = 3,3
    Ergebnis:
    3,3
  2. ●32
    Berechne: 22,8 : 4
    Lösung zeigen
    1. Erst ohne Komma rechnen: 228 : 4 = 57
    2. Komma: 22,8 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
    3. 22,8 : 4 = 5,7
    Ergebnis:
    5,7
  3. ★33
    Berechne: 21 : 0,6
    Lösung zeigen
    1. Komma im Teiler weg: beide Zahlen mal 10
    2. 21 : 0,6 = 210 : 6
    3. 210 : 6 = 35
    Ergebnis:
    35

12Ich runde Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum rechnet man in der Schule mit 3,14 für π, obwohl π unendlich viele Stellen nach dem Komma hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

π beginnt mit 3,14159. Auf zwei Stellen gerundet ist die dritte Stelle eine 1, also wird abgerundet: 3,14. Der Fehler ist kleiner als zwei Tausendstel. Für Zeichnungen mit Zirkel und Lineal reicht das völlig.

MerkenRunden

Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

Immer von der Ausgangszahl runden, nie vom gerundeten Zwischenwert: 3,456 ≈ 3,5, nicht 3,46 ≈ 3,5.

BeispielDezimalzahlen runden

Runde 28,785 auf Zehntel.
28,785
Schritt für Schritt
  1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 7.
  2. Rechts daneben steht 8: aufrunden.
  3. 28,785 ≈ 28,8
  1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 7.
  2. Rechts daneben steht 8: aufrunden.
  3. 28,785 ≈ 28,8
Ergebnis:
28,8

AchtungAbgeschnitten statt gerundet

So nicht
3.470 auf Hunderter → 3.400
So richtig
3.470 auf Hunderter → 3.500

Schau auf die Ziffer rechts von der Rundungsstelle. Ab 5 rundest du auf.

ÜbenJetzt du

  1. ○34
    Runde 11,334 auf Hundertstel.
    11,334
    So fängst du an:
    Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 3.
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 3.
    2. Rechts daneben steht 4: abrunden.
    3. 11,334 ≈ 11,33
    Ergebnis:
    11,33
  2. ●35
    Runde 28,292 auf Hundertstel.
    28,292
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 9.
    2. Rechts daneben steht 2: abrunden.
    3. 28,292 ≈ 28,29
    Ergebnis:
    28,29
  3. ★36
    Runde 19,975 auf Zehntel.
    2019,975
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 9.
    2. Rechts daneben steht 7: aufrunden.
    3. 19,975 ≈ 20,0
    Ergebnis:
    20,0

13Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie breit muss eine Deutschlandfahne sein, die 1,5 m hoch ist, und wie hoch ist jeder Streifen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Höhe und Länge der Bundesflagge stehen im Verhältnis 3 zu 5. Die Länge ist also 5/3 von 1,5 m, das sind 2,5 m. Jeder der drei Streifen ist ein Drittel hoch: 1,5 : 3 = 0,5 m.

MerkenSachaufgaben

Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.

Antwort mit Einheit.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Mia hat 12,00 € gespart. Sie gibt 13 davon für ein Buch aus und danach 7,70 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
  2. Buch: 12 : 3 · 1 = 4
  3. 12 − 4 = 8
  4. 8 − 7,7 = 0,3
  1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
  2. Buch: 12 : 3 · 1 = 4
  3. 12 − 4 = 8
  4. 8 − 7,7 = 0,3
Ergebnis:
0,30 €

AchtungAnteil umgedreht

So nicht
2/5 von 100 = 250
So richtig
2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○37
    Mia hat 40,00 € gespart. Sie gibt 38 davon für ein Buch aus und danach 9,20 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
    So fängst du an:
    Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
    2. Buch: 40 : 8 · 3 = 15
    3. 40 − 15 = 25
    4. 25 − 9,2 = 15,8
    Ergebnis:
    15,80 €
  2. ●38
    Ein Aquarium fasst 100 Liter. Es ist zu 14 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    2. 14 von 100: 100 : 4 · 1 = 25
    3. Es fehlen 100 − 25 = 75
    4. 75 : 2,5 = 30
    Ergebnis:
    30 Eimer
  3. ★39
    Mia hat 24,00 € gespart. Sie gibt 12 davon für ein Buch aus und danach 4,60 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
    2. Buch: 24 : 2 · 1 = 12
    3. 24 − 12 = 12
    4. 12 − 4,6 = 7,4
    Ergebnis:
    7,40 €

14Ich berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Wie viele Minuten reine Spielzeit sind drei Viertel eines Basketballspiels?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Basketballspiel hat vier Viertel zu je 10 Minuten, zusammen 40 Minuten. Drei Viertel davon sind 40 : 4 · 3 = 30 Minuten. Nach drei Vierteln stehen also 30 Minuten auf der Uhr.

MerkenBruchteile von Größen

„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Erst durch den Nenner, dann mal den Zähler.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 23 von 15 l.
2/3Ganzes: 15 l2/3 = ?
Schritt für Schritt
  1. 15 : 3 = 5
  2. 5 · 2 = 10
  1. 15 : 3 = 5
  2. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10 l

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht
3/4 von 20 = 20 : 3/4
So richtig
3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○40
    Berechne 35 von 100 l.
    So fängst du an:
    100 : 5 = 20
    Lösung zeigen
    1. 100 : 5 = 20
    2. 20 · 3 = 60
    Ergebnis:
    60 l
  2. ●41
    Berechne 35 von 25 kg.
    Lösung zeigen
    1. 25 : 5 = 5
    2. 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 kg
  3. ★42
    Berechne 23 von 21 kg.
    Lösung zeigen
    1. 21 : 3 = 7
    2. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14 kg

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●43
    Berechne: 12 + 68
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 48 + 68
    2. = 108 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●44
    Berechne: 36 · 34
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 924
    2. Kürzen mit 3: 38
    Ergebnis:
    38
  3. ●45
    Berechne 23 von 60 €.
    Lösung zeigen
    1. 60 : 3 = 20
    2. 20 · 2 = 40
    Ergebnis:
    40 €
  4. ●46
    Berechne schriftlich: 0,5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 5 · 6 = 30
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
    3. Komma 1 Stelle von rechts: 3
    Ergebnis:
    3
  5. ●47
    Berechne: 710 + 210
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
    2. 7 + 2 = 9 → 910
    Ergebnis:
    910
  6. ●48
    Welcher Bruch ist größer: 27 oder 28? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 1656 und 1456
    2. 27 > 28
    Ergebnis:
    27 > 28

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch als Anteil
Nenner: in wie viele gleiche Teile.
Erweitern und Kürzen
Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).
Brüche vergleichen
Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.
Gleichnamige Brüche addieren
Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.
Ungleichnamige Brüche addieren
Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche multiplizieren
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.
Brüche dividieren
Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.
Bruch und Dezimalzahl
Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.
Dezimalzahlen addieren
Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.
Dezimalzahlen multiplizieren
Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.
Dezimalzahlen dividieren
Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.
Runden
Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.
Sachaufgaben
Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.
Bruchteile von Größen
„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

    49
    Welcher Bruch ist größer: 56 oder 57? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56 > 57

  2. Ich erweitere und kürze Brüche.

    50
    Erweitere 23 mit 4.
    2/3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    812

  3. Ich vergleiche und ordne Brüche.

    51
    Welcher Bruch ist größer: 56 oder 16? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56 > 16

  4. Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

    52
    Berechne: 410 + 210
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  5. Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

    53
    Berechne: 78 + 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138

  6. Ich multipliziere Brüche.

    54
    Berechne: 36 · 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    316

  7. Ich dividiere Brüche.

    55
    Berechne: 13 : 16
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

  8. Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

    56
    Schreibe als gemischte Zahl: 159
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 69

  9. Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

    57
    Berechne schriftlich: 33,3 − 4,1
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29,2

  10. Ich multipliziere Dezimalzahlen.

    58
    Berechne schriftlich: 2,4 · 0,5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,2

  11. Ich dividiere Dezimalzahlen.

    59
    Berechne: 41,3 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5,9

  12. Ich runde Dezimalzahlen.

    60
    Runde 27,986 auf Zehntel.
    2827,986
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28,0

  13. Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    61
    Mia hat 30,00 € gespart. Sie gibt 25 davon für ein Buch aus und danach 5,60 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12,40 €

  14. Ich berechne Bruchteile von Größen.

    62
    Berechne 23 von 60 l.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 l

  15. Ich wiederhole das Kapitel spielerisch.

    63
    Berechne: 24 + 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    78

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erweitern und Kürzen: Brüche vergleichbar machen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Pizza teilen, Tank halb voll, Dreiviertelstunde. Beruf: Handwerk (Zoll-Maße), Musik (Notenwerte), Küche.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Erweitern
Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche als Anteile, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Anteile und Verhältnisse, Daten vergleichen und Zufall untersuchen, Gleichungen und Formeln, Dezimalzahlen, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen, Zuordnungen, Prozentrechnung, Rationale Zahlen, Wahrscheinlichkeit, Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit

Lösungen

  1. 27 < 39
  2. 27 < 12
  3. 613 > 312
  4. 618
  5. 12
  6. 35
  7. 28 < 24
  8. 28 < 57
  9. 17 < 812
  10. 65
  11. 58
  12. 13
  13. 98
  14. 54
  15. 2324
  16. 15
  17. 29
  18. 815
  19. 85
  20. 3
  21. 98
  22. 85
  23. 237
  24. 277
  25. 27,2
  26. 88,2
  27. 43,78
  28. 9
  29. 0,1
  30. 5,19
  31. 3,3
  32. 5,7
  33. 35
  34. 11,33
  35. 28,29
  36. 20,0
  37. 15,80 €
  38. 30 Eimer
  39. 7,40 €
  40. 60 l
  41. 15 kg
  42. 14 kg
  43. 54
  44. 38
  45. 40 €
  46. 3
  47. 910
  48. 27 > 28
  49. 56 > 57
  50. 812
  51. 56 > 16
  52. 35
  53. 138
  54. 316
  55. 2
  56. 1 69
  57. 29,2
  58. 1,2
  59. 5,9
  60. 28,0
  61. 12,40 €
  62. 40 l
  63. 78
  64. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  65. ja