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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Zeichnungen sind zu ungenau, Zähler-Vergleich und Nenner-Vergleich widersprechen sich. Die Klasse kann sich nicht einigen. Bringt man beide auf denselben Nenner, 24/40 und 25/40, ist der Vergleich eine Sache von einem Blick. Das ist Erweitern.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch wird durch einen gemeinsamen Teiler gekürzt – Teiler und Vielfache muss man sehen.

  1. ●64
    Bestimme alle Teiler von 40.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
  2. ●65
    Ist 325 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    2. 325 prüfen: letzte Ziffern 25
    3. Probe: 325 : 2 = 162 Rest 1
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAnteil · Operator · Verhältnis

Ein Bruch ist dreierlei: ein Anteil an einem Ganzen (¾ der Pizza), eine Rechenanweisung (¾ von 20 €) und ein Vergleich (3 zu 4). Jede Aufgabe verlangt eine dieser drei Sichtweisen.

Ein Bruch dreimal: drei Viertel einer Pizza, drei Viertel von 20 Euro sind 15 Euro, drei zu vierAnteil3/4 der Pizza5 €5 €5 €5 €Operator3/4 von 20 € = 15 €Verhältnis3 zu 4

WeiterdenkenDenk nach

Ist ¾ immer mehr als ½? Und ¾ einer Pizza gegen ½ eines Kuchenblechs?

1Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

EntdeckenFrage

Warum scheiterte ein Burger, nur weil er ein Drittel Pfund wog?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

A&W verkaufte 1980 in den USA den Drittelpfünder billiger als den Viertelpfünder – und verlor, weil viele 1/3 für kleiner hielten als 1/4. Der Nenner sagt, in wie viele Teile geteilt wird.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenBruch als Anteil

Nenner: in wie viele gleiche Teile.

Zähler: wie viele davon. ¾ einer Pizza: in 4 Stücke geteilt, 3 gegessen.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 49 oder 48? Begründe.
4/9?4/8
Schritt für Schritt
  1. Gleichnamig machen: 3272 und 3672
  2. 49 < 48
  1. Gleichnamig machen: 3272 und 3672
  2. 49 < 48
Ergebnis:
49 < 48

AchtungNenner addiert

So nicht
3/4 + 2/5 = 5/9
So richtig
3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Nur Zähler addieren, Nenner bleibt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Bruch ist größer: 12 oder 57? Begründe.
    So fängst du an:
    Gleichnamig machen: 714 und 1014
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 714 und 1014
    2. 12 < 57
    Ergebnis:
    12 < 57
  2. ●2
    Welcher Bruch ist größer: 48 oder 59? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 3672 und 4072
    2. 48 < 59
    Ergebnis:
    48 < 59
  3. ★3
    Welcher Bruch ist größer: 213 oder 212? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Als Dezimalzahl: 0,154 und 0,167
    2. 213 < 212
    Ergebnis:
    213 < 212

2Ich erweitere und kürze Brüche.

EntdeckenFrage

Wie teilten die Ägypter drei Brote unter fünf Leuten – ohne Bruchstriche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur mit Stammbrüchen: 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15. Jeder bekam ein Drittel, ein Fünftel und ein Fünfzehntel eines Brotes – und alle gleich viel.

MerkenErweitern und Kürzen

Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).

Der Wert bleibt gleich.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielBrüche erweitern und kürzen

Erweitere 13 mit 4.
1/3
Schritt für Schritt
  1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
  2. Zähler: 1 · 4 = 4
  3. Nenner: 3 · 4 = 12
  1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
  2. Zähler: 1 · 4 = 4
  3. Nenner: 3 · 4 = 12
Ergebnis:
412

AchtungNenner erweitert, Zähler nicht

So nicht
1/4 + 3/8 = 1/8 + 3/8 = 4/8
So richtig
1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8

Nimm Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Kürze 520 durch 5.
    5/20
    So fängst du an:
    Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
    2. Zähler: 5 : 5 = 1
    3. Nenner: 20 : 5 = 4
    Ergebnis:
    14
  2. ●5
    Erweitere 12 mit 2.
    1/2
    Lösung zeigen
    1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
    2. Zähler: 1 · 2 = 2
    3. Nenner: 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    24
  3. ★6
    Ergänze die fehlende Zahl: 35 = □/25
    3/5
    Lösung zeigen
    1. Nenner: 5 · 5 = 25, also erweitert mit 5
    2. Zähler: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15

3Ich vergleiche und ordne Brüche.

EntdeckenFrage

Was ist mehr: 5/8 einer Pizza oder 2/3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

2/3, aber knapp. Auf denselben Nenner gebracht heißt es 15/24 gegen 16/24 – erst dann kann man zwei Brüche überhaupt vergleichen.

MerkenBrüche vergleichen

Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.

Sonst gleichnamig machen oder mit ½ und 1 vergleichen.

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 48 oder 56? Begründe.
4/8?5/6
Schritt für Schritt
  1. Gleichnamig machen: 2448 und 4048
  2. 48 < 56
  1. Gleichnamig machen: 2448 und 4048
  2. 48 < 56
Ergebnis:
48 < 56

AchtungGrößerer Nenner, größerer Bruch

So nicht
3/8 > 3/4, weil 8 größer ist als 4
So richtig
3/8 < 3/4: Achtel sind kleiner als Viertel

Stell dir eine Pizza vor: Teilst du sie in mehr Stücke, wird jedes Stück kleiner. Vergleiche dann die Stücke.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welcher Bruch ist größer: 24 oder 29? Begründe.
    So fängst du an:
    Gleichnamig machen: 1836 und 836
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 1836 und 836
    2. 24 > 29
    Ergebnis:
    24 > 29
  2. ●8
    Welcher Bruch ist größer: 36 oder 28? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 2448 und 1248
    2. 36 > 28
    Ergebnis:
    36 > 28
  3. ★9
    Welcher Bruch ist größer: 413 oder 411? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Als Dezimalzahl: 0,308 und 0,364
    2. 413 < 411
    Ergebnis:
    413 < 411

4Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Warum heißt es Viervierteltakt – und was passiert, wenn eine Note zu viel darin steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Notenwerte eines Taktes ergeben zusammen genau 4/4. Eine halbe, eine viertel und zwei achtel Noten sind ein voller Takt; kommt etwas dazu, klingt die Stelle schief.

MerkenGleichnamige Brüche addieren

Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielGleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Berechne: 48 + 78
4/8+7/8
Schritt für Schritt
  1. Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
  2. 4 + 7 = 11 → 118
  1. Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
  2. 4 + 7 = 11 → 118
Ergebnis:
118

AchtungNenner mitaddiert

So nicht
Berechne: 4/8 + 7/8 → 11/16
So richtig
Berechne: 4/8 + 7/8 → 11/8

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Berechne: 46 + 46
    So fängst du an:
    Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
    2. 4 + 4 = 8 → 86 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●11
    Berechne: 46 + 56
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
    2. 4 + 5 = 9 → 96 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★12
    Berechne: 39 − 29
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 9: nur die Zähler subtrahieren
    2. 3 − 2 = 1 → 19
    Ergebnis:
    19

5Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Wie kann man 1/2 und 1/3 zusammenzählen, wenn die Stücke verschieden groß sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man schneidet beide feiner: Sechstel passen in Halbe und in Drittel. 3/6 und 2/6 sind zusammen 5/6 – erst gleich groß machen, dann zusammenzählen.

MerkenUngleichnamige Brüche addieren

Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Berechne: 12 + 58
1/2+5/8
Schritt für Schritt
  1. Hauptnenner 8: 48 + 58
  2. = 98
  1. Hauptnenner 8: 48 + 58
  2. = 98
Ergebnis:
98

AchtungRechenart im Rechenschritt verwechselt

So nicht
Berechne: 6/8 + 4/8 → 24/64
So richtig
Berechne: 6/8 + 4/8 → 5/4

Sag in Worten, was in diesem Schritt passiert: dazu, weg, verteilen oder vervielfachen. Wähle dann die Rechenart.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne: 68 + 48
    So fängst du an:
    Hauptnenner 8: 68 + 48
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 68 + 48
    2. = 108 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●14
    Berechne: 34 + 24
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 4: 34 + 24
    2. = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Für einen Kuchen braucht man 24 kg Mehl und 79 kg Zucker. Wie viel Kilogramm sind das zusammen? Rechne 24 + 79.
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 36: 1836 + 2836
    2. = 4636 = 2318
    Ergebnis:
    2318

6Ich multipliziere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie lang ist eine punktierte Viertelnote, wenn der Punkt die Note um die Hälfte ihrer Länge verlängert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Hälfte einer Viertelnote ist 1/2 · 1/4 = 1/8. Zusammen sind das 1/4 + 1/8 = 3/8. Kürzer gerechnet: 3/2 · 1/4 = 3/8. Die punktierte Viertel dauert also drei Achtel.

MerkenBrüche multiplizieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.

BeispielBruch mal Bruch

Von 23 einer Pizza isst Lea 2/6. Welcher Anteil der ganzen Pizza ist das? Rechne 26 · 23.
2/3·2/6
Schritt für Schritt
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 418
  2. Kürzen mit 2: 29
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 418
  2. Kürzen mit 2: 29
Ergebnis:
29

AchtungÜber Kreuz multipliziert

So nicht
Berechne: 3/4 · 1/6 → 18/4
So richtig
Berechne: 3/4 · 1/6 → 1/8

Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Berechne: 34 · 16
    So fängst du an:
    Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 324
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 324
    2. Kürzen mit 3: 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●17
    Berechne: 13 · 35
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 315
    2. Kürzen mit 3: 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★18
    Berechne: 34 · 18
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 332
    2. Kürzen mit 1: 332
    Ergebnis:
    332

7Ich dividiere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie viele Viertelstunden passen in ein Fußballspiel von 90 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

90 Minuten sind 3/2 Stunden. Man rechnet 3/2 : 1/4 = 3/2 · 4/1 = 12/2 = 6. Es passen also 6 Viertelstunden hinein. Probe: 6 · 15 Minuten = 90 Minuten.

MerkenBrüche dividieren

Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 14 : 25
1/4:2/5
Schritt für Schritt
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 14 · 52
  2. = 58 = 58
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 14 · 52
  2. = 58 = 58
Ergebnis:
58

AchtungKehrwert vergessen

So nicht
1/2 : 1/4 = 1/8
So richtig
1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 2

Geteilt durch einen Bruch = mal Kehrwert.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Berechne: 34 : 12
    So fängst du an:
    Mit dem Kehrwert multiplizieren: 34 · 21
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 34 · 21
    2. = 64 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●20
    Berechne: 37 : 58
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 37 · 85
    2. = 2435 = 2435
    Ergebnis:
    2435
  3. ★21
    Wie oft passt 24 in 23? Rechne 23 : 24.
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 23 · 42
    2. = 86 = 43
    Ergebnis:
    43

8Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

EntdeckenFrage

Warum zeigt der Taschenrechner bei 1 : 4 einfach 0,25, bei 1 : 3 aber eine endlose Reihe von Dreien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/4 lässt sich auf 25/100 erweitern, weil 4 in 100 aufgeht. Also ist 1/4 = 0,25. Die 3 geht in keine Zahl 10, 100, 1.000 und so weiter auf. Darum bleibt beim Teilen immer ein Rest, und die Drei wiederholt sich ohne Ende.

Ausprobieren: Zahlenstrahl mit Lupe

Einen Punkt setzen, hineinzoomen, hinauszoomen – ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Zahlen.

MerkenBruch und Dezimalzahl

Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

Oder den Nenner auf 10, 100 erweitern. ¼ = 0,25, ⅕ = 0,2, ⅓ = 0,333…

BeispielGemischte Zahlen und unechte Brüche

Schreibe als unechten Bruch: 2 56
5/6
Schritt für Schritt
  1. 2 = 126
  2. 126 + 56 = 176
  1. 2 = 126
  2. 126 + 56 = 176
Ergebnis:
176

AchtungBruchstrich als Komma gelesen

So nicht
Schreibe als gemischte Zahl: 48/9 → 48,9
So richtig
Schreibe als gemischte Zahl: 48/9 → 5 3/9

Lies den Bruchstrich als geteilt. Rechne Zähler durch Nenner.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schreibe als unechten Bruch: 4 17
    So fängst du an:
    4 = 287
    Lösung zeigen
    1. 4 = 287
    2. 287 + 17 = 297
    Ergebnis:
    297
  2. ●23
    Schreibe als gemischte Zahl: 489
    Lösung zeigen
    1. 48 : 9 = 5 Rest 3
    2. = 5 39
    Ergebnis:
    5 39
  3. ★24
    Schreibe als gemischte Zahl: 86
    Lösung zeigen
    1. 8 : 6 = 1 Rest 2
    2. = 1 26
    Ergebnis:
    1 26

9Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Um wie viele Zentimeter übertraf der Weitsprung-Weltrekord von 1991 den von 1968?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bob Beamon sprang 1968 in Mexiko-Stadt 8,90 m. Mike Powell sprang 1991 in Tokio 8,95 m. Die Differenz ist 8,95 − 8,90 = 0,05 m. Das sind genau 5 cm.

MerkenDezimalzahlen addieren

Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.

BeispielDezimalzahlen addieren und subtrahieren

Berechne schriftlich: 89,1 + 1,1
0102030405060708090+1,189,1?
Schritt für Schritt
  1. Komma unter Komma: 89,1 und 1,1 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
  2. Zehntel: 1 + 1 = 2
  3. Einer: 9 + 1 = 10 → 0, Übertrag 1
  4. Zehner: 8 + 0 + 1 = 9
  5. = 90,2
  1. Komma unter Komma: 89,1 und 1,1 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
  2. Zehntel: 1 + 1 = 2
  3. Einer: 9 + 1 = 10 → 0, Übertrag 1
  4. Zehner: 8 + 0 + 1 = 9
  5. = 90,2
Ergebnis:
90,2

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht
Berechne schriftlich: 89,1 + 1,1 → 80,2
So richtig
Berechne schriftlich: 89,1 + 1,1 → 90,2

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Berechne schriftlich: 80,4 − 8
    So fängst du an:
    Komma unter Komma: 80,4 und 8 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 80,4 und 8 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Zehntel: 4 − 0 = 4
    3. Einer: 0 − 8 geht nicht → 10 − 8 = 2, Übertrag 1
    4. Zehner: 8 − 1 (Übertrag) − 0 = 7
    5. = 72,4
    Ergebnis:
    72,4
  2. ●26
    Berechne schriftlich: 58,2 − 4,7
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 58,2 und 4,7 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Zehntel: 2 − 7 geht nicht → 12 − 7 = 5, Übertrag 1
    3. Einer: 8 − 1 (Übertrag) − 4 = 3
    4. Zehner: 5 − 0 = 5
    5. = 53,5
    Ergebnis:
    53,5
  3. ★27
    Berechne schriftlich: 54,1 + 3,87
    Lösung zeigen
    1. Komma unter Komma: 54,1 und 3,87 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
    2. Hundertstel: 0 + 7 = 7
    3. Zehntel: 1 + 8 = 9
    4. Einer: 4 + 3 = 7
    5. Zehner: 5 + 0 = 5
    6. = 57,97
    Ergebnis:
    57,97

10Ich multipliziere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 16 Blätter A4 fast genau einen Quadratmeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt misst 0,21 m mal 0,297 m. Seine Fläche ist 0,21 · 0,297 = 0,06237 m². Mal 16 sind das 0,99792 m², also fast 1 m². Der Grund: A0 ist 1 m² groß, und A4 ist A0 viermal halbiert.

MerkenDezimalzahlen multiplizieren

Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.

So viele Stellen, wie beide Faktoren zusammen haben.

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 1,5 · 6
Schritt für Schritt
  1. Kommas weglassen: 15 · 6 = 90
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
  3. Komma 1 Stelle von rechts: 9
  1. Kommas weglassen: 15 · 6 = 90
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
  3. Komma 1 Stelle von rechts: 9
Ergebnis:
9

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht
0,3 · 0,4 = 1,2
So richtig
0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Berechne schriftlich: 1,5 · 0,5
    So fängst du an:
    Kommas weglassen: 15 · 5 = 75
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 15 · 5 = 75
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,75
    Ergebnis:
    0,75
  2. ●29
    Berechne schriftlich: 0,3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 3 · 6 = 18
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
    3. Komma 1 Stelle von rechts: 1,8
    Ergebnis:
    1,8
  3. ★30
    Berechne schriftlich: 3,4 · 1,2
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 34 · 12 = 408
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 4,08
    Ergebnis:
    4,08

11Ich dividiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele volle 0,2-Liter-Gläser kann man aus einer 1,5-Liter-Flasche einschenken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man teilt 1,5 : 0,2. Beide Zahlen mal 10 ergibt 15 : 2 = 7,5. Es gibt also 7 volle Gläser. Ein halbes Glas bleibt übrig.

MerkenDezimalzahlen dividieren

Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.

Dann schriftlich dividieren.

BeispielDezimalzahlen dividieren

Berechne: 34,5 : 5
Schritt für Schritt
  1. Erst ohne Komma rechnen: 345 : 5 = 69
  2. Komma: 34,5 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
  3. 34,5 : 5 = 6,9
  1. Erst ohne Komma rechnen: 345 : 5 = 69
  2. Komma: 34,5 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
  3. 34,5 : 5 = 6,9
Ergebnis:
6,9

AchtungKomma im Ergebnis beim Teilen vergessen oder verschoben

So nicht
Berechne: 34,5 : 5 → 69
So richtig
Berechne: 34,5 : 5 → 6,9

Setz das Komma im Ergebnis, sobald du im Dividenden über das Komma gehst.

ÜbenJetzt du

  1. ○31
    Berechne: 8,2 : 2
    So fängst du an:
    Erst ohne Komma rechnen: 82 : 2 = 41
    Lösung zeigen
    1. Erst ohne Komma rechnen: 82 : 2 = 41
    2. Komma: 8,2 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
    3. 8,2 : 2 = 4,1
    Ergebnis:
    4,1
  2. ●32
    Berechne: 7,94 : 2
    Lösung zeigen
    1. Erst ohne Komma rechnen: 794 : 2 = 397
    2. Komma: 7,94 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
    3. 7,94 : 2 = 3,97
    Ergebnis:
    3,97
  3. ★33
    Berechne: 1,8 : 1,2
    Lösung zeigen
    1. Komma im Teiler weg: beide Zahlen mal 10
    2. 1,8 : 1,2 = 18 : 12
    3. 18 : 12 = 1,5
    Ergebnis:
    1,5

12Ich runde Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum rechnet man in der Schule mit 3,14 für π, obwohl π unendlich viele Stellen nach dem Komma hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

π beginnt mit 3,14159. Auf zwei Stellen gerundet ist die dritte Stelle eine 1, also wird abgerundet: 3,14. Der Fehler ist kleiner als zwei Tausendstel. Für Zeichnungen mit Zirkel und Lineal reicht das völlig.

MerkenRunden

Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

Immer von der Ausgangszahl runden, nie vom gerundeten Zwischenwert: 3,456 ≈ 3,5, nicht 3,46 ≈ 3,5.

BeispielDezimalzahlen runden

Runde 16,844 auf Hundertstel.
16,844
Schritt für Schritt
  1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 4.
  2. Rechts daneben steht 4: abrunden.
  3. 16,844 ≈ 16,84
  1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 4.
  2. Rechts daneben steht 4: abrunden.
  3. 16,844 ≈ 16,84
Ergebnis:
16,84

AchtungAn der falschen Stelle gerundet

So nicht
92.578 auf Hunderter → 93.000
So richtig
92.578 auf Hunderter → 92.600

Markiere zuerst die Rundungsstelle. Schau dann nur auf die Ziffer rechts daneben.

ÜbenJetzt du

  1. ○34
    Runde 5,473 auf Zehntel.
    5,473
    So fängst du an:
    Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 4.
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 4.
    2. Rechts daneben steht 7: aufrunden.
    3. 5,473 ≈ 5,5
    Ergebnis:
    5,5
  2. ●35
    Runde 4,869 auf Hundertstel.
    4,869
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 6.
    2. Rechts daneben steht 9: aufrunden.
    3. 4,869 ≈ 4,87
    Ergebnis:
    4,87
  3. ★36
    Ein Rechner zeigt für den Preis je Stück 10,098 €. Runde auf ganze Cent.
    10,098
    Lösung zeigen
    1. Rundungsstelle: Cent sind Hundertstel, dort steht 9.
    2. Rechts daneben steht 8: aufrunden.
    3. 10,098 ≈ 10,10
    Ergebnis:
    10,10 €

13Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie breit muss eine Deutschlandfahne sein, die 1,5 m hoch ist, und wie hoch ist jeder Streifen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Höhe und Länge der Bundesflagge stehen im Verhältnis 3 zu 5. Die Länge ist also 5/3 von 1,5 m, das sind 2,5 m. Jeder der drei Streifen ist ein Drittel hoch: 1,5 : 3 = 0,5 m.

MerkenSachaufgaben

Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.

Antwort mit Einheit.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Für einen Vorhang braucht Frau Lang 1 34 m Stoff. 1 m kostet 2,00 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
  2. 1 34 m sind 1,75 m.
  3. 2 · 1,75 = 3,5
  4. 20 − 3,5 = 16,5
  1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
  2. 1 34 m sind 1,75 m.
  3. 2 · 1,75 = 3,5
  4. 20 − 3,5 = 16,5
Ergebnis:
16,50 €

AchtungAnteil umgedreht

So nicht
2/5 von 100 = 250
So richtig
2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○37
    Für 4 Personen braucht man 34 kg Kartoffeln. Es kochen aber 6 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 1,60 €. Was kosten die Kartoffeln?
    So fängst du an:
    Plan: erst die Menge für 6 Personen, dann der Preis.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst die Menge für 6 Personen, dann der Preis.
    2. 34 kg sind 0,75 kg.
    3. 0,75 : 4 · 6 = 1,125
    4. 1,125 · 1,6 = 1,8
    Ergebnis:
    1,80 €
  2. ●38
    Ein Aquarium fasst 80 Liter. Es ist zu 34 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 4 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    2. 34 von 80: 80 : 4 · 3 = 60
    3. Es fehlen 80 − 60 = 20
    4. 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    5 Eimer
  3. ★39
    Für einen Vorhang braucht Frau Lang 1 12 m Stoff. 1 m kostet 7,10 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
    2. 1 12 m sind 1,5 m.
    3. 7,1 · 1,5 = 10,65
    4. 20 − 10,65 = 9,35
    Ergebnis:
    9,35 €

14Ich berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Wie viele Minuten reine Spielzeit sind drei Viertel eines Basketballspiels?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Basketballspiel hat vier Viertel zu je 10 Minuten, zusammen 40 Minuten. Drei Viertel davon sind 40 : 4 · 3 = 30 Minuten. Nach drei Vierteln stehen also 30 Minuten auf der Uhr.

MerkenBruchteile von Größen

„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Erst durch den Nenner, dann mal den Zähler.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 25 von 50 l.
2/5Ganzes: 50 l2/5 = ?
Schritt für Schritt
  1. 50 : 5 = 10
  2. 10 · 2 = 20
  1. 50 : 5 = 10
  2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 l

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht
3/4 von 20 = 20 : 3/4
So richtig
3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○40
    Berechne 23 von 30 €.
    So fängst du an:
    30 : 3 = 10
    Lösung zeigen
    1. 30 : 3 = 10
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20 €
  2. ●41
    Berechne 35 von 100 l.
    Lösung zeigen
    1. 100 : 5 = 20
    2. 20 · 3 = 60
    Ergebnis:
    60 l
  3. ★42
    Berechne 35 von 75 l.
    Lösung zeigen
    1. 75 : 5 = 15
    2. 15 · 3 = 45
    Ergebnis:
    45 l

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●43
    Jonas läuft 12 km zum Bus und dann 14 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 12 + 14.
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 4: 24 + 14
    2. = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●44
    Berechne: 12 · 23
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 26
    2. Kürzen mit 2: 13
    Ergebnis:
    13
  3. ●45
    Berechne 25 von 100 kg.
    Lösung zeigen
    1. 100 : 5 = 20
    2. 20 · 2 = 40
    Ergebnis:
    40 kg
  4. ●46
    Berechne schriftlich: 0,5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 5 · 6 = 30
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
    3. Komma 1 Stelle von rechts: 3
    Ergebnis:
    3
  5. ●47
    Berechne: 310 + 610
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
    2. 3 + 6 = 9 → 910
    Ergebnis:
    910
  6. ●48
    Welcher Bruch ist größer: 56 oder 37? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 3542 und 1842
    2. 56 > 37
    Ergebnis:
    56 > 37

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch als Anteil
Nenner: in wie viele gleiche Teile.
Erweitern und Kürzen
Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).
Brüche vergleichen
Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.
Gleichnamige Brüche addieren
Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.
Ungleichnamige Brüche addieren
Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche multiplizieren
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.
Brüche dividieren
Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.
Bruch und Dezimalzahl
Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.
Dezimalzahlen addieren
Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.
Dezimalzahlen multiplizieren
Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.
Dezimalzahlen dividieren
Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.
Runden
Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.
Sachaufgaben
Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.
Bruchteile von Größen
„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

    49
    Welcher Bruch ist größer: 49 oder 57? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49 < 57

  2. Ich erweitere und kürze Brüche.

    50
    Kürze 810 durch 2.
    8/10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  3. Ich vergleiche und ordne Brüche.

    51
    Welcher Bruch ist größer: 14 oder 47? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 < 47

  4. Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

    52
    Berechne: 510 + 110
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  5. Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

    53
    Berechne: 78 + 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138

  6. Ich multipliziere Brüche.

    54
    Berechne: 13 · 37
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

  7. Ich dividiere Brüche.

    55
    Wie oft passt 23 in 34? Rechne 34 : 23.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    98

  8. Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

    56
    Schreibe als unechten Bruch: 4 67
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    347

  9. Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

    57
    Berechne schriftlich: 74,9 + 8,5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83,4

  10. Ich multipliziere Dezimalzahlen.

    58
    Berechne schriftlich: 0,5 · 0,2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,1

  11. Ich dividiere Dezimalzahlen.

    59
    Berechne: 80,1 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8,9

  12. Ich runde Dezimalzahlen.

    60
    Runde 21,273 auf Zehntel.
    21,273
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21,3

  13. Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    61
    Ein Aquarium fasst 100 Liter. Es ist zu 35 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Eimer

  14. Ich berechne Bruchteile von Größen.

    62
    Berechne 25 von 50 kg.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 kg

  15. Ich wiederhole das Kapitel spielerisch.

    63
    Für einen Kuchen braucht man 68 kg Mehl und 34 kg Zucker. Wie viel Kilogramm sind das zusammen? Rechne 68 + 34.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erweitern und Kürzen: Brüche vergleichbar machen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Pizza teilen, Tank halb voll, Dreiviertelstunde. Beruf: Handwerk (Zoll-Maße), Musik (Notenwerte), Küche.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Erweitern
Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche als Anteile, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Anteile und Verhältnisse, Daten vergleichen und Zufall untersuchen, Gleichungen und Formeln, Dezimalzahlen, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen, Zuordnungen, Prozentrechnung, Rationale Zahlen, Wahrscheinlichkeit, Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit

Lösungen

  1. 12 < 57
  2. 48 < 59
  3. 213 < 212
  4. 14
  5. 24
  6. 15
  7. 24 > 29
  8. 36 > 28
  9. 413 < 411
  10. 43
  11. 32
  12. 19
  13. 54
  14. 54
  15. 2318
  16. 18
  17. 15
  18. 332
  19. 32
  20. 2435
  21. 43
  22. 297
  23. 5 39
  24. 1 26
  25. 72,4
  26. 53,5
  27. 57,97
  28. 0,75
  29. 1,8
  30. 4,08
  31. 4,1
  32. 3,97
  33. 1,5
  34. 5,5
  35. 4,87
  36. 10,10 €
  37. 1,80 €
  38. 5 Eimer
  39. 9,35 €
  40. 20 €
  41. 60 l
  42. 45 l
  43. 34
  44. 13
  45. 40 kg
  46. 3
  47. 910
  48. 56 > 37
  49. 49 < 57
  50. 45
  51. 14 < 47
  52. 35
  53. 138
  54. 17
  55. 98
  56. 347
  57. 83,4
  58. 0,1
  59. 8,9
  60. 21,3
  61. 16 Eimer
  62. 20 kg
  63. 32
  64. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
  65. nein