Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Zeichnungen sind zu ungenau, Zähler-Vergleich und Nenner-Vergleich widersprechen sich. Die Klasse kann sich nicht einigen. Bringt man beide auf denselben Nenner, 24/40 und 25/40, ist der Vergleich eine Sache von einem Blick. Das ist Erweitern.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch wird durch einen gemeinsamen Teiler gekürzt – Teiler und Vielfache muss man sehen.

●64
Bestimme alle Teiler von 30.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
●65
Ist 618 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 3: Quersumme 15 durch 3 teilbar?
2. 618 prüfen: Quersumme 15, 15 : 3 = 5
3. Probe: 618 : 3 = 206
4. Antwort: ja
Ergebnis:
ja

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAnteil · Operator · Verhältnis

Ein Bruch ist dreierlei: ein Anteil an einem Ganzen (¾ der Pizza), eine Rechenanweisung (¾ von 20 €) und ein Vergleich (3 zu 4). Jede Aufgabe verlangt eine dieser drei Sichtweisen.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ¾ immer mehr als ½? Und ¾ einer Pizza gegen ½ eines Kuchenblechs?

1Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

EntdeckenFrage

Warum scheiterte ein Burger, nur weil er ein Drittel Pfund wog?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

A&W verkaufte 1980 in den USA den Drittelpfünder billiger als den Viertelpfünder – und verlor, weil viele 1/3 für kleiner hielten als 1/4. Der Nenner sagt, in wie viele Teile geteilt wird.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenBruch als Anteil

Nenner: in wie viele gleiche Teile.

Zähler: wie viele davon. ¾ einer Pizza: in 4 Stücke geteilt, 3 gegessen.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 25 oder 58? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichnamig machen: 1640 und 2540
25 < 58

Gleichnamig machen: 1640 und 2540
25 < 58

Ergebnis:

25 < 58

AchtungNenner addiert

So nicht

3/4 + 2/5 = 5/9

So richtig

3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Nur Zähler addieren, Nenner bleibt.

ÜbenJetzt du

○1
Welcher Bruch ist größer: 34 oder 47? Begründe.
So fängst du an:
Gleichnamig machen: 2128 und 1628
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 2128 und 1628
2. 34 > 47
Ergebnis:
34 > 47
●2
Welcher Bruch ist größer: 16 oder 17? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 742 und 642
2. 16 > 17
Ergebnis:
16 > 17
★3
Welcher Bruch ist größer: 212 oder 1112? Begründe.
Lösung zeigen
1. Als Dezimalzahl: 0,167 und 0,917
2. 212 < 1112
Ergebnis:
212 < 1112

2Ich erweitere und kürze Brüche.

EntdeckenFrage

Wie teilten die Ägypter drei Brote unter fünf Leuten – ohne Bruchstriche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur mit Stammbrüchen: 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15. Jeder bekam ein Drittel, ein Fünftel und ein Fünfzehntel eines Brotes – und alle gleich viel.

MerkenErweitern und Kürzen

Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).

Der Wert bleibt gleich.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielBrüche erweitern und kürzen

Erweitere 13 mit 4.

Schritt für Schritt

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Zähler: 1 · 4 = 4
Nenner: 3 · 4 = 12

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Zähler: 1 · 4 = 4
Nenner: 3 · 4 = 12

Ergebnis:

412

AchtungNenner erweitert, Zähler nicht

So nicht

1/4 + 3/8 = 1/8 + 3/8 = 4/8

So richtig

1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8

Nimm Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal.

ÜbenJetzt du

○4
Erweitere 57 mit 3.
So fängst du an:
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Lösung zeigen
1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
2. Zähler: 5 · 3 = 15
3. Nenner: 7 · 3 = 21
Ergebnis:
1521
●5
Erweitere 79 mit 6.
Lösung zeigen
1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
2. Zähler: 7 · 6 = 42
3. Nenner: 9 · 6 = 54
Ergebnis:
4254
★6
Ergänze die fehlende Zahl: 824 = □/3
Lösung zeigen
1. Nenner: 24 : 8 = 3, also gekürzt durch 8
2. Zähler: 8 : 8 = 1
Ergebnis:
1

3Ich vergleiche und ordne Brüche.

EntdeckenFrage

Was ist mehr: 5/8 einer Pizza oder 2/3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

2/3, aber knapp. Auf denselben Nenner gebracht heißt es 15/24 gegen 16/24 – erst dann kann man zwei Brüche überhaupt vergleichen.

MerkenBrüche vergleichen

Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.

Sonst gleichnamig machen oder mit ½ und 1 vergleichen.

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 29 oder 58? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichnamig machen: 1672 und 4572
29 < 58

Gleichnamig machen: 1672 und 4572
29 < 58

Ergebnis:

29 < 58

AchtungGrößerer Nenner, größerer Bruch

So nicht

3/8 > 3/4, weil 8 größer ist als 4

So richtig

3/8 < 3/4: Achtel sind kleiner als Viertel

Stell dir eine Pizza vor: Teilst du sie in mehr Stücke, wird jedes Stück kleiner. Vergleiche dann die Stücke.

ÜbenJetzt du

○7
Welcher Bruch ist größer: 34 oder 38? Begründe.
So fängst du an:
Gleichnamig machen: 2432 und 1232
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 2432 und 1232
2. 34 > 38
Ergebnis:
34 > 38
●8
Welcher Bruch ist größer: 14 oder 49? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 936 und 1636
2. 14 < 49
Ergebnis:
14 < 49
★9
Welcher Bruch ist größer: 26 oder 215? Begründe.
Lösung zeigen
1. Als Dezimalzahl: 0,333 und 0,133
2. 26 > 215
Ergebnis:
26 > 215

4Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Warum heißt es Viervierteltakt – und was passiert, wenn eine Note zu viel darin steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Notenwerte eines Taktes ergeben zusammen genau 4/4. Eine halbe, eine viertel und zwei achtel Noten sind ein voller Takt; kommt etwas dazu, klingt die Stelle schief.

MerkenGleichnamige Brüche addieren

Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielGleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Berechne: 78 + 78

Schritt für Schritt

Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
7 + 7 = 14 → 148 = 74

Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
7 + 7 = 14 → 148 = 74

Ergebnis:

AchtungNenner mitaddiert

So nicht

Berechne: 7/8 + 7/8 → 14/16

So richtig

Berechne: 7/8 + 7/8 → 7/4

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

○10
Berechne: 38 + 48
So fängst du an:
Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
2. 3 + 4 = 7 → 78
Ergebnis:
78
●11
Berechne: 910 + 210
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
2. 9 + 2 = 11 → 1110
Ergebnis:
1110
★12
Berechne: 1215 − 815
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 15: nur die Zähler subtrahieren
2. 12 − 8 = 4 → 415
Ergebnis:
415

5Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Wie kann man 1/2 und 1/3 zusammenzählen, wenn die Stücke verschieden groß sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man schneidet beide feiner: Sechstel passen in Halbe und in Drittel. 3/6 und 2/6 sind zusammen 5/6 – erst gleich groß machen, dann zusammenzählen.

MerkenUngleichnamige Brüche addieren

Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Berechne: 38 + 58

Schritt für Schritt

Hauptnenner 8: 38 + 58
= 88 = 11

Hauptnenner 8: 38 + 58
= 88 = 11

Ergebnis:

AchtungRechenart im Rechenschritt verwechselt

So nicht

Berechne: 3/8 + 5/8 → 15/64

So richtig

Berechne: 3/8 + 5/8 → 1/1

Sag in Worten, was in diesem Schritt passiert: dazu, weg, verteilen oder vervielfachen. Wähle dann die Rechenart.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne: 48 + 34
So fängst du an:
Hauptnenner 8: 48 + 68
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 48 + 68
2. = 108 = 54
Ergebnis:
54
●14
Berechne: 34 + 24
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 4: 34 + 24
2. = 54
Ergebnis:
54
★15
Berechne: 13 + 59
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 9: 39 + 59
2. = 89
Ergebnis:
89

6Ich multipliziere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie lang ist eine punktierte Viertelnote, wenn der Punkt die Note um die Hälfte ihrer Länge verlängert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Hälfte einer Viertelnote ist 1/2 · 1/4 = 1/8. Zusammen sind das 1/4 + 1/8 = 3/8. Kürzer gerechnet: 3/2 · 1/4 = 3/8. Die punktierte Viertel dauert also drei Achtel.

MerkenBrüche multiplizieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.

BeispielBruch mal Bruch

Berechne: 25 · 38

Schritt für Schritt

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 640
Kürzen mit 2: 320

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 640
Kürzen mit 2: 320

Ergebnis:

320

AchtungÜber Kreuz multipliziert

So nicht

Berechne: 2/5 · 3/8 → 16/15

So richtig

Berechne: 2/5 · 3/8 → 3/20

Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

ÜbenJetzt du

○16
Berechne: 45 · 13
So fängst du an:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 415
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 415
2. Kürzen mit 1: 415
Ergebnis:
415
●17
45 der Klasse fahren mit dem Rad. 15 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das? Rechne 15 · 45.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 425
2. Kürzen mit 1: 425
Ergebnis:
425
★18
Von 15 einer Pizza isst Lea 1/3. Welcher Anteil der ganzen Pizza ist das? Rechne 13 · 15.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 115
2. Kürzen mit 1: 115
Ergebnis:
115

7Ich dividiere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie viele Viertelstunden passen in ein Fußballspiel von 90 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

90 Minuten sind 3/2 Stunden. Man rechnet 3/2 : 1/4 = 3/2 · 4/1 = 12/2 = 6. Es passen also 6 Viertelstunden hinein. Probe: 6 · 15 Minuten = 90 Minuten.

MerkenBrüche dividieren

Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 48 : 37

Schritt für Schritt

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 48 · 73
= 2824 = 76

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 48 · 73
= 2824 = 76

Ergebnis:

AchtungKehrwert vergessen

So nicht

1/2 : 1/4 = 1/8

So richtig

1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 2

Geteilt durch einen Bruch = mal Kehrwert.

ÜbenJetzt du

○19
Berechne: 12 : 25
So fängst du an:
Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 52
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 52
2. = 54 = 54
Ergebnis:
54
●20
Berechne: 25 : 13
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 25 · 31
2. = 65 = 65
Ergebnis:
65
★21
Berechne: 34 : 13
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 34 · 31
2. = 94 = 94
Ergebnis:
94

8Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

EntdeckenFrage

Warum zeigt der Taschenrechner bei 1 : 4 einfach 0,25, bei 1 : 3 aber eine endlose Reihe von Dreien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/4 lässt sich auf 25/100 erweitern, weil 4 in 100 aufgeht. Also ist 1/4 = 0,25. Die 3 geht in keine Zahl 10, 100, 1.000 und so weiter auf. Darum bleibt beim Teilen immer ein Rest, und die Drei wiederholt sich ohne Ende.

Ausprobieren: Zahlenstrahl mit Lupe

Einen Punkt setzen, hineinzoomen, hinauszoomen – ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Zahlen.

MerkenBruch und Dezimalzahl

Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

Oder den Nenner auf 10, 100 erweitern. ¼ = 0,25, ⅕ = 0,2, ⅓ = 0,333…

BeispielGemischte Zahlen und unechte Brüche

Schreibe als gemischte Zahl: 118

Schritt für Schritt

11 : 8 = 1 Rest 3
= 1 38

11 : 8 = 1 Rest 3
= 1 38

Ergebnis:

1 38

AchtungBruchstrich als Komma gelesen

So nicht

Schreibe als gemischte Zahl: 11/8 → 11,8

So richtig

Schreibe als gemischte Zahl: 11/8 → 1 3/8

Lies den Bruchstrich als geteilt. Rechne Zähler durch Nenner.

ÜbenJetzt du

○22
Schreibe als unechten Bruch: 2 27
So fängst du an:
2 = 147
Lösung zeigen
1. 2 = 147
2. 147 + 27 = 167
Ergebnis:
167
●23
Schreibe als gemischte Zahl: 409
Lösung zeigen
1. 40 : 9 = 4 Rest 4
2. = 4 49
Ergebnis:
4 49
★24
Schreibe als gemischte Zahl: 378
Lösung zeigen
1. 37 : 8 = 4 Rest 5
2. = 4 58
Ergebnis:
4 58

9Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Um wie viele Zentimeter übertraf der Weitsprung-Weltrekord von 1991 den von 1968?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bob Beamon sprang 1968 in Mexiko-Stadt 8,90 m. Mike Powell sprang 1991 in Tokio 8,95 m. Die Differenz ist 8,95 − 8,90 = 0,05 m. Das sind genau 5 cm.

MerkenDezimalzahlen addieren

Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.

BeispielDezimalzahlen addieren und subtrahieren

Berechne schriftlich: 31,8 + 3,9

Schritt für Schritt

Komma unter Komma: 31,8 und 3,9 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Zehntel: 8 + 9 = 17 → 7, Übertrag 1
Einer: 1 + 3 + 1 = 5
Zehner: 3 + 0 = 3
= 35,7

Komma unter Komma: 31,8 und 3,9 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Zehntel: 8 + 9 = 17 → 7, Übertrag 1
Einer: 1 + 3 + 1 = 5
Zehner: 3 + 0 = 3
= 35,7

Ergebnis:

35,7

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht

Berechne schriftlich: 31,8 + 3,9 → 34,7

So richtig

Berechne schriftlich: 31,8 + 3,9 → 35,7

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

○25
Berechne schriftlich: 24,5 + 3
So fängst du an:
Komma unter Komma: 24,5 und 3 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 24,5 und 3 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Zehntel: 5 + 0 = 5
3. Einer: 4 + 3 = 7
4. Zehner: 2 + 0 = 2
5. = 27,5
Ergebnis:
27,5
●26
Berechne schriftlich: 24,3 + 1,7
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 24,3 und 1,7 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Zehntel: 3 + 7 = 10 → 0, Übertrag 1
3. Einer: 4 + 1 + 1 = 6
4. Zehner: 2 + 0 = 2
5. = 26
Ergebnis:
26
★27
Berechne schriftlich: 84,03 − 52,3
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 84,03 und 52,3 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Hundertstel: 3 − 0 = 3
3. Zehntel: 0 − 3 geht nicht → 10 − 3 = 7, Übertrag 1
4. Einer: 4 − 1 (Übertrag) − 2 = 1
5. Zehner: 8 − 5 = 3
6. = 31,73
Ergebnis:
31,73

10Ich multipliziere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 16 Blätter A4 fast genau einen Quadratmeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt misst 0,21 m mal 0,297 m. Seine Fläche ist 0,21 · 0,297 = 0,06237 m². Mal 16 sind das 0,99792 m², also fast 1 m². Der Grund: A0 ist 1 m² groß, und A4 ist A0 viermal halbiert.

MerkenDezimalzahlen multiplizieren

Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.

So viele Stellen, wie beide Faktoren zusammen haben.

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 0,3 · 0,5

Schritt für Schritt

Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
Komma 2 Stellen von rechts: 0,15

Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
Komma 2 Stellen von rechts: 0,15

Ergebnis:

0,15

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht

0,3 · 0,4 = 1,2

So richtig

0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen zählen.

ÜbenJetzt du

○28
Berechne schriftlich: 0,3 · 0,2
So fängst du an:
Kommas weglassen: 3 · 2 = 6
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 3 · 2 = 6
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,06
Ergebnis:
0,06
●29
Berechne schriftlich: 0,3 · 6
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 3 · 6 = 18
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 1,8
Ergebnis:
1,8
★30
Berechne schriftlich: 0,45 · 7
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 45 · 7 = 315
2. Nachkommastellen zählen: 2 + 0 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 3,15
Ergebnis:
3,15

11Ich dividiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele volle 0,2-Liter-Gläser kann man aus einer 1,5-Liter-Flasche einschenken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man teilt 1,5 : 0,2. Beide Zahlen mal 10 ergibt 15 : 2 = 7,5. Es gibt also 7 volle Gläser. Ein halbes Glas bleibt übrig.

MerkenDezimalzahlen dividieren

Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.

Dann schriftlich dividieren.

BeispielDezimalzahlen dividieren

Berechne: 15,88 : 4

Schritt für Schritt

Erst ohne Komma rechnen: 1588 : 4 = 397
Komma: 15,88 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
15,88 : 4 = 3,97

Erst ohne Komma rechnen: 1588 : 4 = 397
Komma: 15,88 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
15,88 : 4 = 3,97

Ergebnis:

3,97

AchtungKomma im Ergebnis beim Teilen vergessen oder verschoben

So nicht

Berechne: 15,88 : 4 → 397

So richtig

Berechne: 15,88 : 4 → 3,97

Setz das Komma im Ergebnis, sobald du im Dividenden über das Komma gehst.

ÜbenJetzt du

○31
Berechne: 23,4 : 9
So fängst du an:
Erst ohne Komma rechnen: 234 : 9 = 26
Lösung zeigen
1. Erst ohne Komma rechnen: 234 : 9 = 26
2. Komma: 23,4 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
3. 23,4 : 9 = 2,6
Ergebnis:
2,6
●32
Berechne: 4,2 : 3
Lösung zeigen
1. Erst ohne Komma rechnen: 42 : 3 = 14
2. Komma: 4,2 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
3. 4,2 : 3 = 1,4
Ergebnis:
1,4
★33
Berechne: 15,75 : 2,5
Lösung zeigen
1. Komma im Teiler weg: beide Zahlen mal 10
2. 15,75 : 2,5 = 157,5 : 25
3. 157,5 : 25 = 6,3
Ergebnis:
6,3

12Ich runde Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum rechnet man in der Schule mit 3,14 für π, obwohl π unendlich viele Stellen nach dem Komma hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

π beginnt mit 3,14159. Auf zwei Stellen gerundet ist die dritte Stelle eine 1, also wird abgerundet: 3,14. Der Fehler ist kleiner als zwei Tausendstel. Für Zeichnungen mit Zirkel und Lineal reicht das völlig.

MerkenRunden

Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

Immer von der Ausgangszahl runden, nie vom gerundeten Zwischenwert: 3,456 ≈ 3,5, nicht 3,46 ≈ 3,5.

BeispielDezimalzahlen runden

Runde 3,661 auf Hundertstel.

Schritt für Schritt

Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 6.
Rechts daneben steht 1: abrunden.
3,661 ≈ 3,66

Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 6.
Rechts daneben steht 1: abrunden.
3,661 ≈ 3,66

Ergebnis:

3,66

AchtungAn der falschen Stelle gerundet

So nicht

92.578 auf Hunderter → 93.000

So richtig

92.578 auf Hunderter → 92.600

Markiere zuerst die Rundungsstelle. Schau dann nur auf die Ziffer rechts daneben.

ÜbenJetzt du

○34
Runde 7,798 auf Zehntel.
So fängst du an:
Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 7.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 7.
2. Rechts daneben steht 9: aufrunden.
3. 7,798 ≈ 7,8
Ergebnis:
7,8
●35
Runde 17,855 auf Hundertstel.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 5.
2. Rechts daneben steht 5: aufrunden.
3. 17,855 ≈ 17,86
Ergebnis:
17,86
★36
Runde 19,952 auf Zehntel.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Zehntel, dort steht 9.
2. Rechts daneben steht 5: aufrunden.
3. 19,952 ≈ 20,0
Ergebnis:
20,0

13Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie breit muss eine Deutschlandfahne sein, die 1,5 m hoch ist, und wie hoch ist jeder Streifen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Höhe und Länge der Bundesflagge stehen im Verhältnis 3 zu 5. Die Länge ist also 5/3 von 1,5 m, das sind 2,5 m. Jeder der drei Streifen ist ein Drittel hoch: 1,5 : 3 = 0,5 m.

MerkenSachaufgaben

Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.

Antwort mit Einheit.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Mia hat 64,00 € gespart. Sie gibt 38 davon für ein Buch aus und danach 2,10 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?

Schritt für Schritt

Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
Buch: 64 : 8 · 3 = 24
64 − 24 = 40
40 − 2,1 = 37,9

Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
Buch: 64 : 8 · 3 = 24
64 − 24 = 40
40 − 2,1 = 37,9

Ergebnis:

37,90 €

AchtungAnteil umgedreht

So nicht

2/5 von 100 = 250

So richtig

2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

○37
Für 4 Personen braucht man 1 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 8 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 1,60 €. Was kosten die Kartoffeln?
So fängst du an:
Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
Lösung zeigen
1. Plan: erst die Menge für 8 Personen, dann der Preis.
2. 1 12 kg sind 1,5 kg.
3. 1,5 : 4 · 8 = 3
4. 3 · 1,6 = 4,8
Ergebnis:
4,80 €
●38
Ein Aquarium fasst 40 Liter. Es ist zu 14 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
Lösung zeigen
1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
2. 14 von 40: 40 : 4 · 1 = 10
3. Es fehlen 40 − 10 = 30
4. 30 : 2,5 = 12
Ergebnis:
12 Eimer
★39
Ein Aquarium fasst 60 Liter. Es ist zu 35 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
Lösung zeigen
1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
2. 35 von 60: 60 : 5 · 3 = 36
3. Es fehlen 60 − 36 = 24
4. 24 : 2 = 12
Ergebnis:
12 Eimer

14Ich berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Wie viele Minuten reine Spielzeit sind drei Viertel eines Basketballspiels?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Basketballspiel hat vier Viertel zu je 10 Minuten, zusammen 40 Minuten. Drei Viertel davon sind 40 : 4 · 3 = 30 Minuten. Nach drei Vierteln stehen also 30 Minuten auf der Uhr.

MerkenBruchteile von Größen

„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Erst durch den Nenner, dann mal den Zähler.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 35 von 100 l.

Schritt für Schritt

100 : 5 = 20
20 · 3 = 60

100 : 5 = 20
20 · 3 = 60

Ergebnis:

60 l

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht

3/4 von 20 = 20 : 3/4

So richtig

3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

○40
Berechne 58 von 40 kg.
So fängst du an:
40 : 8 = 5
Lösung zeigen
1. 40 : 8 = 5
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 kg
●41
Berechne 58 von 40 €.
Lösung zeigen
1. 40 : 8 = 5
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 €
★42
Berechne 34 von 28 min.
Lösung zeigen
1. 28 : 4 = 7
2. 7 · 3 = 21
Ergebnis:
21 min

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●43
Berechne: 34 + 78
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 68 + 78
2. = 138
Ergebnis:
138
●44
Berechne: 12 · 27
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 214
2. Kürzen mit 2: 17
Ergebnis:
17
●45
Berechne 58 von 80 kg.
Lösung zeigen
1. 80 : 8 = 10
2. 10 · 5 = 50
Ergebnis:
50 kg
●46
Berechne schriftlich: 0,5 · 4
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 5 · 4 = 20
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 2
Ergebnis:
2
●47
Berechne: 24 + 34
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 4: nur die Zähler addieren
2. 2 + 3 = 5 → 54
Ergebnis:
54
●48
Welcher Bruch ist größer: 57 oder 58? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 4056 und 3556
2. 57 > 58
Ergebnis:
57 > 58

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch als Anteil: Nenner: in wie viele gleiche Teile.
Erweitern und Kürzen: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).
Brüche vergleichen: Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.
Gleichnamige Brüche addieren: Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.
Ungleichnamige Brüche addieren: Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.
Brüche dividieren: Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.
Bruch und Dezimalzahl: Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.
Dezimalzahlen addieren: Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.
Dezimalzahlen multiplizieren: Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.
Dezimalzahlen dividieren: Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.
Runden: Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.
Sachaufgaben: Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.
Bruchteile von Größen: „von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.
49
Welcher Bruch ist größer: 59 oder 56? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
59 < 56
Ich erweitere und kürze Brüche.
50
Erweitere 45 mit 4.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1620
Ich vergleiche und ordne Brüche.
51
Welcher Bruch ist größer: 49 oder 45? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
49 < 45
Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.
52
Berechne: 36 + 26
Lösung zeigen
Ergebnis:
56
Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.
53
Berechne: 48 + 34
Lösung zeigen
Ergebnis:
54
Ich multipliziere Brüche.
54
Berechne: 24 · 48
Lösung zeigen
Ergebnis:
14
Ich dividiere Brüche.
55
Berechne: 36 : 14
Lösung zeigen
Ergebnis:
2
Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.
56
Schreibe als unechten Bruch: 4 35
Lösung zeigen
Ergebnis:
235
Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.
57
Berechne schriftlich: 37,9 − 6,8
Lösung zeigen
Ergebnis:
31,1
Ich multipliziere Dezimalzahlen.
58
Berechne schriftlich: 2,4 · 6
Lösung zeigen
Ergebnis:
14,4
Ich dividiere Dezimalzahlen.
59
Berechne: 13,5 : 3
Lösung zeigen
Ergebnis:
4,5
Ich runde Dezimalzahlen.
60
Runde 21,257 auf Hundertstel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
21,26
Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.
61
Für einen Vorhang braucht Frau Lang 2 12 m Stoff. 1 m kostet 6,50 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3,75 €
Ich berechne Bruchteile von Größen.
62
Berechne 34 von 20 €.
Lösung zeigen
Ergebnis:
15 €
Ich wiederhole das Kapitel spielerisch.
63
Tom trinkt 78 Liter Saft, Mia 14 Liter. Wie viel Liter sind das zusammen? Rechne 78 + 14.
Lösung zeigen
Ergebnis:
98

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erweitern und Kürzen: Brüche vergleichbar machen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Pizza teilen, Tank halb voll, Dreiviertelstunde. Beruf: Handwerk (Zoll-Maße), Musik (Notenwerte), Küche.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Gleichnamig: gleicher Nenner – gleich große Teile
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche als Anteile, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Anteile und Verhältnisse, Daten vergleichen und Zufall untersuchen, Gleichungen und Formeln, Dezimalzahlen, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen, Zuordnungen, Prozentrechnung, Rationale Zahlen, Wahrscheinlichkeit, Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit

Lösungen

34 > 47
16 > 17
212 < 1112
1521
4254
1
34 > 38
14 < 49
26 > 215
78
1110
415
54
54
89
415
425
115
54
65
94
167
4 49
4 58
27,5
26
31,73
0,06
1,8
3,15
2,6
1,4
6,3
7,8
17,86
20,0
4,80 €
12 Eimer
12 Eimer
25 kg
25 €
21 min
138
17
50 kg
2
54
57 > 58
59 < 56
1620
49 < 45
56
54
14
2
235
31,1
14,4
4,5
21,26
3,75 €
15 €
98
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
ja