Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Zeichnungen sind zu ungenau, Zähler-Vergleich und Nenner-Vergleich widersprechen sich. Die Klasse kann sich nicht einigen. Bringt man beide auf denselben Nenner, 24/40 und 25/40, ist der Vergleich eine Sache von einem Blick. Das ist Erweitern.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch wird durch einen gemeinsamen Teiler gekürzt – Teiler und Vielfache muss man sehen.

●64
Bestimme alle Teiler von 24.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
●65
Ist 421 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 9: Quersumme 7 durch 9 teilbar?
2. 421 prüfen: Quersumme 7, 7 : 9 = 0 Rest 7
3. Probe: 421 : 9 = 46 Rest 7
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAnteil · Operator · Verhältnis

Ein Bruch ist dreierlei: ein Anteil an einem Ganzen (¾ der Pizza), eine Rechenanweisung (¾ von 20 €) und ein Vergleich (3 zu 4). Jede Aufgabe verlangt eine dieser drei Sichtweisen.

WeiterdenkenDenk nach

Ist ¾ immer mehr als ½? Und ¾ einer Pizza gegen ½ eines Kuchenblechs?

1Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.

EntdeckenFrage

Warum scheiterte ein Burger, nur weil er ein Drittel Pfund wog?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

A&W verkaufte 1980 in den USA den Drittelpfünder billiger als den Viertelpfünder – und verlor, weil viele 1/3 für kleiner hielten als 1/4. Der Nenner sagt, in wie viele Teile geteilt wird.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenBruch als Anteil

Nenner: in wie viele gleiche Teile.

Zähler: wie viele davon. ¾ einer Pizza: in 4 Stücke geteilt, 3 gegessen.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 13 oder 59? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichnamig machen: 927 und 1527
13 < 59

Gleichnamig machen: 927 und 1527
13 < 59

Ergebnis:

13 < 59

AchtungNenner addiert

So nicht

3/4 + 2/5 = 5/9

So richtig

3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Nur Zähler addieren, Nenner bleibt.

ÜbenJetzt du

○1
Welcher Bruch ist größer: 45 oder 19? Begründe.
So fängst du an:
Gleichnamig machen: 3645 und 545
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 3645 und 545
2. 45 > 19
Ergebnis:
45 > 19
●2
Welcher Bruch ist größer: 23 oder 48? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 1624 und 1224
2. 23 > 48
Ergebnis:
23 > 48
★3
Welcher Bruch ist größer: 511 oder 910? Begründe.
Lösung zeigen
1. Als Dezimalzahl: 0,455 und 0,9
2. 511 < 910
Ergebnis:
511 < 910

2Ich erweitere und kürze Brüche.

EntdeckenFrage

Wie teilten die Ägypter drei Brote unter fünf Leuten – ohne Bruchstriche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur mit Stammbrüchen: 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15. Jeder bekam ein Drittel, ein Fünftel und ein Fünfzehntel eines Brotes – und alle gleich viel.

MerkenErweitern und Kürzen

Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).

Der Wert bleibt gleich.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielBrüche erweitern und kürzen

Erweitere 12 mit 5.

Schritt für Schritt

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Zähler: 1 · 5 = 5
Nenner: 2 · 5 = 10

Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Zähler: 1 · 5 = 5
Nenner: 2 · 5 = 10

Ergebnis:

510

AchtungBeim Erweitern oder Kürzen addiert statt malgenommen

So nicht

Kürze 18/42 durch 6 → 12/36

So richtig

Kürze 18/42 durch 6 → 3/7

Frag dich: Mit welcher Zahl wurde der Nenner malgenommen? Nimm den Zähler genauso mal.

ÜbenJetzt du

○4
Kürze 1842 durch 6.
So fängst du an:
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Lösung zeigen
1. Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
2. Zähler: 18 : 6 = 3
3. Nenner: 42 : 6 = 7
Ergebnis:
37
●5
Erweitere 45 mit 6.
Lösung zeigen
1. Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
2. Zähler: 4 · 6 = 24
3. Nenner: 5 · 6 = 30
Ergebnis:
2430
★6
Ergänze die fehlende Zahl: 714 = □/2
Lösung zeigen
1. Nenner: 14 : 7 = 2, also gekürzt durch 7
2. Zähler: 7 : 7 = 1
Ergebnis:
1

3Ich vergleiche und ordne Brüche.

EntdeckenFrage

Was ist mehr: 5/8 einer Pizza oder 2/3?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

2/3, aber knapp. Auf denselben Nenner gebracht heißt es 15/24 gegen 16/24 – erst dann kann man zwei Brüche überhaupt vergleichen.

MerkenBrüche vergleichen

Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.

Sonst gleichnamig machen oder mit ½ und 1 vergleichen.

BeispielBrüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer: 34 oder 13? Begründe.

Schritt für Schritt

Gleichnamig machen: 912 und 412
34 > 13

Gleichnamig machen: 912 und 412
34 > 13

Ergebnis:

34 > 13

AchtungGrößerer Nenner, größerer Bruch

So nicht

3/8 > 3/4, weil 8 größer ist als 4

So richtig

3/8 < 3/4: Achtel sind kleiner als Viertel

Stell dir eine Pizza vor: Teilst du sie in mehr Stücke, wird jedes Stück kleiner. Vergleiche dann die Stücke.

ÜbenJetzt du

○7
Welcher Bruch ist größer: 36 oder 34? Begründe.
So fängst du an:
Gleichnamig machen: 1224 und 1824
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 1224 und 1824
2. 36 < 34
Ergebnis:
36 < 34
●8
Welcher Bruch ist größer: 12 oder 46? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 612 und 812
2. 12 < 46
Ergebnis:
12 < 46
★9
Welcher Bruch ist größer: 89 oder 1114? Begründe.
Lösung zeigen
1. Als Dezimalzahl: 0,889 und 0,786
2. 89 > 1114
Ergebnis:
89 > 1114

4Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Warum heißt es Viervierteltakt – und was passiert, wenn eine Note zu viel darin steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Notenwerte eines Taktes ergeben zusammen genau 4/4. Eine halbe, eine viertel und zwei achtel Noten sind ein voller Takt; kommt etwas dazu, klingt die Stelle schief.

MerkenGleichnamige Brüche addieren

Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielGleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Berechne: 310 + 610

Schritt für Schritt

Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
3 + 6 = 9 → 910

Gleicher Nenner 10: nur die Zähler addieren
3 + 6 = 9 → 910

Ergebnis:

910

AchtungNenner mitaddiert

So nicht

Berechne: 3/10 + 6/10 → 9/20

So richtig

Berechne: 3/10 + 6/10 → 9/10

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

○10
Berechne: 56 + 16
So fängst du an:
Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 6: nur die Zähler addieren
2. 5 + 1 = 6 → 66 = 11
Ergebnis:
11
●11
Berechne: 58 + 18
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
2. 5 + 1 = 6 → 68 = 34
Ergebnis:
34
★12
Berechne: 215 + 1015
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 15: nur die Zähler addieren
2. 2 + 10 = 12 → 1215 = 45
Ergebnis:
45

5Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.

EntdeckenFrage

Wie kann man 1/2 und 1/3 zusammenzählen, wenn die Stücke verschieden groß sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man schneidet beide feiner: Sechstel passen in Halbe und in Drittel. 3/6 und 2/6 sind zusammen 5/6 – erst gleich groß machen, dann zusammenzählen.

MerkenUngleichnamige Brüche addieren

Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Berechne: 12 + 78

Schritt für Schritt

Hauptnenner 8: 48 + 78
= 118

Hauptnenner 8: 48 + 78
= 118

Ergebnis:

118

AchtungNenner erweitert, Zähler nicht

So nicht

Berechne: 1/2 + 7/8 → 8/8

So richtig

Berechne: 1/2 + 7/8 → 11/8

Nimm Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne: 14 + 38
So fängst du an:
Hauptnenner 8: 28 + 38
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 28 + 38
2. = 58
Ergebnis:
58
●14
Tom trinkt 24 Liter Saft, Mia 48 Liter. Wie viel Liter sind das zusammen? Rechne 24 + 48.
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 48 + 48
2. = 88 = 11
Ergebnis:
11
★15
Jonas läuft 13 km zum Bus und dann 38 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 13 + 38.
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 24: 824 + 924
2. = 1724
Ergebnis:
1724

6Ich multipliziere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie lang ist eine punktierte Viertelnote, wenn der Punkt die Note um die Hälfte ihrer Länge verlängert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Hälfte einer Viertelnote ist 1/2 · 1/4 = 1/8. Zusammen sind das 1/4 + 1/8 = 3/8. Kürzer gerechnet: 3/2 · 1/4 = 3/8. Die punktierte Viertel dauert also drei Achtel.

MerkenBrüche multiplizieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.

BeispielBruch mal Bruch

Von 24 einer Pizza isst Lea 1/2. Welcher Anteil der ganzen Pizza ist das? Rechne 12 · 24.

Schritt für Schritt

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 28
Kürzen mit 2: 14

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 28
Kürzen mit 2: 14

Ergebnis:

AchtungÜber Kreuz multipliziert

So nicht

Berechne: 1/3 · 2/8 → 8/6

So richtig

Berechne: 1/3 · 2/8 → 1/12

Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

ÜbenJetzt du

○16
Berechne: 13 · 28
So fängst du an:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 224
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 224
2. Kürzen mit 2: 112
Ergebnis:
112
●17
Ein Beet nimmt 48 des Gartens ein. 13 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 13 · 48.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 424
2. Kürzen mit 4: 16
Ergebnis:
16
★18
Berechne: 23 · 27
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 421
2. Kürzen mit 1: 421
Ergebnis:
421

7Ich dividiere Brüche.

EntdeckenFrage

Wie viele Viertelstunden passen in ein Fußballspiel von 90 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

90 Minuten sind 3/2 Stunden. Man rechnet 3/2 : 1/4 = 3/2 · 4/1 = 12/2 = 6. Es passen also 6 Viertelstunden hinein. Probe: 6 · 15 Minuten = 90 Minuten.

MerkenBrüche dividieren

Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 17 : 12

Schritt für Schritt

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 17 · 21
= 27 = 27

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 17 · 21
= 27 = 27

Ergebnis:

AchtungKehrwert vergessen

So nicht

1/2 : 1/4 = 1/8

So richtig

1/2 : 1/4 = 1/2 · 4/1 = 2

Geteilt durch einen Bruch = mal Kehrwert.

ÜbenJetzt du

○19
Wie oft passt 24 in 45? Rechne 45 : 24.
So fängst du an:
Mit dem Kehrwert multiplizieren: 45 · 42
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 45 · 42
2. = 1610 = 85
Ergebnis:
85
●20
Berechne: 13 : 14
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 13 · 41
2. = 43 = 43
Ergebnis:
43
★21
Berechne: 48 : 12
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 48 · 21
2. = 88 = 1
Ergebnis:
1

8Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.

EntdeckenFrage

Warum zeigt der Taschenrechner bei 1 : 4 einfach 0,25, bei 1 : 3 aber eine endlose Reihe von Dreien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/4 lässt sich auf 25/100 erweitern, weil 4 in 100 aufgeht. Also ist 1/4 = 0,25. Die 3 geht in keine Zahl 10, 100, 1.000 und so weiter auf. Darum bleibt beim Teilen immer ein Rest, und die Drei wiederholt sich ohne Ende.

Ausprobieren: Zahlenstrahl mit Lupe

Einen Punkt setzen, hineinzoomen, hinauszoomen – ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Zahlen.

MerkenBruch und Dezimalzahl

Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

Oder den Nenner auf 10, 100 erweitern. ¼ = 0,25, ⅕ = 0,2, ⅓ = 0,333…

BeispielGemischte Zahlen und unechte Brüche

Schreibe als gemischte Zahl: 125

Schritt für Schritt

12 : 5 = 2 Rest 2
= 2 25

12 : 5 = 2 Rest 2
= 2 25

Ergebnis:

2 25

AchtungBruchstrich als Komma gelesen

So nicht

Schreibe als gemischte Zahl: 12/5 → 12,5

So richtig

Schreibe als gemischte Zahl: 12/5 → 2 2/5

Lies den Bruchstrich als geteilt. Rechne Zähler durch Nenner.

ÜbenJetzt du

○22
Schreibe als unechten Bruch: 3 16
So fängst du an:
3 = 186
Lösung zeigen
1. 3 = 186
2. 186 + 16 = 196
Ergebnis:
196
●23
Schreibe als unechten Bruch: 5 67
Lösung zeigen
1. 5 = 357
2. 357 + 67 = 417
Ergebnis:
417
★24
Schreibe als gemischte Zahl: 228
Lösung zeigen
1. 22 : 8 = 2 Rest 6
2. = 2 68
Ergebnis:
2 68

9Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Um wie viele Zentimeter übertraf der Weitsprung-Weltrekord von 1991 den von 1968?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bob Beamon sprang 1968 in Mexiko-Stadt 8,90 m. Mike Powell sprang 1991 in Tokio 8,95 m. Die Differenz ist 8,95 − 8,90 = 0,05 m. Das sind genau 5 cm.

MerkenDezimalzahlen addieren

Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.

BeispielDezimalzahlen addieren und subtrahieren

Berechne schriftlich: 38,3 − 9,5

Schritt für Schritt

Komma unter Komma: 38,3 und 9,5 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Zehntel: 3 − 5 geht nicht → 13 − 5 = 8, Übertrag 1
Einer: 8 − 1 (Übertrag) − 9 geht nicht → 17 − 9 = 8, Übertrag 1
Zehner: 3 − 1 (Übertrag) − 0 = 2
= 28,8

Komma unter Komma: 38,3 und 9,5 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Zehntel: 3 − 5 geht nicht → 13 − 5 = 8, Übertrag 1
Einer: 8 − 1 (Übertrag) − 9 geht nicht → 17 − 9 = 8, Übertrag 1
Zehner: 3 − 1 (Übertrag) − 0 = 2
= 28,8

Ergebnis:

28,8

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht

Berechne schriftlich: 38,3 − 9,5 → 31,2

So richtig

Berechne schriftlich: 38,3 − 9,5 → 28,8

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

○25
Berechne schriftlich: 34,8 − 3,9
So fängst du an:
Komma unter Komma: 34,8 und 3,9 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 34,8 und 3,9 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Zehntel: 8 − 9 geht nicht → 18 − 9 = 9, Übertrag 1
3. Einer: 4 − 1 (Übertrag) − 3 = 0
4. Zehner: 3 − 0 = 3
5. = 30,9
Ergebnis:
30,9
●26
Berechne schriftlich: 71,5 − 6,1
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 71,5 und 6,1 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Zehntel: 5 − 1 = 4
3. Einer: 1 − 6 geht nicht → 11 − 6 = 5, Übertrag 1
4. Zehner: 7 − 1 (Übertrag) − 0 = 6
5. = 65,4
Ergebnis:
65,4
★27
Berechne schriftlich: 64,2 − 13,59
Lösung zeigen
1. Komma unter Komma: 64,2 und 13,59 untereinander, fehlende Stellen mit 0 auffüllen
2. Hundertstel: 0 − 9 geht nicht → 10 − 9 = 1, Übertrag 1
3. Zehntel: 2 − 1 (Übertrag) − 5 geht nicht → 11 − 5 = 6, Übertrag 1
4. Einer: 4 − 1 (Übertrag) − 3 = 0
5. Zehner: 6 − 1 = 5
6. = 50,61
Ergebnis:
50,61

10Ich multipliziere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 16 Blätter A4 fast genau einen Quadratmeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt misst 0,21 m mal 0,297 m. Seine Fläche ist 0,21 · 0,297 = 0,06237 m². Mal 16 sind das 0,99792 m², also fast 1 m². Der Grund: A0 ist 1 m² groß, und A4 ist A0 viermal halbiert.

MerkenDezimalzahlen multiplizieren

Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.

So viele Stellen, wie beide Faktoren zusammen haben.

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 0,5 · 6

Schritt für Schritt

Kommas weglassen: 5 · 6 = 30
Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
Komma 1 Stelle von rechts: 3

Kommas weglassen: 5 · 6 = 30
Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
Komma 1 Stelle von rechts: 3

Ergebnis:

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht

0,3 · 0,4 = 1,2

So richtig

0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen zählen.

ÜbenJetzt du

○28
Berechne schriftlich: 0,3 · 4
So fängst du an:
Kommas weglassen: 3 · 4 = 12
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 3 · 4 = 12
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 1,2
Ergebnis:
1,2
●29
Berechne schriftlich: 2,4 · 4
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 24 · 4 = 96
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 9,6
Ergebnis:
9,6
★30
Berechne schriftlich: 0,45 · 2,3
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 45 · 23 = 1035
2. Nachkommastellen zählen: 2 + 1 = 3
3. Komma 3 Stellen von rechts: 1,035
Ergebnis:
1,035

11Ich dividiere Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele volle 0,2-Liter-Gläser kann man aus einer 1,5-Liter-Flasche einschenken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man teilt 1,5 : 0,2. Beide Zahlen mal 10 ergibt 15 : 2 = 7,5. Es gibt also 7 volle Gläser. Ein halbes Glas bleibt übrig.

MerkenDezimalzahlen dividieren

Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.

Dann schriftlich dividieren.

BeispielDezimalzahlen dividieren

Berechne: 5,8 : 2

Schritt für Schritt

Erst ohne Komma rechnen: 58 : 2 = 29
Komma: 5,8 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
5,8 : 2 = 2,9

Erst ohne Komma rechnen: 58 : 2 = 29
Komma: 5,8 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
5,8 : 2 = 2,9

Ergebnis:

2,9

AchtungKomma im Ergebnis beim Teilen vergessen oder verschoben

So nicht

Berechne: 5,8 : 2 → 29

So richtig

Berechne: 5,8 : 2 → 2,9

Setz das Komma im Ergebnis, sobald du im Dividenden über das Komma gehst.

ÜbenJetzt du

○31
Berechne: 13,95 : 3
So fängst du an:
Erst ohne Komma rechnen: 1395 : 3 = 465
Lösung zeigen
1. Erst ohne Komma rechnen: 1395 : 3 = 465
2. Komma: 13,95 hat zwei Stellen nach dem Komma, das Ergebnis auch.
3. 13,95 : 3 = 4,65
Ergebnis:
4,65
●32
Berechne: 28,8 : 4
Lösung zeigen
1. Erst ohne Komma rechnen: 288 : 4 = 72
2. Komma: 28,8 hat eine Stelle nach dem Komma, das Ergebnis auch.
3. 28,8 : 4 = 7,2
Ergebnis:
7,2
★33
Berechne: 7,6 : 0,2
Lösung zeigen
1. Komma im Teiler weg: beide Zahlen mal 10
2. 7,6 : 0,2 = 76 : 2
3. 76 : 2 = 38
Ergebnis:
38

12Ich runde Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum rechnet man in der Schule mit 3,14 für π, obwohl π unendlich viele Stellen nach dem Komma hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

π beginnt mit 3,14159. Auf zwei Stellen gerundet ist die dritte Stelle eine 1, also wird abgerundet: 3,14. Der Fehler ist kleiner als zwei Tausendstel. Für Zeichnungen mit Zirkel und Lineal reicht das völlig.

MerkenRunden

Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

Immer von der Ausgangszahl runden, nie vom gerundeten Zwischenwert: 3,456 ≈ 3,5, nicht 3,46 ≈ 3,5.

BeispielDezimalzahlen runden

Runde 15,402 auf Hundertstel.

Schritt für Schritt

Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 0.
Rechts daneben steht 2: abrunden.
15,402 ≈ 15,40

Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 0.
Rechts daneben steht 2: abrunden.
15,402 ≈ 15,40

Ergebnis:

15,40

AchtungAuf die falsche Seite gerundet

So nicht

583 auf Zehner → 590

So richtig

583 auf Zehner → 580

Schau, welcher Nachbar näher liegt. Dorthin rundest du.

ÜbenJetzt du

○34
Runde 18,289 auf Hundertstel.
So fängst du an:
Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 8.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 8.
2. Rechts daneben steht 9: aufrunden.
3. 18,289 ≈ 18,29
Ergebnis:
18,29
●35
Runde 3,731 auf Hundertstel.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Hundertstel, dort steht 3.
2. Rechts daneben steht 1: abrunden.
3. 3,731 ≈ 3,73
Ergebnis:
3,73
★36
Ein Rechner zeigt für den Preis je Stück 11,695 €. Runde auf ganze Cent.
Lösung zeigen
1. Rundungsstelle: Cent sind Hundertstel, dort steht 9.
2. Rechts daneben steht 5: aufrunden.
3. 11,695 ≈ 11,70
Ergebnis:
11,70 €

13Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie breit muss eine Deutschlandfahne sein, die 1,5 m hoch ist, und wie hoch ist jeder Streifen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Höhe und Länge der Bundesflagge stehen im Verhältnis 3 zu 5. Die Länge ist also 5/3 von 1,5 m, das sind 2,5 m. Jeder der drei Streifen ist ein Drittel hoch: 1,5 : 3 = 0,5 m.

MerkenSachaufgaben

Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.

Antwort mit Einheit.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Für 4 Personen braucht man 1 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 2 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 1,60 €. Was kosten die Kartoffeln?

Schritt für Schritt

Plan: erst die Menge für 2 Personen, dann der Preis.
1 12 kg sind 1,5 kg.
1,5 : 4 · 2 = 0,75
0,75 · 1,6 = 1,2

Plan: erst die Menge für 2 Personen, dann der Preis.
1 12 kg sind 1,5 kg.
1,5 : 4 · 2 = 0,75
0,75 · 1,6 = 1,2

Ergebnis:

1,20 €

AchtungAnteil umgedreht

So nicht

2/5 von 100 = 250

So richtig

2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

○37
Ein Aquarium fasst 100 Liter. Es ist zu 34 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
So fängst du an:
Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
Lösung zeigen
1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
2. 34 von 100: 100 : 4 · 3 = 75
3. Es fehlen 100 − 75 = 25
4. 25 : 2,5 = 10
Ergebnis:
10 Eimer
●38
Ein Aquarium fasst 80 Liter. Es ist zu 14 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
Lösung zeigen
1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
2. 14 von 80: 80 : 4 · 1 = 20
3. Es fehlen 80 − 20 = 60
4. 60 : 5 = 12
Ergebnis:
12 Eimer
★39
Mia hat 27,00 € gespart. Sie gibt 13 davon für ein Buch aus und danach 2,20 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
Lösung zeigen
1. Plan: erst das Buch, dann das Kino abziehen.
2. Buch: 27 : 3 · 1 = 9
3. 27 − 9 = 18
4. 18 − 2,2 = 15,8
Ergebnis:
15,80 €

14Ich berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Wie viele Minuten reine Spielzeit sind drei Viertel eines Basketballspiels?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Basketballspiel hat vier Viertel zu je 10 Minuten, zusammen 40 Minuten. Drei Viertel davon sind 40 : 4 · 3 = 30 Minuten. Nach drei Vierteln stehen also 30 Minuten auf der Uhr.

MerkenBruchteile von Größen

„von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Erst durch den Nenner, dann mal den Zähler.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 23 von 30 kg.

Schritt für Schritt

30 : 3 = 10
10 · 2 = 20

30 : 3 = 10
10 · 2 = 20

Ergebnis:

20 kg

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht

3/4 von 20 = 20 : 3/4

So richtig

3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

○40
Berechne 58 von 80 min.
So fängst du an:
80 : 8 = 10
Lösung zeigen
1. 80 : 8 = 10
2. 10 · 5 = 50
Ergebnis:
50 min
●41
Berechne 34 von 20 €.
Lösung zeigen
1. 20 : 4 = 5
2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 €
★42
Berechne 34 von 60 kg.
Lösung zeigen
1. 60 : 4 = 15
2. 15 · 3 = 45
Ergebnis:
45 kg

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●43
Jonas läuft 38 km zum Bus und dann 48 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 38 + 48.
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 38 + 48
2. = 78
Ergebnis:
78
●44
Ein Beet nimmt 24 des Gartens ein. 46 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 46 · 24.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 824
2. Kürzen mit 8: 13
Ergebnis:
13
●45
Berechne 58 von 80 l.
Lösung zeigen
1. 80 : 8 = 10
2. 10 · 5 = 50
Ergebnis:
50 l
●46
Berechne schriftlich: 0,5 · 0,5
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 5 · 5 = 25
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,25
Ergebnis:
0,25
●47
Berechne: 28 + 38
Lösung zeigen
1. Gleicher Nenner 8: nur die Zähler addieren
2. 2 + 3 = 5 → 58
Ergebnis:
58
●48
Welcher Bruch ist größer: 36 oder 39? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 2754 und 1854
2. 36 > 39
Ergebnis:
36 > 39

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch als Anteil: Nenner: in wie viele gleiche Teile.
Erweitern und Kürzen: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen (erweitern) oder teilen (kürzen).
Brüche vergleichen: Gleicher Nenner: größerer Zähler gewinnt.
Gleichnamige Brüche addieren: Zähler addieren oder subtrahieren, Nenner bleibt. 2/7 + 3/7 = 5/7.
Ungleichnamige Brüche addieren: Erst auf den Hauptnenner erweitern, dann Zähler addieren. ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen, über Kreuz erlaubt.
Brüche dividieren: Mit dem Kehrbruch multiplizieren: ⅔ : ¼ = ⅔ · 4 = 8/3.
Bruch und Dezimalzahl: Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.
Dezimalzahlen addieren: Komma unter Komma, fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann wie ganze Zahlen rechnen.
Dezimalzahlen multiplizieren: Ohne Komma rechnen, dann das Komma setzen.
Dezimalzahlen dividieren: Komma beim Divisor so weit verschieben, bis er ganzzahlig ist – beim Dividend gleich weit.
Runden: Auf die nächste Stelle schauen: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.
Sachaufgaben: Bruch oder Dezimalzahl – nimm die Form, mit der sich leichter rechnet.
Bruchteile von Größen: „von“ heißt „mal“: ¾ von 20 € = 20 : 4 · 3 = 15 €.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich lese Brüche als Anteile aus Bildern ab und stelle sie selbst dar.
49
Welcher Bruch ist größer: 36 oder 59? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 < 59
Ich erweitere und kürze Brüche.
50
Kürze 1824 durch 6.
Lösung zeigen
Ergebnis:
34
Ich vergleiche und ordne Brüche.
51
Welcher Bruch ist größer: 59 oder 26? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
59 > 26
Ich addiere und subtrahiere gleichnamige Brüche.
52
Berechne: 56 + 46
Lösung zeigen
Ergebnis:
32
Ich addiere und subtrahiere ungleichnamige Brüche.
53
Tom trinkt 78 Liter Saft, Mia 68 Liter. Wie viel Liter sind das zusammen? Rechne 78 + 68.
Lösung zeigen
Ergebnis:
138
Ich multipliziere Brüche.
54
Berechne: 12 · 23
Lösung zeigen
Ergebnis:
13
Ich dividiere Brüche.
55
Berechne: 28 : 12
Lösung zeigen
Ergebnis:
12
Ich wandle Brüche in Dezimalzahlen um und zurück.
56
Schreibe als unechten Bruch: 3 28
Lösung zeigen
Ergebnis:
268
Ich addiere und subtrahiere Dezimalzahlen.
57
Berechne schriftlich: 52,5 − 2
Lösung zeigen
Ergebnis:
50,5
Ich multipliziere Dezimalzahlen.
58
Berechne schriftlich: 2,4 · 0,2
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,48
Ich dividiere Dezimalzahlen.
59
Berechne: 71,1 : 9
Lösung zeigen
Ergebnis:
7,9
Ich runde Dezimalzahlen.
60
Runde 18,952 auf Zehntel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
19,0
Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.
61
Mia hat 32,00 € gespart. Sie gibt 38 davon für ein Buch aus und danach 5,10 € für das Kino. Wie viel Geld hat Mia danach noch?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14,90 €
Ich berechne Bruchteile von Größen.
62
Berechne 58 von 80 kg.
Lösung zeigen
Ergebnis:
50 kg
Ich wiederhole das Kapitel spielerisch.
63
Tom trinkt 34 Liter Saft, Mia 58 Liter. Wie viel Liter sind das zusammen? Rechne 34 + 58.
Lösung zeigen
Ergebnis:
118

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Anteil ist größer: 3/5 oder 5/8? Entscheide ohne Taschenrechner. Begründe so, dass jemand anderes es dir glaubt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erweitern und Kürzen: Brüche vergleichbar machen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Pizza teilen, Tank halb voll, Dreiviertelstunde. Beruf: Handwerk (Zoll-Maße), Musik (Notenwerte), Küche.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen
Gleichnamig: gleicher Nenner – gleich große Teile
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche als Anteile, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Kreise, Kreisteile und Kreisdiagramme, Anteile und Verhältnisse, Daten vergleichen und Zufall untersuchen, Gleichungen und Formeln, Dezimalzahlen, Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen, Zuordnungen, Prozentrechnung, Rationale Zahlen, Wahrscheinlichkeit, Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit

Lösungen

45 > 19
23 > 48
511 < 910
37
2430
1
36 < 34
12 < 46
89 > 1114
11
34
45
58
11
1724
112
16
421
85
43
1
196
417
2 68
30,9
65,4
50,61
1,2
9,6
1,035
4,65
7,2
38
18,29
3,73
11,70 €
10 Eimer
12 Eimer
15,80 €
50 min
15 €
45 kg
78
13
50 l
0,25
58
36 > 39
36 < 59
34
59 > 26
32
138
13
12
268
50,5
0,48
7,9
19,0
14,90 €
50 kg
118
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
nein