Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

Prozentrechnung

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher Rabatt ist besser: 3 von 20 € geschenkt, 7 von 40 € oder 11 von 60 €? Ordne und begründe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Drei Brüche mit verschiedenen Nennern – der Vergleich ist mühsam, und jede Gruppe erweitert anders. Ein gemeinsamer Nenner für alle Fälle fehlt. Alle auf 100: 15 von 100, 17,5 von 100, 18,3 von 100. Das ist Prozent – ein Nenner für alle Vergleiche.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil von hundert – dieselbe Zahl wie ein Bruch, nur anders geschrieben.

●51
Berechne 23 von 30 min.
Lösung zeigen
1. 30 : 3 = 10
2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 min
●52
Welcher Bruch ist größer: 28 oder 12? Begründe.
Lösung zeigen
1. Gleichnamig machen: 416 und 816
2. 28 < 12
Ergebnis:
28 < 12

ÜbenWeißt du das noch?

Beim Multiplizieren mit einer Zahl kleiner als eins wird das Ergebnis kleiner.

●53
Berechne schriftlich: 0,3 · 6
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 3 · 6 = 18
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 1,8
Ergebnis:
1,8
●54
Berechne schriftlich: 1,5 · 0,2
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 15 · 2 = 30
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,3
Ergebnis:
0,3

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenProzent ist ein Anteil am Ganzen

1 % ist der hundertste Teil von etwas. Deshalb ist die erste Frage nie „was rechne ich?“, sondern „was ist hier das Ganze?“ – der Grundwert. Er ist das, was 100 % entspricht.

WeiterdenkenDenk nach

20 % Rabatt auf 50 € und 20 % Rabatt auf 80 € – warum sind das nicht gleich viel Euro?

1Ich erkläre an einem Beispiel, was Prozent bedeutet, und stelle Anteile als Bruch, Dezimalzahl und Prozent dar.

EntdeckenFrage

Warum heißt es „Prozent“ – und was hat das mit 100 zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Von lateinisch „per centum“: je hundert. 1 % ist ein Hundertstel; 25 % heißt 25 von 100 – ein Viertel, egal wovon.

MerkenProzent

Prozent heißt „von Hundert“: 25 % = 25/100 = 0,25 = ein Viertel.

Ein Prozentsatz ist ein Anteil vom Ganzen.

Eselsbrücke: Prozent-Dreieck: W oben, p und G unten – W = p · G, p = W : G, G = W : p

BeispielUmwandeln Bruch – Dezimalzahl – Prozent

Schreibe 25 % als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch.

Schritt für Schritt

25 % = 25 : 100 = 0,25
Bruch: 14

25 % = 25 : 100 = 0,25
Bruch: 14

Ergebnis:

0,25 · 14

AchtungProzent ↔ Dezimalzahl

So nicht

25 % = 2,5

So richtig

25 % = 25 : 100 = 0,25

25 % = 0,25. Das Komma wandert zwei Stellen.

ÜbenJetzt du

○1
Schreibe 1 als Prozentsatz und als gekürzten Bruch.
So fängst du an:
1 · 100 = 100 %
Lösung zeigen
1. 1 · 100 = 100 %
2. Bruch: 11
Ergebnis:
100 % · 11
●2
Schreibe 1920 als Dezimalzahl und als Prozentsatz.
Lösung zeigen
1. 1920 = 19 : 20 = 0,95
2. 0,95 · 100 = 95 %
Ergebnis:
0,95 · 95 %
★3
Schreibe 0,5 % als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch.
Lösung zeigen
1. 0,5 % = 0,5 : 100 = 0,005
2. Bruch: 1200
Ergebnis:
0,005 · 1200

2Ich wandle zwischen Bruch, Dezimalzahl und Prozent um.

EntdeckenFrage

Sind 3/8 mehr oder weniger als 40 %?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weniger: 3/8 = 0,375 = 37,5 %. Wer Brüche in Prozent umrechnet, kann sie vergleichen – 3/8 gegen 2/5 sieht man nicht, 37,5 % gegen 40 % sofort.

MerkenUmwandeln

Bruch → Prozent: Nenner auf 100 erweitern.

Dezimalzahl → Prozent: mal 100. Prozent → Dezimalzahl: durch 100.

BeispielUmwandeln Bruch – Dezimalzahl – Prozent

Schreibe 0,7 als Prozentsatz und als gekürzten Bruch.

Schritt für Schritt

0,7 · 100 = 70 %
Bruch: 710

0,7 · 100 = 70 %
Bruch: 710

Ergebnis:

70 % · 710

AchtungNoch einmal: Prozent ↔ Dezimalzahl

So nicht

25 % = 2,5

So richtig

25 % = 25 : 100 = 0,25

25 % = 0,25. Das Komma wandert zwei Stellen.

ÜbenJetzt du

○4
Schreibe 110 als Dezimalzahl und als Prozentsatz.
So fängst du an:
110 = 1 : 10 = 0,1
Lösung zeigen
1. 110 = 1 : 10 = 0,1
2. 0,1 · 100 = 10 %
Ergebnis:
0,1 · 10 %
●5
Schreibe 90 % als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch.
Lösung zeigen
1. 90 % = 90 : 100 = 0,9
2. Bruch: 910
Ergebnis:
0,9 · 910
★6
Schreibe 0,625 als Prozentsatz und als gekürzten Bruch.
Lösung zeigen
1. 0,625 · 100 = 62,5 %
2. Bruch: 58
Ergebnis:
62,5 % · 58

3Ich unterscheide Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert.

EntdeckenFrage

Auf der Chipstüte steht „30 % weniger Fett“ – 30 % weniger als was?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Als das Vergleichsprodukt derselben Marke: Der Grundwert ist der alte Fettgehalt. Ohne Grundwert sagt die Zahl nichts – deshalb muss die Packung den Vergleich nennen, und „reduziert“ darf nur draufstehen, wenn es mindestens 30 % weniger sind.

MerkenDie drei Größen

Grundwert G = das Ganze (100 %).

Prozentsatz p % = der Anteil. Prozentwert W = der Teil in Euro, Metern, Personen.

BeispielFehlende Größe: Grundwert, Prozentsatz oder Prozentwert

250 der 500 Kinder eines Jahrgangs spielen ein Instrument. Berechne, wie viel Prozent das sind.

Schritt für Schritt

250 : 500 = 0,5
0,5 · 100 = 50 %

250 : 500 = 0,5
0,5 · 100 = 50 %

Ergebnis:

50 %

AchtungGrundwert verwechselt

So nicht

20 % Rabatt auf 80 € Endpreis → 80 € sind 100 %

So richtig

80 € sind 80 %, denn 100 % ist der Preis vorher: 80 : 80 · 100 = 100 €

Was ist das Ganze (100 %)? Immer zuerst den Grundwert markieren.

ÜbenJetzt du

○7
50 % der Fahrgäste eines Zuges haben ein Deutschlandticket – das sind 100. Berechne, wie viele Fahrgäste es insgesamt gibt.
So fängst du an:
50 % → 100
Lösung zeigen
1. 50 % → 100
2. 1 % → 2
3. 100 % → 200
Ergebnis:
200
●8
5 % der Follower eines Schulkanals haben das Video geteilt – das sind 25. Berechne, wie viele Follower es insgesamt gibt.
Lösung zeigen
1. 5 % → 25
2. 1 % → 5
3. 100 % → 500
Ergebnis:
500
★9
95 % der 2400 Follower eines Schulkanals haben das Video geteilt. Berechne, wie viele das sind.
Lösung zeigen
1. 2400 · 95100
2. = 2280
Ergebnis:
2280

4Ich berechne den Prozentwert mit dem Dreisatz.

EntdeckenFrage

Ein Handy kostet 500 € plus 19 % Mehrwertsteuer – wie viel Steuer ist das?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 % von 500 € sind 5 €, 19 % sind 95 €. Über die 1 % geht jeder Prozentwert: teilen durch 100, malnehmen mit dem Prozentsatz.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenProzentwert mit Dreisatz

100 % ≙ G. Auf 1 % herunter (geteilt durch 100), dann auf p % hoch (mal p).

BeispielProzentwert berechnen

Ein Tablet kostet 300,00 €. Berechne 30 % des Preises.

Schritt für Schritt

100 % → 300,00 €
1 % → 3,00 €
30 % → 3,00 € · 30 = 90,00 €

100 % → 300,00 €
1 % → 3,00 €
30 % → 3,00 € · 30 = 90,00 €

Ergebnis:

90,00 €

AchtungProzentsatz nicht durch 100

So nicht

Ein Tablet kostet 300,00 €. Berechne 30 % des Preises → 9000

So richtig

Ein Tablet kostet 300,00 €. Berechne 30 % des Preises → 90,00 €

Rechne zuerst 1 %: teile durch 100.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Kopfhörer kostet 200,00 €. Berechne 10 % des Preises.
So fängst du an:
100 % → 200,00 €
Lösung zeigen
1. 100 % → 200,00 €
2. 1 % → 2,00 €
3. 10 % → 2,00 € · 10 = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €
●11
Ein Skateboard kostet 60,00 €. Berechne 5 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 60,00 €
2. 1 % → 0,60 €
3. 5 % → 0,60 € · 5 = 3,00 €
Ergebnis:
3,00 €
★12
Ein Skateboard kostet 240,00 €. Berechne 45 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 240,00 €
2. 1 % → 2,40 €
3. 45 % → 2,40 € · 45 = 108,00 €
Ergebnis:
108,00 €

5Ich berechne den Prozentwert mit der Dezimalzahl (Operator).

EntdeckenFrage

Was ist schneller: 500 : 100 · 19 oder 500 · 0,19?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Dasselbe Ergebnis, 95 – aber die zweite Rechnung ist ein Schritt: 19 % sind der Faktor 0,19. Wer den Prozentsatz als Dezimalzahl schreibt, rechnet mit einer Multiplikation.

MerkenProzentwert mit Operator

W = G · p/100. Beispiel: 15 % von 80 € = 80 · 0,15 = 12 €.

Schnellste Methode – der Taschenrechner-Weg.

BeispielProzentwert berechnen

Ein Konzertticket kostet 40,00 €. Berechne 50 % des Preises.

Schritt für Schritt

100 % → 40,00 €
1 % → 0,40 €
50 % → 0,40 € · 50 = 20,00 €

100 % → 40,00 €
1 % → 0,40 €
50 % → 0,40 € · 50 = 20,00 €

Ergebnis:

20,00 €

AchtungDurch den Prozentsatz geteilt

So nicht

Ein Konzertticket kostet 40,00 €. Berechne 50 % des Preises → 0,8

So richtig

Ein Konzertticket kostet 40,00 €. Berechne 50 % des Preises → 20,00 €

Rechne zuerst 1 %. Nimm es dann mal den Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Tablet kostet 120,00 €. Berechne 10 % des Preises.
So fängst du an:
100 % → 120,00 €
Lösung zeigen
1. 100 % → 120,00 €
2. 1 % → 1,20 €
3. 10 % → 1,20 € · 10 = 12,00 €
Ergebnis:
12,00 €
●14
Eine Jacke kostet 80,00 €. Berechne 10 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 80,00 €
2. 1 % → 0,80 €
3. 10 % → 0,80 € · 10 = 8,00 €
Ergebnis:
8,00 €
★15
Ein Roller kostet 180,00 €. Berechne 85 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 180,00 €
2. 1 % → 1,80 €
3. 85 % → 1,80 € · 85 = 153,00 €
Ergebnis:
153,00 €

6Ich berechne den Prozentsatz.

EntdeckenFrage

Wie viel Prozent von Berlin sind Wald?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Rund 18 %: etwa 16 000 Hektar Wald auf 89 000 Hektar Stadtfläche. Prozentsatz heißt: Teil durch Ganzes, mal 100 – 16 000 : 89 000 ≈ 0,18.

MerkenProzentsatz

p % = W : G · 100. Frage: Wie viel Prozent ist der Teil vom Ganzen?

Der Grundwert steht immer im Nenner.

BeispielProzentsatz berechnen

20 von 40 Schüler:innen einer Klasse kommen mit dem Rad. Berechne, wie viel Prozent das sind.

Schritt für Schritt

Anteil = 20 : 40 = 0,5
0,5 · 100 = 50 %

Anteil = 20 : 40 = 0,5
0,5 · 100 = 50 %

Ergebnis:

50 %

AchtungProzentsatz bestimmen

So nicht

12 von 48: 48 : 12 = 4, also 4 %

So richtig

12 : 48 = 0,25 = 25 %  (Teil durch Ganzes)

Prozentsatz = Teil : Ganzes, dann mal 100.

ÜbenJetzt du

○16
5 von 50 Schüler:innen einer Klasse kommen mit dem Rad. Berechne, wie viel Prozent das sind.
So fängst du an:
Anteil = 5 : 50 = 0,1
Lösung zeigen
1. Anteil = 5 : 50 = 0,1
2. 0,1 · 100 = 10 %
Ergebnis:
10 %
●17
30 von 40 Schüler:innen einer Klasse kommen mit dem Rad. Berechne, wie viel Prozent das sind.
Lösung zeigen
1. Anteil = 30 : 40 = 0,75
2. 0,75 · 100 = 75 %
Ergebnis:
75 %
★18
45 von 75 Mitgliedern im Verein kommen mit dem Rad. Berechne, wie viel Prozent das sind.
Lösung zeigen
1. Anteil = 45 : 75 = 0,6
2. 0,6 · 100 = 60 %
Ergebnis:
60 %

7Ich berechne den Grundwert.

EntdeckenFrage

Ein Pullover kostet nach 30 % Rabatt 35 € – was hat er vorher gekostet?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

50 €. Die 35 € sind 70 % des alten Preises; 1 % sind 0,50 €, 100 % sind 50 €. Der Grundwert ist der Preis VOR dem Rabatt – nicht der, der auf dem Schild steht.

MerkenGrundwert

G = W : p · 100 oder W : (p/100).

Frage: Wie viel ist das Ganze, wenn der Teil bekannt ist? Probe: Prozentwert zurückrechnen.

BeispielGrundwert berechnen

10 % einer Strecke sind 6 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.

Schritt für Schritt

10 % → 6 km
1 % → 0,6 km
100 % → 0,6 · 100 = 60 km

10 % → 6 km
1 % → 0,6 km
100 % → 0,6 · 100 = 60 km

Ergebnis:

60 km

AchtungKomma beim Mal oder Durch 10, 100, 1000 falsch verschoben

So nicht

3,5 · 10 = 0,35

So richtig

3,5 · 10 = 35

Frag dich: Wird die Zahl größer oder kleiner? Mit mal 10 wird sie größer.

ÜbenJetzt du

○19
25 % einer Strecke sind 20 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
So fängst du an:
25 % → 20 km
Lösung zeigen
1. 25 % → 20 km
2. 1 % → 0,8 km
3. 100 % → 0,8 · 100 = 80 km
Ergebnis:
80 km
●20
50 % einer Strecke sind 20 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 50 % → 20 km
2. 1 % → 0,4 km
3. 100 % → 0,4 · 100 = 40 km
Ergebnis:
40 km
★21
15 % einer Strecke sind 9,6 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 15 % → 9,6 km
2. 1 % → 0,64 km
3. 100 % → 0,64 · 100 = 64 km
Ergebnis:
64 km

8Ich rechne mit Rabatt und Preiserhöhung (verminderter und vermehrter Grundwert).

EntdeckenFrage

Erst 20 % teurer, dann 20 % billiger – warum ist es dann nicht mehr der alte Preis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

100 € → 120 € → 96 €. Die 20 % Abschlag beziehen sich auf 120 €, nicht auf 100 €: Der Grundwert hat gewechselt. Erhöhung und Senkung um denselben Prozentsatz heben sich nie auf.

MerkenRabatt und Erhöhung

Rabatt von 20 % heißt mal 0,8 – Erhöhung um 20 % heißt mal 1,2 vom alten Preis.

Der Prozentsatz bezieht sich immer auf den Preis davor.

BeispielRabatt (verminderter Grundwert)

Eine Tasche kostet 120,00 €. Im Sale gibt es 50 % Rabatt. Berechne den neuen Preis.

Schritt für Schritt

Es bleiben 100 % − 50 % = 50 %
50 % = 0,5
120,00 € · 0,5 = 60,00 €

Es bleiben 100 % − 50 % = 50 %
50 % = 0,5
120,00 € · 0,5 = 60,00 €

Ergebnis:

60,00 €

AchtungRabatt & Aufschlag

So nicht

60 € minus 20 % Rabatt = 60 · 0,2 = 12 €

So richtig

60 € minus 20 % = 60 · 0,8 = 48 €  (12 € ist der Rabatt, nicht der Preis)

Nach Rabatt bleibt der Rest (100 % − Rabatt).

ÜbenJetzt du

○22
Ein Konzertticket kostet 80,00 €. Im Sale gibt es 20 % Rabatt. Berechne den neuen Preis.
So fängst du an:
Es bleiben 100 % − 20 % = 80 %
Lösung zeigen
1. Es bleiben 100 % − 20 % = 80 %
2. 80 % = 0,8
3. 80,00 € · 0,8 = 64,00 €
Ergebnis:
64,00 €
●23
Eine Tasche kostet 40,00 €. Im Sale gibt es 50 % Rabatt. Berechne den neuen Preis.
Lösung zeigen
1. Es bleiben 100 % − 50 % = 50 %
2. 50 % = 0,5
3. 40,00 € · 0,5 = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €
★24
Eine Tasche kostet 79,00 €. Im Sale gibt es 30 % Rabatt. Berechne den neuen Preis.
Lösung zeigen
1. Es bleiben 100 % − 30 % = 70 %
2. 70 % = 0,7
3. 79,00 € · 0,7 = 55,30 €
Ergebnis:
55,30 €

9Ich lese Prozentangaben aus Diagrammen und Texten.

EntdeckenFrage

Eine Umfrage meldet: 35 % sagen A, 35 % B, 40 % C – was stimmt hier nicht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das sind 110 %. Anteile eines Ganzen ergeben zusammen 100 %; mehr geht nur, wenn Mehrfachantworten erlaubt waren – und das muss dann dabeistehen.

MerkenProzente in Diagrammen

Im Kreisdiagramm sind 100 % der ganze Kreis, 25 % ein Viertel.

Prozentangaben ohne Grundwert sagen nichts über absolute Zahlen.

BeispielProzentangaben aus dem Kreisdiagramm

Kreisdiagramm „Schulweg“ von 500 Kindern: Bus 30 %, Rad 20 %, der Rest zu Fuß. Wie viel Prozent gehen zu Fuß, und wie viele Kinder sind das?

Schritt für Schritt

zu Fuß: 100 % − 30 % − 20 % = 50 %
500 · 50100 = 250

zu Fuß: 100 % − 30 % − 20 % = 50 %
500 · 50100 = 250

Ergebnis:

50 %, das sind 250 Kinder

AchtungGrundwert wie Prozentwert gerechnet

So nicht

400 sind 50 %, Ganzes → 200

So richtig

400 sind 50 %, Ganzes → 800

Schreib auf: Was sind 100 %? Was ist der Teil?

ÜbenJetzt du

○25
Kreisdiagramm „Schulweg“ von 400 Kindern: Bus 45 %, Rad 25 %, der Rest zu Fuß. Wie viel Prozent gehen zu Fuß, und wie viele Kinder sind das?
So fängst du an:
zu Fuß: 100 % − 45 % − 25 % = 30 %
Lösung zeigen
1. zu Fuß: 100 % − 45 % − 25 % = 30 %
2. 400 · 30100 = 120
Ergebnis:
30 %, das sind 120 Kinder
●26
Kreisdiagramm „Schulweg“ von 200 Kindern: Bus 30 %, Rad 35 %, der Rest zu Fuß. Wie viel Prozent gehen zu Fuß, und wie viele Kinder sind das?
Lösung zeigen
1. zu Fuß: 100 % − 30 % − 35 % = 35 %
2. 200 · 35100 = 70
Ergebnis:
35 %, das sind 70 Kinder
★27
Kreisdiagramm „Schulweg“ von 720 Kindern: Bus 40 %, Rad 20 %, der Rest zu Fuß. Wie viel Prozent gehen zu Fuß, und wie viele Kinder sind das?
Lösung zeigen
1. zu Fuß: 100 % − 40 % − 20 % = 40 %
2. 720 · 40100 = 288
Ergebnis:
40 %, das sind 288 Kinder

10Ich löse Sachaufgaben aus Alltag und Nachrichten.

EntdeckenFrage

„Die Wahlbeteiligung stieg von 60 % auf 66 %“ – sind das 6 % oder 10 %?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beides, je nachdem: 6 Prozentpunkte Unterschied – aber 10 % mehr, weil 6 von 60 ein Zehntel sind. Nachrichten verwechseln das ständig; wer Prozent von Prozentpunkten unterscheidet, liest sie richtig.

MerkenSachaufgaben

Erst klären: Was ist das Ganze (G)?

Dann: Ist W, p oder G gesucht? Formel wählen, rechnen, Antwortsatz.

BeispielWelches Angebot ist günstiger?

Ein Paar Sneaker kostet 120,00 €. Laden A gibt 20 % Rabatt, Laden B 25,00 € Rabatt. Vergleiche die Angebote: Wo ist es günstiger?

Schritt für Schritt

A: 120,00 € · 0,8 = 96,00 €
B: 120,00 € − 25,00 € = 95,00 €
Vergleich: Laden B ist günstiger

A: 120,00 € · 0,8 = 96,00 €
B: 120,00 € − 25,00 € = 95,00 €
Vergleich: Laden B ist günstiger

Ergebnis:

Laden B (95,00 €)

AchtungNoch einmal: Rabatt & Aufschlag

So nicht

60 € minus 20 % Rabatt = 60 · 0,2 = 12 €

So richtig

60 € minus 20 % = 60 · 0,8 = 48 €  (12 € ist der Rabatt, nicht der Preis)

Nach Rabatt bleibt der Rest (100 % − Rabatt).

ÜbenJetzt du

○28
Eine Jacke kostet 100,00 €. Laden A gibt 15 % Rabatt, Laden B 25,00 € Rabatt. Vergleiche die Angebote: Wo ist es günstiger?
So fängst du an:
A: 100,00 € · 0,85 = 85,00 €
Lösung zeigen
1. A: 100,00 € · 0,85 = 85,00 €
2. B: 100,00 € − 25,00 € = 75,00 €
3. Vergleich: Laden B ist günstiger
Ergebnis:
Laden B (75,00 €)
●29
Ein Hoodie kostet 80,00 €. Laden A gibt 10 % Rabatt, Laden B 25,00 € Rabatt. Vergleiche die Angebote: Wo ist es günstiger?
Lösung zeigen
1. A: 80,00 € · 0,9 = 72,00 €
2. B: 80,00 € − 25,00 € = 55,00 €
3. Vergleich: Laden B ist günstiger
Ergebnis:
Laden B (55,00 €)
★30
Eine Uhr kostet 145,00 €. Laden A gibt 10 % Rabatt, Laden B 27,00 € Rabatt. Vergleiche die Angebote: Wo ist es günstiger?
Lösung zeigen
1. A: 145,00 € · 0,9 = 130,50 €
2. B: 145,00 € − 27,00 € = 118,00 €
3. Vergleich: Laden B ist günstiger
Ergebnis:
Laden B (118,00 €)

11Ich erkenne Fehler in Prozentrechnungen und begründe.

EntdeckenFrage

Warum sind 50 % von 30 und 30 % von 50 gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beides ist 15: Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz : 100, und Malnehmen ist vertauschbar. Das ist der Trick für den Kopf: 8 % von 50 sind schwer, 50 % von 8 sind 4.

MerkenTypische Fehler

Prozente addieren sich nicht (20 % + 20 % ≠ 40 % Rabatt).

Erhöhung und Senkung heben sich nicht auf – der Grundwert wechselt.

BeispielProzentpunkte und prozentuale Änderung

Der Anteil der Radfahrer an einer Schule stieg von 20 % auf 35 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen – und um wie viel Prozent?

Schritt für Schritt

Prozentpunkte: 35 − 20 = 15
Prozent: 15 : 20 = 0,75 → 75 %

Prozentpunkte: 35 − 20 = 15
Prozent: 15 : 20 = 0,75 → 75 %

Ergebnis:

15 Prozentpunkte · 75 %

AchtungNoch einmal: Prozentsatz bestimmen

So nicht

12 von 48: 48 : 12 = 4, also 4 %

So richtig

12 : 48 = 0,25 = 25 %  (Teil durch Ganzes)

Prozentsatz = Teil : Ganzes, dann mal 100.

ÜbenJetzt du

○31
Der Anteil der Radfahrer an einer Schule stieg von 20 % auf 30 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen – und um wie viel Prozent?
So fängst du an:
Prozentpunkte: 30 − 20 = 10
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 30 − 20 = 10
2. Prozent: 10 : 20 = 0,5 → 50 %
Ergebnis:
10 Prozentpunkte · 50 %
●32
Der Anteil der Radfahrer an einer Schule stieg von 50 % auf 65 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 65 − 50 = 15
2. Prozent: 15 : 50 = 0,3 → 30 %
Ergebnis:
15 Prozentpunkte · 30 %
★33
Der Anteil der Radfahrer an einer Schule stieg von 30 % auf 35 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 35 − 30 = 5
2. Prozent: 5 : 30 = 0,167 → 16,7 %
Ergebnis:
5 Prozentpunkte · 16,7 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●34
Ein Kopfhörer kostet 250,00 €. Berechne 10 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 250,00 €
2. 1 % → 2,50 €
3. 10 % → 2,50 € · 10 = 25,00 €
Ergebnis:
25,00 €
●35
10 von 100 Mitgliedern im Verein kommen mit dem Rad. Berechne, wie viel Prozent das sind.
Lösung zeigen
1. Anteil = 10 : 100 = 0,1
2. 0,1 · 100 = 10 %
Ergebnis:
10 %
●36
25 % einer Strecke sind 10 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 25 % → 10 km
2. 1 % → 0,4 km
3. 100 % → 0,4 · 100 = 40 km
Ergebnis:
40 km
●37
Ein Kopfhörer kostet 50,00 €. Im Sale gibt es 20 % Rabatt. Berechne den neuen Preis.
Lösung zeigen
1. Es bleiben 100 % − 20 % = 80 %
2. 80 % = 0,8
3. 50,00 € · 0,8 = 40,00 €
Ergebnis:
40,00 €
●38
Eine Uhr kostet 50,00 € und wird um 10 % teurer. Berechne den neuen Preis.
Lösung zeigen
1. 100 % + 10 % = 110 %
2. 50,00 € · 1,1 = 55,00 €
Ergebnis:
55,00 €
●39
Schreibe 65 % als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch.
Lösung zeigen
1. 65 % = 65 : 100 = 0,65
2. Bruch: 1320
Ergebnis:
0,65 · 1320

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Prozent: Prozent heißt „von Hundert“: 25 % = 25/100 = 0,25 = ein Viertel.
Umwandeln: Bruch → Prozent: Nenner auf 100 erweitern.
Die drei Größen: Grundwert G = das Ganze (100 %).
Prozentwert mit Dreisatz: 100 % ≙ G. Auf 1 % herunter (geteilt durch 100), dann auf p % hoch (mal p).
Prozentwert mit Operator: W = G · p/100. Beispiel: 15 % von 80 € = 80 · 0,15 = 12 €.
Prozentsatz: p % = W : G · 100. Frage: Wie viel Prozent ist der Teil vom Ganzen?
Grundwert: G = W : p · 100 oder W : (p/100).
Rabatt und Erhöhung: Rabatt von 20 % heißt mal 0,8 – Erhöhung um 20 % heißt mal 1,2 vom alten Preis.
Prozente in Diagrammen: Im Kreisdiagramm sind 100 % der ganze Kreis, 25 % ein Viertel.
Sachaufgaben: Erst klären: Was ist das Ganze (G)?
Typische Fehler: Prozente addieren sich nicht (20 % + 20 % ≠ 40 % Rabatt).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich erkläre an einem Beispiel, was Prozent bedeutet, und stelle Anteile als Bruch, Dezimalzahl und Prozent dar.
40
Schreibe 110 als Dezimalzahl und als Prozentsatz.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,1 · 10 %
Ich wandle zwischen Bruch, Dezimalzahl und Prozent um.
41
Schreibe 65 % als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,65 · 1320
Ich unterscheide Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert.
42
20 % der Fahrgäste eines Zuges haben ein Deutschlandticket – das sind 160. Berechne, wie viele Fahrgäste es insgesamt gibt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
800
Ich berechne den Prozentwert mit dem Dreisatz.
43
Ein Roller kostet 120,00 €. Berechne 30 % des Preises.
Lösung zeigen
Ergebnis:
36,00 €
Ich berechne den Prozentwert mit der Dezimalzahl (Operator).
44
Ein Kopfhörer kostet 80,00 €. Berechne 30 % des Preises.
Lösung zeigen
Ergebnis:
24,00 €
Ich berechne den Prozentsatz.
45
20 von 40 Mitgliedern im Verein kommen mit dem Rad. Berechne, wie viel Prozent das sind.
Lösung zeigen
Ergebnis:
50 %
Ich berechne den Grundwert.
46
25 % einer Strecke sind 10 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
Ergebnis:
40 km
Ich rechne mit Rabatt und Preiserhöhung (verminderter und vermehrter Grundwert).
47
Ein Skateboard kostet 80,00 €. Im Sale gibt es 20 % Rabatt. Berechne den neuen Preis.
Lösung zeigen
Ergebnis:
64,00 €
Ich lese Prozentangaben aus Diagrammen und Texten.
48
Kreisdiagramm „Schulweg“ von 400 Kindern: Bus 45 %, Rad 35 %, der Rest zu Fuß. Wie viel Prozent gehen zu Fuß, und wie viele Kinder sind das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 %, das sind 80 Kinder
Ich löse Sachaufgaben aus Alltag und Nachrichten.
49
Eine Tasche kostet 60,00 €. Laden A gibt 10 % Rabatt, Laden B 10,00 € Rabatt. Vergleiche die Angebote: Wo ist es günstiger?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Laden B (50,00 €)
Ich erkenne Fehler in Prozentrechnungen und begründe.
50
Der Anteil der Radfahrer an einer Schule stieg von 40 % auf 50 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 Prozentpunkte · 25 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher Rabatt ist besser: 3 von 20 € geschenkt, 7 von 40 € oder 11 von 60 €? Ordne und begründe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Prozent: Anteile mit dem Nenner 100 vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Rabatt, Akku-Stand, Mehrwertsteuer, Wahlergebnisse. Beruf: Handel, Bank, Verwaltung – ohne Prozent geht nichts.

ÜbenMit echten Zahlen

Diese Zahlen sind gemessen, nicht ausgedacht. Die Quelle und der Stand stehen bei jeder Aufgabe.

●55
Das Diagramm zeigt die Inflationsrate in Deutschland für die Monate 2026. Sie gibt an, um wie viel Prozent die Preise höher waren als im selben Monat 2025.
Um wie viele Prozentpunkte hat sich die Rate von April bis Juni verändert?
Daten: Statistisches Bundesamt (Nutzung mit Quellenangabe), Stand 10.09.2026
Lösung zeigen
1. Abgelesen: April 2,9 %, Juni 2,3 %
2. 2,3 − 2,9 = −0,6
3. Die Rate ist um 0,6 Prozentpunkte gesunken.
Ergebnis:
0,6 Prozentpunkte niedriger
●56
Der Verbraucherpreisindex vergleicht Preise mit dem Jahr 2020. Für 2020 hat er den Wert 100. Im August 2026 lag er für Haushaltsenergie bei 145,6.
Um wie viel Prozent waren diese Preise höher oder niedriger als 2020?
Daten: Statistisches Bundesamt (Nutzung mit Quellenangabe), Stand 10.09.2026
Lösung zeigen
1. 145,6 − 100 = 45,6
2. Die Preise lagen um 45,6 % höher als 2020.
Ergebnis:
45,6 % höher
●57
Im August 2026 lagen die Preise für Freizeit, Unterhaltung und Kultur um 1,7 % höher als im August 2025. Angenommen, eine Familie hat dafür im August 2025 150,00 € ausgegeben.
Was kostet dieselbe Menge im August 2026?
Daten: Statistisches Bundesamt (Nutzung mit Quellenangabe), Stand 10.09.2026
Lösung zeigen
1. 100 % + 1,7 % = 101,7 %
2. Faktor 1,017
3. 150 · 1,017 = 152,55
Ergebnis:
152,55 €

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Dreisatz: erst auf eins herunter, dann hoch
Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Zuordnungen, Dezimalzahlen, Brüche und Dezimalzahlen vernetzen

Darauf baut auf: Prozentuale Veränderungen, Größen im Beruf, Daten in Klassen, Zinsrechnung, Fachrechnen, Mischungs- und Verteilungsrechnen

Lösungen

100 % · 11
0,95 · 95 %
0,005 · 1200
0,1 · 10 %
0,9 · 910
62,5 % · 58
200
500
2280
20,00 €
3,00 €
108,00 €
12,00 €
8,00 €
153,00 €
10 %
75 %
60 %
80 km
40 km
64 km
64,00 €
20,00 €
55,30 €
30 %, das sind 120 Kinder
35 %, das sind 70 Kinder
40 %, das sind 288 Kinder
Laden B (75,00 €)
Laden B (55,00 €)
Laden B (118,00 €)
10 Prozentpunkte · 50 %
15 Prozentpunkte · 30 %
5 Prozentpunkte · 16,7 %
25,00 €
10 %
40 km
40,00 €
55,00 €
0,65 · 1320
0,1 · 10 %
0,65 · 1320
800
36,00 €
24,00 €
50 %
40 km
64,00 €
20 %, das sind 80 Kinder
Laden B (50,00 €)
10 Prozentpunkte · 25 %
20 min
28 < 12
1,8
0,3
0,6 Prozentpunkte niedriger
45,6 % höher
152,55 €